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1、2010 年高三一轮复习讲座三 -三角函数二、复习要求1、三角函数的概念及象限角、弧度制等概念； 2、三角公式，包括诱导公式，同角三角函数关系式和差倍半公式等；3、三角函数的图象及性质。三、学习指导 1 、角的概念的推广。从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600的角。这样一来，在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定 （通常把角的始边放在x 轴正半轴上，角的顶点与原点重合，下同）。为了把握这些角之间的联系， 引进终边相同的角的概念，凡是与终边相同的角，都可以表示成k3600+的形式，特例，终边在x 轴上的角集合 | =k1800，kZ，终边在 y 轴上的角集合 | =k
2、1800+900，kZ，终边在坐标轴上的角的集合 | =k900，kZ。在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算， 熟记特殊角的弧度制。在弧度制下， 扇形弧长公式=| |R，扇形面积公式|R21R21S2，其中为弧所对圆心名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 角的弧度数。 2、利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广
3、到任意角的三角数。三角函数定义是本章重点，从它可以推出一些三角公式。重视用数学定义解题。设 P(x ， y) 是角终边上任一点（与原点不重合），记22yx|OP|r，则rysin，rxcos，xytan，yxcot。利用三角函数定义，可以得到（1）诱导公式：即t2k与之间函数值关系（kZ） ，其规律是“奇变偶不变，符号看象限” ； （2）同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系。3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式，诱导公式是和差公式的特例，对公式要熟练地正用、逆用、变用。如倍角公式 ： cos2 =2cos2 -1=1-2sin2 ， 变 形 后 得22cos1sin,22cos1
4、cos22，可以作为降幂公式使用。三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。4、三角函数的性质除了一般函数通性外，还出现了前面几种函数所没有的周期性。周期性的定义： 设 T 为非零常数， 若对 f(x)定义域中的每一个x， 均有 f(x+T)=f(x)， 则称 T 为 f(x)的周期。当T 为 f(x) 周期时， kT（kZ，k0）也为 f(x) 周期。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - -
5、 三角函数图象是性质的重要组成部分。利用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作图法，熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。5、本章思想方法（1） 等价变换。 熟练运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题；（2） 数形结合。充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题；（3） 分类讨论。四、典型例题例1、 已知函数 f(x)=)xcosx(sinlog21（1） 求它的定义域和值域；（2） 求它的单调区间；（3） 判断它的奇偶性；（4） 判断它的周期性。分析：（1）x 必须满足sinx-cosx0，利用单位圆中的三角函数线及45k2x4k2，kZ 函数定义域为)45k2,4k2(，kZ
6、 )4xsin(2xcosxsin当x)45k2,4k2(时 ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 1)4xsin(02cosxsin0212logy21 函数值域为 ,21）（3） f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称 f(x)不具备奇偶性（4） f(x+2)=f(x) 函数 f(x)最小正周期为2注；利用单位圆中的三角函数线可知，以、象限角平分线为标准，可区分sinx-cosx的符号；以、象限角平分线为
7、标准，可区分sinx+cosx的符号，如图。例2、 化简)cos1(2sin12，（， 2）分析：凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式222)2cos2(sin2cos2sin22cos2sinsin12cos4) 12cos21(2)cos1(222 原式 =|2cos|2|2cos2sin|2 （， 2）),2(2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 02cos当23,4922时，02cos2sin 原式 =2
8、sin2当223,243时，02cos2sin 原式 =)2arctan2sin(522cos42sin2 原式 =223)2arctan2sin(52232sin2注： 1、本题利用了“1”的逆代技巧，即化1 为2cos2sin22，是 欲 擒 故 纵 原 则 。 一 般 地 有|cossin|2sin1，|cos|22cos1，|sin|22cos1。 2、三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为)xsin(ba22（取abarctan）是常用变形手段。特别是与特殊角有关的sin cosx ，sinx 3cosx ，要熟练掌握变形结论。例3、 求00202
