2022年高考题分类数列.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数列2 等比数列 a n的各项都是 正数,且a a 11C16,D就log a 10A 4B 5【解析】选 Ba a 1116a216a74a 10a7q332log2a 100572. 安徽 21本小题总分值13 分c数列 nx满意：x 10,x n12 x nxnc nN*I证明：数列 xn是单调递减数列的充分必要条件是II 求 c 的取值范畴,使数列xn是单调递增数列；【解析】I必要条件当c0时,x n1x2x ncx n数列 nx是单调递减数列n充分条件名师归纳总结 数列 xn是单调递减数列x 1x 22 x 1x 1cc2 x 101

2、x 同号,第 1 页,共 21 页得：数列 xn是单调递减数列的充分必要条件是c01II 由 I得：C0当c0时,a na 10,不合题意0c当c0时,x2cx 1,x 3c22cx 2cx n1x nc2 x n02 x nc10x 1x ncx n2xn1x21x2x n1x nx n1xnx n1xn1nn当c1时,x nc1x nx n110x n2x n1与x n142由x2x 1c0x n2x n0x n1xnx N2x N1与xNx N异号lim nxn1lim nx2x nclim nxncn当c1时,存在 N ,使x N1xNx N1142- - - - - - -精选学习资

3、料 - - - - - - - - - 与数列 xn是单调递减数列冲突得：当0c1时,数列 xn是单调递增数列m 年的年平C；48.某棵果树前n 前的总产量S 与 n 之间的关系如下图.从目前记录的结果看,前均产量最高； m 值为【解析】由图可知6,7,8,9 这几年增长最快,超过平均值,所以应当加入,因此选【答案】 C 名师归纳总结 10已知a n等差数列S 为其前 n 项和；假设a 11,S 2a 3,就a =_；第 2 页,共 21 页2【解析】由于S 2a 3a 1a 2a 3a 1a 1da 12 dda 11,2所以a 2a 1d1,Snna 1n n1d12 n1n；44【答案】

4、a21,Sn12 n1n4420本小题共13 分设 A 是由 mn 个实数组成的m 行 n 列的数表,满意：每个数的肯定值不大于1,且所有数的和为零 . 记S m n 为全部这样的数表组成的集合. 对于AS m n ,记ir A 为 A的第 i 行各数之和1im,jcA 为 A 的第 j 列各数之和1jn ；记k A 为r A 1 ,r2 A , ,mrA ,c A ,c A 2 , ,nc A 中的最小值 . 1对如下数表A ,求k A 的值；110.80.10.312设数表AS2,3形如1 a1cb1求k A 的最大值；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -

5、 - 3给定正整数 t ,对于全部的AS2,2t1,求k A 的最大值 . 解：1由题意可知r 1A1.2,r 2A01.2,c 1A1.1,c2A0.7,c 3A1.8ak A0.72先用反证法证明k A ：假设k A1就|c 1A| |a1|a11,同理可知b0,ab0由题目全部数和为0即abc1c1ab1与题目条件冲突名师归纳总结 k A 第 3 页,共 21 页易知当ab0时,k A1存在 k A 的最大值为1 3 k A 的最大值为2t1. t2第一构造满意k A2 t1的Aa i ji1,2,j1,2,., 2t1：t2a 1,1a 1,2.a 1,t1,a 1,t1a 1, t2

6、.a 1,2t1t1,t2a 2,1a 2,2.a 2, tt2t1,a 2,t1a 2,t2.a 2,2t11. t t2经运算知,A中每个元素的肯定值都小于1,全部元素之和为0,且|r 1 | |r2A |2 t1,t2|c A | |c 2 | . |c A | 1t2t11t12 t1,t t2t2t2|c t1A | |c t2A | .|c 2t1 | 1t12 t1. t2t2下 面 证 明2 tt1是 最 大 值 . 假 设 不 然 , 就 存 在 一 个 数 表AS2, 2t1, 使 得2k Ax2t1. t2由k A 的定义知 A 的每一列两个数之和的肯定值都不小于x ,而

7、两个肯定值不超过1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 的数的和,其肯定值不超过2,故 A 的每一列两个数之和的肯定值都在区间 ,2中. 由于x 1,故 A的每一列两个数符号均与列和的符号相同,且肯定值均不小于 x 1 . 设 A 中 有 g 列 的 列 和 为 正 , 有 h 列 的 列 和 为 负 , 由 对 称 性 不 妨 设 g h , 就g t h t 1 . 另外,由对称性不妨设 A 的第一行行和为正,其次行行和为负 . 考虑 A 的第一行, 由前面结论知 A的第一行有不超过 t 个正数和不少于 t 1 个负数, 每个正数的肯定值不超过 1即每

8、个正数均不超过 1,每个负数的肯定值不小于 x 1即每个负数均不超过 1 x . 因此| | r A t 1 t 11 x 2 t 1 t 1 x x 2 t 1 t 2 x x ,故 A 的第一行行和的肯定值小于 x ,与假设冲突 . 因此 k A 的最大值为 2 t 1；t 2等差数列 a n 中,a 1 a 5 10 , a 4 7,就数列 a n 的公差为A1 B2 C3 D4 考点： 等差数列的定义；难度： 易；an分析： 此题考查的学问点为复等差数列的通项公式ana 1n1 d；解答：2 a 14 d10d2；a 13 d7_；【3018】的通项公式anncosn 21,前 n 项

9、和为S ,就S 2022考点： 数列和三角函数的周期性；难度： 中；分析： 此题考查的学问点为三角函数的周期性和数列求和,所以先要找出周期,然后分组运算和；名师归纳总结 解答：a n14 n1 4 n 1cos2cos 4 n 2 241 4n1cos2101,2 1,第 4 页,共 21 页a n2 4n2 14 n2 14 ncosa n3 4n3cos 4n23 14 n3 cos3 2101,1,a n4 4n4 cos4 n24 14 n4 14 n4cos 2所以a4n1a4n2a4n3a4n6；即S 2022202263018；4- - - - - - -精选学习资料 - - -

10、 - - - - - - 11. 已知递增的等差数列a n满意a 11,a32 a 24,就an_【解析】an_2n112d1d24d2an*2n15,a 成等a 11,a32 a 2419. 本小题总分值14 分 S ,满意2S na n1n 211 nN,且a a 2设数列 a n的前 n 项和为差数列；1求1a 的值；2求数列 a n的通项公式；23 an12n13证明：对一切正整数n ,有1113a 1a2a n2【解析】12S na n1n 211,2S n1a n22n21相减得：an2S 1a23a22a 13,a 33a 246a 113a a25,a 成等差数列a 1a32a

11、25a 11：2a 11,a 25得an13 ann 2对n* N 均成立2nan13 a nn 2a n12n13ann 2 得an2n3an12n12 3 an22n23n1a 12an3n3当n1时,113a 12111当n2时,3 2n3223n22nann 22a n2n1111111113a 1a 2a n22232n22n2由上式得：对一切正整数n ,有1113a 1a2a n2an , f an仍7定义在 ,00, 上的函数f x ,假如对于任意给定的等比数列是等比数列, 就称f x 为“ 保等比数列函数”. 现有定义在 ,00, 上的如下函数：f x 2 x ；f x x 2

12、；f x |x ；f x ln |x . D 就其中是“ 保等比数列函数” 的f x 的序号为C A B 考点分析： 此题考察等比数列性质及函数运算. 难易度 ：名师归纳总结 解析： 等比数列性质,na na n2a2 a n1,1fa n2fa n22 a n2 a n22 a n12f2a n1； 第 5 页,共 21 页fanfa n2a 2n2a22ann222anfa n1；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fanfa n2a na n2a n12f2a n1；f a n f a n 2 ln a n ln a n 2 ln a n 1 2f

13、 2 a n 1 .选 C18本小题总分值 12 分已知等差数列 a n 前三项的和为 3,前三项的积为 8 . 求等差数列 a n 的通项公式；假设 a ,a ,a 成等比数列,求数列 | a n | 的前 n 项和 . 18解：设等差数列an的公差为 d ,就a 2a 1d ,a 3a 12 d ,由题意得3a 13 d3,解得a 12,或a 14,a a 1da 12 8.d3,d3.所以由等差数列通项公式可得a n23n13 n5,或a n43n13n7. . 故a n3 n5,或an3 n7. 当an3 n5时,a ,a ,a 分别为1,4 , 2,不成等比数列；当an3n7时,a

14、,a ,1a分别为1, 2 ,4 ,成等比数列,满意条件故|an| |3 n7 |3n7,n1,2,3n7,n3.记数列 |an|的前 n 项和为S . 当n1时,S 1|a 1|4；当n2时,S 2|a 1|a2|5；当n3时,S nS 2|a 3|a 4|an|53373473n75n2223n73n211n10. 当n2时,满意此式 . 224,n1,综上,S n3n211n10,n1.2212 湖南 19.本小题总分值12 分已知数列 an 的各项均为正数,记An=a1+a2+ +an,Bn=a2+a3+ +an+1,C n=a3+a4+ +an+2,n=1,2, 来& 源:中教网 %

15、 （1）假设 a1=1,a2=5,且对任意 nN ,三个数 A n,B n,Cn组成等差数列,求数列 an 的通项公式 . （2）证明： 数列 an 是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是：对任意nN,三个数An,Bn,Cn组成公比为q 的等比数列 . 【解析】名师归纳总结 解对任意nnN,三个数A n ,B n ,C n 是等差数列,所以第 6 页,共 21 页即a n1a 1a2,亦即B n A n C n B n ,an2an1a 2a 14.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 故数列a na n1n144 n3.必要性：假设数列 a n 是公比

16、为 的等比数列,就对任意 n N,有a n 1 a nq . 由 a n 0 知,A n , B n C n 均大于,于是B n a 2 a 3 . a n 1 q a 1 a 2 . a n q ,A n a 1 a 2 . a n a 1 a 2 . a nC n a 3 a 4 . a n 2 q a 2 a 3 . a n 1q ,B n a 2 a 3 . a n 1 a 2 a 3 . a n 1即 B n C n q ,所以三个数 A n , B n C n 组成公比为 q 的等比数列 . A n B n 充分性：假设对于任意 n N,三个数 A n , B n C n 组成公比

17、为 q 的等比数列,就B n qA n C n qB n ,于是 C n B n q B n A n , 得 a n 2 a 2 q a n 1 a 1 , 即a n 2 qa n 1 a 2 a 1.由 n 1 有 B 1 qA 1, 即 a 2 qa ,从而 a n 2 qa n 1 0 . 由于 a n 0,所以 a n 2 a 2q,故数列 a n 是首项为 a ,公比为 q 的等比数列,a n 1 a 1综上所述,数列 a n 是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是：对任意 nN ,三个数A n B n C n 组成公比为 q 的等比数列 . 【点评】此题考查等差数列、等比数列的定

18、义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列. 定义可得；其次问要从充分性、必要性两方面来证明,利用等比数列的定义及性质易得证6 2022 年江苏省5 分 现有 10 个数,它们能构成一个以1 为首项,3 为公比的等比数列,假设从这10 个数中随机抽取一个数,就它小于8 的概率是 【答案】3 5；【考点】 等比数列,概率；名师归纳总结 【解析】 以 1 为首项,3为公比的等比数列的10 个数为 1, 3, 9,-27,其中有 5 个第 7 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 负数, 1 个正数 1 计 6 个数小于 8,从这 10 个数中随

19、机抽取一个数,它小于8 的概率是6=3；q105202022 年江苏省16 分 已知各项均为正数的两个数列an和 b n满意：an1anb nn2,nN*,an2b1设bn11bn,nN*,求证：数列b n2是等差数列；ana n2设bn12.bn,nN*,且 an 是等比数列,求a 和1b 的值an【答案】 解：1b n11b n,an1anb n2=1b n12；ana2 nb nb na nbn11bn2；aan1nb n12b n21b n22b n21nN*；an1anana n=1数列bn2是以 1 为公差的等差数列；an2a 0,b 0,a n2bn2an2b n2 anbn2；

20、10知q 0,下面用反证法证明2,假设q 1,就a 1=a2log q2时,a n1a q nqa 1与 冲突；假设0 q a 21,当nlog q1时,an1a q n1,与qa 1 冲突；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 综上所述,q=1；ana 1nN*,11,于是b b b ；a 1 22a 1 2；a 1又由an1an2bn2即a 1a 1b n2,得b n=a 1anbna 1 21a 1 2b nb 1,b 2,b 3中至少有两项相同,与b b b 冲突；1 2 3a 1= 2；b n=2222212

21、2=2；2a 1=b 2=2；【考点】 等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法；2【解析】1依据题设 a n 1a an n2 bb nn 2 和 b n 1 1 ba nn,求出a b nn 11 1 ba nn,从而2 2证明 b n 1 b n 1 而得证；a n 1 a n2依据基本不等式得到 1 a n 1a an n2 bb nn 2 2,用反证法证明等比数列 a n 的公比 q =1；从而得到 a n a 1 n N * 的结论,再由 b n 1 2 . b n = 2 . b n 知 b n 是公比是 2 的等比a n a 1 a 1数列；最终用反证法求出 a 1 =

22、 b 2 = 2；15 江西 12.设数列 an, bn 都是等差数列,假设 a1+b1=7,a3+b3=21,就 a5+b5=_ 12. 35【解析】此题考查等差中项的性质及整体代换的数学思想名师归纳总结 解法一由于数列an,b n都是等差数列,所以数列b 3a nb n也是等差数列 . 21,解得第 9 页,共 21 页故由等差中项的性质,得a 5b 5a 1b 12a 3,即a 5b 572a5b 535. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解法二设数列an,b n的公差分别为d d2, 由于 a 3 b 3 a 1 2 d 1 b 1 2 d

23、2 a 1 b 1 2 d 1 d 2 7 2 d 1 d 2 21 , 所以 d 1 d 2 7 .所以 a 5 b 5 a 3 b 3 2 d 1 d 2 35 . 【点评】 对于等差数列的运算问题,要留意把握基本量法这一通法,同时要留意合理使用等差数列的性质进行巧解 . 表达考纲中要求懂得 等差数列的概念 . 来年需要 等差数列的 通项公式,前 n 项和,等差中项的性质等 .16.本小题总分值 12 分1 2已知数列 an 的前 n 项和 S n n kn k N ,且 Sn 的最大值为 8. 21确定常数 k,求 an；2求数列 9 2n a n 的前 n 项和 Tn；216.本小题总

24、分值 12 分 解: 1当 n k N 时,S n 1 n 2kn取最大值, 即 8 1 k 2k 2 1 k ,故 2k 4,2 2 2从而 a n S n S n 1 9 n n 2,又 a 1 S 1 7,所以 a n 9 n2 2 2（1）由于 b n 9 2n a n nn 1,T n b 1 b 2 b n 1 2 32 nn 12 nn 12 2 2 2 2 2所以 T n 2 T n T n 2 1 1 1n 2 nn 1 4 1n 2 nn 1 4 nn 1 22 2 2 2 2 217 辽宁 6. 在等差数列 a n 中,已知 a 4 + a 8 =16,就该数列前 11

25、项和 S 11=A58 B88 C143 D 176 【命题意图】此题主要考查等差数列通项公式和前 n 项和公式,是简洁题 . 11 a 1 + a 11【解析】a 4 + a 8 =2 a 6 =16 a 6 =8,而 S 11 = =11 a 6 =88,应选 B. 2218 辽宁 14.已知等比数列 a n 为递增数列,且 a 5 = a 10 ,2 a n + a n +2 =5 a n +1,就数列 a n 的通项公式 a n = _【命题意图】此题主要考查等比数列的通项公式及方程思想,是简洁题 . 【 解 析 】 设 等 比 数 列 a n 的 公 比 为 q , 就 由 2 a

26、n + a n +2 =5 a n +1 得 ,2+2 q 2=5 ,2 q 2-5 +2=0,解得 q = 1或q 2 ,又由 a 5 2= a 10 知,a q 4 2= a q ,所以 9a 1= q ,2n由于 a n 为递增数列,所以 a 1= =2,a n =219 全国卷大纲版 5已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S n , a 5 5, S 5 15,就数列 1a a n 1的前 100 项和为A100 101B99 101C99 100D101 100答案 A 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - -

27、 - 【命题意图】 本试题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和的公式的运用,以及裂项求和名师归纳总结 的综合运用, 通过已知中两项, 得到公差与首项, 得到数列的通项公式,并进一步裂项求和；第 11 页,共 21 页【解析】由S n,a 55,S 515可得a 14d2515a 11ann5a 154dd11111a a n1n n1nn1S 1001111 311 101111002210010110120 全国卷大纲版22本小题总分值12 分留意：在试卷上作答无效 函数f x x22x3；定义数列nx如下：x 12,x n1是过两点P 4,5,Qnxn,f xn的直线PQ 与 x 轴交点

28、的横坐标；1证明：2x nxn13；2求数列x n的通项公式；解：1为f442835,故点P4,5在函数f x 的图像上,故由所给出的两点P 4,5,Qnxn,f xn,可知,直线PQ 斜率肯定存在；故有直线PQ 的直线方程为y5fx n45x4,令y0,可求得xn5x n2x n2x n8x4x n52x4x4x n34x n2所以x n14x n3x n2下面用数学归纳法证明2xn3当n1时,x 12,满意2x 13假设 nk 时, 2kx3成立,就当nk1时,xk14xk34x k52,x k2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由2x k34x k251xk5252114xk523即2kx1344也成立综上可知 2 nx 3 对任意正整数恒成立；下面证明 x n x n 1由 x n 1 x n 4 x n 3x n 4 x n 3 x n 2 2 x n x n 1 2 4x n 2 x n 2 x n 22由 2 x n 3 1 x n 1 2 0 x n 1 4 3,故有 x n 1 x n 0 即 x n x n 1综上可知 2 x n x n 1 3 恒成立；2由 x n 1 4 x n 3 得到该数列的一个特点方程 x 4 x 3 即 x 22 x 3 0,解得 x 3x n 2 x 2或 x 14 x n