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1、第1讲直线与圆高考定位考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.真 题 感 悟1.(2020全国卷)在平面内，A，B是两个定点，C是动点.若1，则点C的轨迹为()A.圆 B.椭圆C.抛物线 D.直线解析以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设点A，B分别为(a，0)，(a，0)(a0)，点C为(x，y)，则(xa，y)，(xa，y)，所以(xa)(xa)yyx2y2a21，整理得x2y2a21.因此点C的轨迹为圆.故选A.答案A2.(2020全国卷)若过点(2
2、，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2xy30的距离为()A. B.C. D.解析因为圆与两坐标轴都相切，且点(2，1)在圆上.所以可设圆的方程为(xa)2(ya)2a2(a0).则(2a)2(1a)2a2，解之得a1或a5.所以圆心的坐标为(1，1)或(5，5)，所以圆心到直线2xy30的距离d或d.答案B3.(2020全国卷)已知M：x2y22x2y20，直线l：2xy20，点P为l上的动点.过点P作M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|AB|最小时，直线AB的方程为()A.2xy10 B.2xy10C.2xy10 D.2xy10解析由M：x2y22x2y20，得M：(x1)2(
3、y1)24，所以圆心M(1，1).如图，连接AM，BM，易知四边形PAMB的面积为|PM|AB|，欲使|PM|AB|最小，只需四边形PAMB的面积最小，即只需PAM的面积最小.因为|AM|2，所以只需|PA|最小.又|PA|，所以只需直线2xy20上的动点P到M的距离最小，其最小值为，此时PMl，易求出直线PM的方程为x2y10.由得所以P(1，0).易知P、A、M、B四点共圆，所以以PM为直径的圆的方程为x2，即x2y2y10，由得，直线AB的方程为2xy10，故选D.答案D4.(2019全国卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|4，M过点A，B且与直线x20相切.(1)若A在直线xy
4、0上，求M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|MP|为定值？并说明理由.解(1)因为M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线xy0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线yx上，故可设M(a，a).因为M与直线x20相切，所以M的半径为r|a2|.连接MA，由已知得|AO|2.又MOAO，故可得2a24(a2)2，解得a0或a4.故M的半径r2或r6.(2)存在定点P(1，0)，使得|MA|MP|为定值.理由如下：设M(x，y)，由已知得M的半径为r|x2|，|AO|2.由于MOAO，故可得x2y24(x2)2, 化简得M的轨迹方程为y24x.因为曲线
5、C：y24x是以点P(1，0)为焦点，以直线x1为准线的抛物线，所以|MP|x1.因为|MA|MP|r|MP|x2(x1)1，所以存在满足条件的定点P.考 点 整 合1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1l2k1k2，l1l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.2.两个距离公式(1)两平行直线l1：AxByC10与l2：AxByC20间的距离d.(2)点(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.3.圆的方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2(r0)，圆心为(a，b)，半径为r.(2)圆的一般方程：x2y2
6、DxEyF0(D2E24F0)，圆心为，半径为r.4.直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr相离.(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式来讨论位置关系：0相交；0相切；0)，则y|xx0x0k，kx0b，由可得b，将b，kx0代入得x01或x0(舍去)，所以kb，故直线l的方程yx.(2)由x2y24x0，得(x2)2y24，则圆心为C(2，0)，半径r2，过点P所作的圆的两条切线相互垂直，设两切点分别为A，B，连接AC，BC，所以四边形PACB为正方形，即PCr2，圆心到直线的距离d2，即2k2，所以实数k的取值可以
7、是1，2.故选AB.答案(1)D(2)AB探究提高1.直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式.2.过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算.【训练3】 (1)(2020浙江卷)已知直线ykxb(k0)与圆x2y21和圆(x4)2y21均相切，则k_，b_.(2)已知O：x2y21，点A(0，2)，B(a，2)，从点A观察点B，要使视线不被O挡住，则实数a的取值范围是()A.(，2)(2，)B.C.D.解析(1)直线kxyb0(k0)分别与圆心坐标为(0，0)，半径为
8、1，及圆心坐标为(4，0)，半径为1的两圆相切，可得由，解得(2)易知点B在直线y2上，过点A(0，2)作圆的切线.设切线的斜率为k，则切线方程为ykx2，即kxy20.由d1，得k.切线方程为yx2，和直线y2的交点坐标分别为，.故要使视线不被O挡住，则实数a的取值范围是.答案(1)(2)B角度2圆的弦长的相关计算【例4】 在直角坐标系xOy中，曲线yx2mx2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1).当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现ACBC的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.(1)解不能出现ACBC的情况，理由如下：设A(x1，0)，B(x
9、2，0)，则x1，x2满足方程x2mx20，所以x1x22.又C的坐标为(0，1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为，所以不能出现ACBC的情况.(2)证明BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为yx2.由(1)可得x1x2m，所以AB的中垂线方程为x.联立又xmx220，由解得x，y.所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r.故圆在y轴上截得的弦长为23，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.探究提高1.研究直线与圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题.2.与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长，构成直
10、角三角形的三边，利用勾股定理来处理.【训练4】 (1)(2020天津卷)已知直线xy80和圆x2y2r2(r0)相交于A，B两点.若|AB|6，则r的值为_.(2)(2020菏泽联考)已知圆O：x2y24，直线l与圆O交于P，Q两点，A(2，2)，若|AP|2|AQ|240，则弦PQ的长度的最大值为_.解析(1)依题意得，圆心(0，0)到直线xy80的距离d4，因此r2d225，又r0，所以r5.(2)设点M为PQ的中点，则|PM|MQ|，在APQ中，由余弦定理易得|AP|2|AQ|2|AM|2|PM|2|MQ|2|AM|22(|AM|2|MQ|2)又|MQ|2|OQ|2|OM|24|OM|2
11、，|AP|2|AQ|240.402|AM|282|OM|2，则|AM|2|OM|216，设M(x，y)，则(x2)2(y2)2(x2y2)16.化简得xy20.当OMl时，OM取到最小值，即|OM|min.此时，|PQ|22.故弦PQ的长度的最大值为2.答案(1)5(2)2A级巩固提升一、选择题1.(2020长沙模拟)命题p：m2，命题q：直线(m1)xym120与直线mx2y3m0垂直，则p是q成立的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析若两直线垂直，则(m1)m(1)20，解之得m2或m1.p是q成立的充分不必要条件.答案A2.过点A(1，2)
12、的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为()A.yx1 B.yx3C.2xy0或xy3 D.2xy0或yx1解析当直线过原点时，可得斜率为2，故直线方程为y2x，当直线不过原点时，设方程为1，代入点(1，2)可得1，解得a1，方程为xy10，故所求直线方程为2xy0或yx1.答案D3.过点(3，1)作圆(x1)2y2r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A.2xy50 B.2xy70C.x2y50 D.x2y70解析依题意知，点(3，1)在圆(x1)2y2r2上，且为切点.圆心(1，0)与切点(3，1)连线的斜率为，所以切线的斜率k2.故过点(3，1)的切线方程为y12(x3)，
13、即2xy70.答案B4.(2020全国卷)点(0，1)到直线yk(x1)距离的最大值为()A.1 B. C. D.2解析设点A(0，1)，直线l：yk(x1)，由l恒过定点B(1，0)，当ABl时，点A(0，1)到直线yk(x1)的距离最大，最大值为.故选B.答案B5.(2020合肥调研)已知点P为圆C：(x1)2(y2)24上一点，A(0，6)，B(4，0)，则|的最大值为()A.2 B.4C.24 D.22解析取AB中点D(2，3)，则2，|2|2|，又由题意知，圆C的圆心C(1，2)，半径为2，|的最大值为圆心C(1，2)到D(2，3)的距离d再加半径r，又d，dr2，2|的最大值为24
14、，即|的最大值为24.答案C6.(多选题)集合A(x，y)|x2y24，B(x，y)|(x3)2(y4)2r2，其中r0，若AB中有且仅有一个元素，则r的值是()A.3 B.5 C.7 D.9解析圆x2y24的圆心是O(0，0)，半径为R2，圆(x3)2(y4)2r2的圆心是C(3，4)，半径为r，|OC|5，当2r5，r3时，两圆外切；当|r2|5，r7时，两圆内切，它们都只有一个公共点，即集合AB只有一个元素.故选AC.答案AC7.(多选题)已知点A是直线l：xy0上一定点，点P，Q是圆x2y21上的动点，若PAQ的最大值为90，则点A的坐标可以是()A.(0，) B.(1，1)C.(，0
15、) D.(1，1)解析如图所示，坐标原点O到直线l：xy0的距离d1，则直线l与圆x2y21相切，由图可知，当AP，AQ均为圆x2y21的切线时，PAQ取得最大值，连接OP，OQ，由于PAQ的最大值为90，且APOAQO90，|OP|OQ|1，则四边形APOQ为正方形，所以|OA|OP|.设A(t，t)，由两点间的距离公式得|OA|，整理得2t22t0，解得t0或t，因此，点A的坐标为(0，)或(，0).故选AC.答案AC8.(多选题)已知圆C1：x2y2r2与圆C2：(xa)2(yb)2r2(r0)交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列结论正确的是()A.a(x1x2)b(
16、y1y2)0B.2ax12by1a2b2C.x1x2aD.y1y22b解析圆C2的方程为x2y22ax2bya2b2r20，两圆的方程相减，可得直线AB的方程为2ax2bya2b20，即得2ax2bya2b2，分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的坐标代入，可得2ax12by1a2b2，2ax22by2a2b2，两式相减可得2a(x1x2)2b(y1y2)0，即a(x1x2)b(y1y2)0，所以选项A、B均正确；由圆的性质可得，线段AB与线段C1C2互相平分，所以x1x2a，y1y2b，所以选项C正确，选项D不正确.答案ABC二、填空题9.(2019北京卷)设抛物线y24x的焦点为F
17、，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为_.解析抛物线y24x的焦点F的坐标为(1，0)，准线l为直线x1，所求的圆以F为圆心，且与准线l相切，故圆的半径r2.所以圆的方程为(x1)2y24.答案(x1)2y2410.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2xy0的距离为，则圆C的方程为_.解析圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a0.则圆心C到直线2xy0的距离d，解得a2.圆C的半径r|CM|3，因此圆C的方程为(x2)2y29.答案(x2)2y2911.已知圆C的方程是x2y28x2y80，直线l：ya(x3)被圆C截得的弦长最短时，直线l方
18、程为_.解析圆C的标准方程为(x4)2(y1)29，圆C的圆心C(4，1)，半径r3.又直线l：ya(x3)过定点P(3，0)，则当直线l与直线CP垂直时，被圆C截得的弦长最短.因此akCPa1，a1.故所求直线l的方程为y(x3)，即xy30.答案xy3012.(2020衡水中学检测)已知直线AxByC0(其中A2B2C2，C0)与圆x2y26交于点M，N，O是坐标原点，则|MN|_，_.解析由于A2B2C2，且C0，圆心(0，0)到直线AxByC0的距离d1.所以|MN|222.设向量，的夹角为，则cos()，所以cos ，所以|cos 210.答案210B级能力突破13.直线xy20分别
19、与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A.2，6 B.4，8C.，3 D.2，3解析由题意知圆心的坐标为(2，0)，半径r，圆心到直线xy20的距离d2，所以圆上的点到直线的最大距离是dr3，最小距离是dr.易知A(2，0)，B(0，2)，所以|AB|2，所以2SABP6.答案A14.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点A(2，4).(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|OA|，求直线l的方程.解圆M的标准方程为(x6)2(y7)225，所以圆心M(6，7)，半径为5，(1)由圆心N在直线x6上，可设N(6，y0)，因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0y07，圆N的半径为y0，从而7y05y0，解得y01.因此，圆N的标准方程为(x6)2(y1)21.(2)因为直线lOA，所以直线l的斜率为2.设直线l的方程为y2xm，即2xym0，则圆心M到直线l的距离d.因为|BC|OA|2，又|MC|2d2，所以255，解得m5或m15.故直线l的方程为2xy50或2xy150.