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1、第 1 页2012 年六安中学“三元杯”高一数学竞赛试题总分： 150 分时间： 120 分钟命题人：方杰一、选择题（每小题5 分，共 50 分。每小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入指定的地方）1已知 A=第一象限角 ，B=锐角 ，C=小于 90的角 ，那么 A、B、C关系是（）AB=A C BBC=CCA C D A=B=C 2.sin10 sin30 sin50 sin70的值为 ( ) A-16 B. 16 C. 116D. 1163. 若函数2212fxxax在区间4,上是减函数，则实数a 的取值范围为（）Aa3 Ba3 Ca5 Da34. 若 y=log56log6
2、7log78log89log910, 则有 ( ) A. y (0 , 1) B . y(1 , 2 ) C. y (2 , 3 ) D. y=1 5. 要 得 到 函 数y=cos(42x) 的 图 象 ， 只 需 将y=sin2x的 图 象（） A向左平移2个单位 B.同右平移2个单位 C向左平移4个单位 D.向右平移4个单位6. 在ABC中，D 、E、F 分别 BC 、CA 、AB的中点，点 M是ABC的重心，则MCMBMA等于（）AOBMD4CMF4DME47. 若数列na的通项公式为11nann， 且ms=9， 则 m等于 ( ) A.9 B.10 C.99 D.100 8. 在AB
3、C中， 2cosBsinA=sinC， 则ABC 的形状是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 第 2 页9. 设函数fx对0 x的一切实数均有200823f xfxx，则2f等于( ) A.2006 B.2008 C.2010 D.2012 10. 已知0abc，则在下列四个选项中， 表示2yaxbxc的图像只可能是( ) 二、填空题（每小题5 分，共
4、25 分）11. 函数2( )2(0)f xaxaxc a的一个零点为 1，则它的另一个零点为12. 设扇形的周长为 16cm ，面积为 162cm，则该扇形的圆心角的弧度数为13. 函数2sinsin1()yxxxR的最大值为14. 若点 A(1,-3) 、B(8,12) 、C（ x，1）共线，则 x= 15. 关于函数 f(x)4sin(2x3), (xR)有下列命题：yf(x) 是以 2为最小正周期的周期函数； yf(x)可 改写为 y4cos(2x6)；yf(x) 的图象关于点 (6，0)对称； yf(x)的图象关于直线 x512对称；其中正确的序号为。x y 0 A x y 0 B
5、x y 0 C x y 0 D 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 第 3 页2012 年六安中学“三元杯”高一数学竞赛试题答题卷姓名班级考号得分：一、选择题（每小题5 分，共 50 分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、填空题（每小题5 分，共 25 分）11、 12、 13、14、 15、三、解答题（共 75 分）16、 （本题 12分）已知向量),1 ,(),2, 1 (xba（1）当ba2与ba2
6、平行时，求 x；（2）当ba2与ba2垂直时，求 x. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 第 4 页17、 （本题 12分）已知函数1( ),3,5 ,2xf xxx（1）判断函数( )f x的单调性，并证明；（2）求函数( )f x的最大值和最小值18、 （本题 12分）已知等差数列na中，nS是其前 n项和，155,7209Sa，求：11a 及10S. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -
7、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 第 5 页19、 （本题 12分）已知函数 y=Asin( x+) (A0, 0 ，| | )的 一段图象如图所示. （1）求函数的解析式；（2）求这个函数的单调增区间。20. （本题 13 分）通过研究学生的行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于教师引入概念和描述问题所用的时间. 讲座开始时，学生的兴趣急增；中间有一段不太长的时间， 学生的学习兴趣保持较理想的状态，随后学生的学习兴趣开始分散 . 分析结果和实验表明，用)(xf表示学生
8、掌握和接受概念的能力，x 表示提出和讲授概念的时间（单位分）可以用公式：)3016( ,1073)1610( ,59)100( ,436.21.0)(2xxxxxxxf（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能持续多长时间？（2）一个数学难题，需要55 的接受能力以及13 分钟时间，教师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？xy-33/35/6- /6O名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 第 6
9、 页FEGABCD21、 （本题 14分）如图，已知点G是边长为 1的正三角形ABC的中心，线段 DE经过点 G ，并绕点 G 转动，分别交边AB 、 AC 于点 D 、 E ；设ADmAB，AEnAC，其中 01m， 01n（1）求表达式nm11的值，并说明理由；（2）求ADE 面积的最大和最小值，并指出相应的m、 n 的值参考答案一、ADCBA CCBAB 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 第 7 页二、11、
10、-3 12、2 13、3 14、9 15、三、16（1）21，（2）27或-217解：设任取12,3,5x x且12xx1212121212113()()()22(2)(2)xxxxf xf xxxxx1235xx12120 , (2 )(2 )0 xxxx12()()0f xf x即12()()f xf x( )fx在3,5上为增函数 . max4( )(5)7f xfm i n2()( 3 )5fxf18设等差数列na的公差为d，则155190207812019daSdaa解得，,21, 31da82110311a，2105219102131010S.19解： （1）由图可知A=3 T=5
11、()66= ，又2T，故 =2所以 y=3sin(2x+) ，把(,0)6代入得：03sin()3故23k，23k， kZ | | ，故 k=1，33sin(2)3yx（2）由题知222232kxk解得：51212kxk故这个函数的单调增区间为5,1212kk，kZ 20. （1）当100 x时，2( )0.12.643f xxx=9.59)13(1.02x，故其递增，最大值为59)10(f，显然在3016x上，)(xf递减，59)(xf，因此开讲后10 分钟达到最强的接受状态，并维持6 分钟 . （2）当100 x时，令55)(xf，得6x；当3016x时，令55)(xf，得3117x；因此
12、学生达到55 的接受能力的时间为13311163117，教师来不及在学生达到最佳接受状态时就结束讲授xy-33/35/6- /6O名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 第 8 页21、 解： （1）如图延长AG 交 BC 与 F，G 为 ABC 的中心F 为 BC 的中点，则有ACABAF2121ABmAD，ACnAE，AFAG32AEnADmAG212123即AEnADmAG3131D、G、E 三点共线13131nm
13、故nm113 （2）ABC 是边长为 1 的正三角形，mAD，nAESADE43mn 由nm11=3， 0m1,0n1n=13mm,211m即121m。SADE43mn43132mm设 t=m-31则 m=t+31（3261t）SADE=43mn=123（ t+t91+32）易知tttf91在31,61为减函数，在32,31为增函数。t=31，即23mn，时，tf取得最小值32，即 SADE取得最小值93又653261ff，tf取得最大值是65，则 SADE取得最大值83，此时12,25mn或11,2mn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -