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1、专题升级训练 数学思想方法(一)(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)1.集合A=x|x|4,xR,B=x|x-3|a,xR,若AB,那么a的取值范围是()A.0a1B.a1C.a1D.0a12.设x,y满足约束条件若z=的最小值为,则a的值为()A.1B.3C.4D.123.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形,则它的体积为()A.B.4C.D.44.已知函数f(x)=x3-x2-x,则f(-a2)与f(4)的大小关系为()A.f(-a2)f(4)B.f(-a2)0且a1)在区间0,+)上是增函数,那么实数a的取值范围是()A.B.C.(1
2、,D.6.在平面直角坐标系xOy中,设A,B,C是圆x2+y2=1上相异三点,若存在正实数,使得=+,则(-3)2+2的取值范围是()A.(2,9)B.(4,10)C.(,+)D.(2,+)二、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分)7.若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)0,则a的取值范围是.8.在平面直角坐标系xOy中,设椭圆=1(ab0)的焦距为2c,以点O为圆心,a为半径作圆M.若过点P作圆M的两条切线互相垂直,则该椭圆的离心率为.9.已知f(x)=loga(3-a)x-a是其定义域上的增函数,那么a的取值范围是.三、解答题(本大题共3小题,
3、共46分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10.(本小题满分15分)不等式x2+|2x-4|p对所有x都成立,求实数p的最大值.11.(本小题满分15分)已知函数f(x)=x2-ax+(a-1)ln x,a1.讨论函数f(x)的单调性.12.(本小题满分16分)已知平面向量a=,b=,且存在实数x,y,使得m=a+(x2-3)b,n=-ya+xb且mn.(1)求y=f(x)的关系式;(2)已知kR,讨论关于x的方程f(x)-k=0的实根个数.#1.B解析:当a0时,B=,满足BA;当a0时,欲使BA,则00,作出可行域如图所示,由题知的最小值是,即a=1,选A.3.D4.A解析:
4、f(x)=x3-x2-x,f(x)=x2-2x-.由f(x)=(3x-7)(x+1)=0得x=-1或x=.当x-1时,f(x)为增函数;当-1x时,f(x)为增函数,计算可得f(-1)=f(4)=2,f(0)=0,又-a20,由图象可知f(-a2)f(4).5.B解析:令ax=t,则y=t2-(3a2+1)t,对称轴t=-.若0a1,则0ax1.欲使x0,+)时f(x)递增,只需1.即3a2+12,即a2.a或a-(舍去).a1时,ax1不满足题设条件,故选B.6.D解析:由=(+)2,知2+2+2cos=1,因为A,B,C是相异三点,所以,都不为0,cos=.又-1cos1,所以-21-2-
5、22,即(-)21.所以M(3,0),作出可行域,所以(-3)2+2的取值范围是(2,+).7.解析:x(-1,0),0x+10,得02a1,0a.8.解析:设切点为A,B,如图所示,切线PA,PB互相垂直,又半径OA垂直于AP,所以OPA为等腰直角三角形.可得a=,所以e=.9.1a3解析:记u=(3-a)x-a,当1a3时,y=logau在其定义域内为增函数,而u=(3-a)x-a在其定义域内为减函数,此时f(x)在其定义域内为减函数,不符合要求.当0a1时,同理可知f(x)在其定义域内是减函数,不符合题目要求.10.解:构造函数f(x)=|x-2|,g(x)=-,解不等式f(x)g(x)
6、,即确定使函数y=f(x)的图象在函数y=g(x)“上方”的点的横坐标x的取值范围,而本题是已知这个范围对一切x成立.求p的最大值.如图,y=-的图象可以由y=-的图象的顶点在y轴上移动而得,满足题目条件的解应为y=|x-2|的图象在y=-的图象上方的极端情况.只有一解.-=2-x,即x2-2x-(p-4)=0.=4+4(p-4)=0,p=3,即p的最大值为3.11.解:f(x)的定义域为(0,+).f(x)=x-a+.若a-1=1,即a=2,则f(x)=.故f(x)在(0,+)上单调递增.若a-11,故1a2,则当x(a-1,1)时,f(x)0.故f(x)在(a-1,1)上单调递减,在(0,
7、a-1),(1,+)上单调递增.若a-11,即a2,同理可得f(x)在(1,a-1)上单调递减,在(0,1),(a-1,+)上单调递增.12.解:(1)ab=0,|a|=,|b|=1.因为mn,所以mn=0,即a+(x2-3)b(-ya+xb)=0,化简整理得y=x3-x,即f(x)=x3-x.(2)方程f(x)-k=0实根个数由两函数y=f(x),y=k的图象交点个数确定.由f(x)=x2-1=(x-1)(x+1)知:f(x)在(-,-1)及(1,+)上为增函数,在(-1,1)上为减函数,极大值f(-1)=,极小值f(1)=-.作y=f(x)和y=k的图象如图,知当k时,两图象有一个交点,原方程有一个实根;当k=时,原方程有两个实根;当-k时,原方程有三个实根.3