9、10sin21)140cos1140sin3(。分析：原式 =00202020210sin21140cos140sin140sin140cos3名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 16160sin200sin1680cos80sin200sin810sin2180sin41200sin80sin410sin21)40cos40sin()140sin140cos3)(140sin140cos3(00000002000
10、2000000注：在化简三角函数式过程中，除利用三角变换公式，还需用到代数变形公式，如本题平方差公式。例4、 已 知00 900， 且sin ， sin 是 方 程020240cosx)40cos2(x21=0 的两个实数根， 求 sin( -5 ) 的值。分析：由 韦 达 定 理 得sin +sin =2cos400， sin sin =cos2400-21sin-sin=)40cos1 (2sinsin4)sin(sin)sin(sin0222040sin2又 sin +sin =2cos4000000005sin)40sin240cos2(21sin85sin)40sin240cos2(
11、21sin 00 90000585 sin(-5 )=sin600=23注：利用韦达定理变形寻找与sin ，sin 相关的方程组，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - 在求出 sin ， sin 后再利用单调性求，的值。例 5、（1） 已知 cos(2 +)+5cos =0， 求 tan( +) tan的值；（2）已知5cos3sincossin2，求2sin42cos3的值。分析：（1） 从变换角的差异着手。 2
12、+=( +)+ ， =( +)- 8cos(+)+ +5cos(+)- =0 展开得：13cos( +)cos -3sin(+)sin =0 同除以 cos( +)cos 得： tan( +)tan =313（2） 以三角函数结构特点出发3tan1tan2cos3sincossin253tan1tan2 tan =2 57tan1tan8tan33cossincossin8)sin(cos32sin42cos3222222注；齐次式是三角函数式中的基本式，其处理方法是化切或降幂。例 6、已知函数2xsin2xsin24a)x(f（a(0 ，1)） ，求 f(x)的最值，并讨论周期性，奇偶性，单
13、调性。分析：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 对三角函数式降幂81x2cos2x2cos141xsin41)xsin21(2xcos2xsin)2xsin1(2xsin2xsin2xsin22222224 f(x)=81x2cosa令81x2cos81u则 y=au 0a0， 0） ，在一个周期内，当 x=8时， ymax=2；当 x=85时， ymin=-2，则此函数解析式为A、)42xsin(2y B、)4x
14、2sin(2yC、)4xsin(2y D、)8x2sin(2y4、已知tan11tan=1998，则2tan2sec的值为A、1997 B、1998 C、1999 D、2000 5、已知tan ， tan 是方程04x33x2两根，且，)2,2(，则 +等于A、32 B、32或3 C、3或32 D 、3名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 6、若3yx，则 sinx siny 的最小值为A、-1 B、-21 C、43
15、 D、417、函数 f(x)=3sin(x+100)+5sin(x+700) 的最大值是A、 5.5 B、 6.5 C、 7 D、8 8、若（ 0，2 ，则使 sin coscot ，则 sin sin B、函数 y=sinx cotx 的单调区间是)2k2,2k2(，kZ C、函数x2sinx2cos1y的最小正周期是2D、函数 y=sinxcos2 -cosxsin2x的图象关于 y 轴对称，则42k，kZ 10、函数)x2cosx2(sinlog)x(f31的单调减区间是A、)8k,4k( B、8k,8k(B、)83k,8k( D、)85k,8k( k Z （二）填空题名师资料总结 -
16、- -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 11、函数 f(x)=sin(x+)+3cos(x- ) 的图象关于y 轴对称，则 =_。12、已知 +=3，且3(tan tan +c)+tan =0（c 为常数），那么 tan =_。13、函数 y=2sinxcosx-3(cos2x-sin2x) 的最大值与最小值的积为 _。14、已知 (x-1)2+(y-1)2=1，则 x+y 的最大值为 _。15、函数 f(x)=sin3x图象的对称中
17、心是_。（三）解答题16、已知 tan( - )=21，tan =71，（-，0） ，求 2- 的值。17、是否存在实数a， 使得函数 y=sin2x+acosx+23a85在闭区间 0 ，2 上的最大值是1？若存在， 求出对应的a 值。 18、已知 f(x)=5sinxcosx-35cos2x+325（xR）（1） 求 f(x) 的最小正周期；（2） 求 f(x) 单调区间；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - -
18、（3） 求 f(x) 图象的对称轴，对称中心。参考答案（一）选择题 1 、B 2 、B 3 、B 4 、B 5 、A 6 、C 7 、C 8 、C 9 、D 10 、B （二）填空题 11 、6k，kZ 12、)1c(3 13、-4 14、2215、 （3k，0）（三）解答题 16 、47 17 、23a 18 、 （1）T=（ 2） 增 区 间 k -12， k +125 ， 减 区 间 k +1211k,125（3）对称中心（62k，0） ，对称轴1252kx，kZ 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -