2022年高考题分类数列 .pdf

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1、数列2等比数列na的各项都是正数，且31116a a，则210log a()A4()B5()C()D【解析】选B23311771072101616432log5a aaaaaqa2. 安徽 21 本小题总分值13 分数列nx满足：2*110,()nnnxxxxc nNI证明：数列nx是单调递减数列的充分必要条件是0cII求c的取值范围，使数列nx是单调递增数列。【解析】I必要条件当0c时，21nnnnxxxcx数列nx是单调递减数列充分条件数列nx是单调递减数列22121110 xxxxccx得：数列nx是单调递减数列的充分必要条件是0cII由 I得：0C当0c时，10naa，不合题意当0c时

2、，22132,201xcxxccxcc2211010nnnnnxxcxxcxxc22211111()()()(1)nnnnnnnnnnxxxxxxxxxx当14c时，1211102nnnnnxcxxxx与1nnxx同号，由212100nnnnxxcxxxx21limlim()limnnnnnnnxxxcxc当14c时，存在N，使121112NNNNNxxxxx与1NNxx异号精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页与数列nx是单调递减数列矛盾得：当104c时，数列nx是单调递增数列8.某棵果树前n 前的总产量S 与 n

3、之间的关系如下图.从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高。 m 值为【解析】由图可知6,7,8,9 这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C。【答案】 C 10已知na等差数列nS为其前 n 项和。假设211a，32aS，则2a=_。【解析】因为212111132132addadaaaaaaS，所以112daa，nndnnnaSn4141) 1(21。【答案】12a，nnSn4141220 本小题共13 分设A是由mn个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零 . 记,S m n为所有这样的数表组成的集合. 对于,AS m n， 记( )irA为

4、A的第i行各数之和1im ，()jcA为A的第j列各数之和1jn ；记()k A为1( )r A，2( )rA，()mrA，1( )c A，2( )c A，( )ncA中的最小值 . 1对如下数表A，求( )k A的值；110.80.10.312设数表2,3AS形如求()k A的最大值；11cab1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 21 页3给定正整数t，对于所有的2,21ASt，求( )k A的最大值 . 解： 1由题意可知11.2rA，21.2rA，11.1cA，20.7cA，31.8cA0.7k A2先用反证法证明1

5、k A ：假设1k A则1| |1|11cAaa，0a同理可知0b，0ab由题目所有数和为0即1abc11cab与题目条件矛盾1k A 易知当0ab时，1k A存在 k A 的最大值为1 3 k A 的最大值为212tt. 首先构造满足21()2tk At的,(1,2,1,2,.,21)i jAaijt：1,11,21,1,11,21,211.1,.2tttttaaaaaat，22,12,22,2,12,22,211.,.1(2)ttttttaaaaaat t. 经计算知，A中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且1221|( ) | |()|2trArAt，2121121|( ) |

6、 |( ) | . |()| 11(2)22tttttc AcAc At ttt，1221121|() | |()| .|( ) | 122tttttcAcAcAtt. 下 面 证 明212tt是 最 大 值 . 假 设 不 然 ， 则 存 在 一 个 数 表(2,21)ASt， 使 得21()2tk Axt. 由()k A的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超过1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页的数的和，其绝对值不超过2，故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间 ,2x中. 由于1x，故

7、A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于1x. 设A中 有g列 的 列 和 为 正 ， 有h列 的 列 和 为 负 ， 由 对 称 性 不 妨 设gh， 则,1gt ht. 另外，由对称性不妨设A的第一行行和为正，第二行行和为负. 考虑A的第一行， 由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于1t个负数， 每个正数的绝对值不超过1即每个正数均不超过1 ，每个负数的绝对值不小于1x即每个负数均不超过1x. 因此11| ( ) |( )1(1)(1)21(1)21(2)rAr Attxttxxttxx，故A的第一行行和的绝对值小于x，与假设矛盾 . 因此 k A 的最大值为212

8、tt。等差数列na中，7,10451aaa，则数列na的公差为A1 B2 C3 D4 考点： 等差数列的定义。难度： 易。分析： 此题考查的知识点为复等差数列的通项公式dnaan)1(1。解答：273104211ddada。na的通项公式12cosnnan，前n项和为nS，则2012S_。 【3018】考点： 数列和三角函数的周期性。难度： 中。分析： 此题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和。解答：1012cos) 14(12) 14(cos) 14(14nnnan，1)24(1cos)24(12)24(cos)24(24nnnnan，10123cos)

9、34(12)34(cos) 34(34nnnan，14412cos)44(12)44(cos)44(44nnnnan，所以14na24na34na644na。即30186420122012S。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 21 页11. 已知递增的等差数列na满足21321,4aaa，则_na【解析】_na21n221321,412(1)4221naaadddan19.( 本小题总分值14 分) 设数列na的前n项和为nS，满足1*1221()nnnSanN，且123,5,a aa成等差数列。1求1a的值；2求数列na

10、的通项公式。3证明：对一切正整数n，有1211132naaa【解析】112112221,221nnnnnnSaSa相减得：12132nnnaa12213212323,34613Saaaaaa123,5,a aa成等差数列13212(5)1aaaa2121,5aa得132nnnaa对*nN均成立1113223(2 )nnnnnnnaaaa得：122112123(2)3 (2)3(2)32nnnnnnnnnnaaaaa3当1n时，11312a当2n时，23311( )()23222222nnnnnnnaa231211111111311222222nnnaaa由上式得：对一切正整数n，有121113

11、2naaa7定义在 (,0)(0,) 上的函数( )f x ，如果对于任意给定的等比数列na， ()nf a仍是等比数列， 则称( )f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)(0,) 上的如下函数：2( )f xx ；( )2xf x；( )|f xx ；( )ln |f xx . 则其中是“保等比数列函数”的( )f x 的序号为ABCD考点分析： 此题考察等比数列性质及函数计算. 难易度 ：解析： 等比数列性质，212nnnaaa，122212222nnnnnnafaaaafaf； 12221222222naaaaannafafafnnnnn；精选学习资料 - - - - - -

12、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 21 页122122nnnnnnafaaaafaf；122122lnlnlnnnnnnnafaaaafaf.选 C18 本小题总分值12 分已知等差数列na前三项的和为3，前三项的积为8. 求等差数列na的通项公式；假设2a ，3a ，1a 成等比数列，求数列|na的前 n 项和 . 18解：设等差数列na的公差为d，则21aad ，312aad ，由题意得1111333,()(2 )8.ada adad解得12,3,ad或14,3.ad所以由等差数列通项公式可得23(1)35nann，或43(1)37nann. 故35na

13、n，或37nan. 当35nan时，2a ，3a ，1a 分别为1，4，2，不成等比数列；当37nan时，2a ，3a ，1a 分别为1，2，4，成等比数列，满足条件. 故37,1,2,| |37|37,3.nnnannn记数列 |na的前 n 项和为nS . 当1n时，11|4Sa；当2n时，212|5Saa；当3n时，234|nnSSaaa5(337)(347)(37)n2(2)2(37)311510222nnnn. 当2n时，满足此式. 综上，24,1,31110,1.22nnSnnn12 湖南 19.本小题总分值12 分已知数列 an 的各项均为正数，记An=a1+a2+ +an，Bn

14、=a2+a3+ +an+1，C n=a3+a4+ +an+2，n=1,2，来& 源:中教网 % （1）假设 a1=1，a2=5，且对任意nN，三个数A n ，B n ，Cn组成等差数列，求数列 an 的通项公式 . （2）证明： 数列 an 是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意Nn，三个数An ，Bn ，Cn组成公比为q 的等比数列 . 【解析】解对任意Nn,三个数( ),( ),( )A nB nC n是等差数列，所以( )( )( )( ),B nA nC nB n即112,nnaaa亦即21214.nnaaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

15、- - - - - -第 6 页，共 21 页故数列na1(1)443.nann 必要性：假设数列na是公比为的等比数列，则对任意Nn，有1.nnqaa由0na知，( ),( ),( )A nB n C n均大于，于是12)2311212(.( ),( ).nnnnq aaaaaaB nqA naaaaaa231)342231231(.( ),( ).nnnnq aaaaaaC nqB naaaaaa即( )( )B nA n( )( )C nB nq，所以三个数( ),( ),( )A nB n C n组成公比为q的等比数列 . 充分性：假设对于任意Nn，三个数( ),( ),( )A nB

16、 n C n组成公比为q的等比数列，则( )( ),( )( )B nqA n C nqB n，于是( )( )( )( ) ,C nB nq B nA n得2211(),nnaaq aa即2121.nnaqaaa由1n有(1)(1),BqA即21aqa，从而210nnaqa. 因为0na，所以2211nnaaqaa，故数列na是首项为1a，公比为q的等比数列，综上所述，数列na是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意nN，三个数( ),( ),( )A n B n C n组成公比为q的等比数列 . 【点评】此题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；

17、第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证. 6 2012 年江苏省5 分 现有 10 个数，它们能构成一个以1 为首项，3为公比的等比数列，假设从这10 个数中随机抽取一个数，则它小于8 的概率是 【答案】35。【考点】 等比数列，概率。【解析】 以 1 为首项，3为公比的等比数列的10 个数为 1， 3， 9，-27， 其中有 5 个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 21 页负数， 1个正数 1 计 6 个数小于 8，从这 10 个数中随机抽取一个数，它小于8 的概率是63=105。20 20

18、12 年江苏省16 分 已知各项均为正数的两个数列na和nb满足：221nnnnnbabaa，*Nn，1设nnnabb11，*Nn，求证：数列2nnba是等差数列；2设nnnabb?21，*Nn，且na是等比数列，求1a和1b的值【答案】 解： 1nnnabb11，11222=1nnnnnnnnabbaabba。2111nnnnbbaa。222221111*nnnnnnnnbbbbnNaaaa。数列2nnba是以 1 为公差的等差数列。200nna b ，22222nnnnnnabab ab。12212nnnnnab知0q，下面用反证法证明=1q假设1,q则212=2aaa时，112nnaa

19、q ，与矛盾。假设01, q a q，当11logqna时，111nnaa q ，与矛盾。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 21 页综上所述，=1q。1*naanN，112a，于是123b b b。又由221nnnnnbabaa即11221nnabaab，得22111212=1naaaba。123bbb，中至少有两项相同，与123b b b矛盾。1= 2a。2222222=221nb。12=2ab。【考点】 等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。【解析】1根据题设221nnnnnbabaa和nnnabb11，求

20、出2111nnnnbbaa，从而证明22111nnnnbbaa而得证。2根据基本不等式得到12212nnnnnab0 时,由 I知，; 22, 1221aa当nnssan2222）时，有（, (2+2)an-1=S2+Sn-1 所以， an=)2(21nan所以111)2() 12()2(nnnaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 21 页令1112100lg21)2lg(1,10lgnnnnnbaab则所以，数列 bn是以2lg21为公差，且单调递减的等差数列. 则 b1b2b3 b7=01lg810lg当 n8 时，

21、 bnb8=128100lg2101lg21所以， n=7 时， Tn取得最大值，且Tn的最大值为T7=2lg22172771）（bb12 分点评 本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力；第三，数学思想：考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想. 29 天津 18(本小题总分值13 分已知 na是等差数列，其前n项和为nS，nb是等比数列 , 且1a=1=2b，44+=27ab，44=10Sb. ( ) 求数列 na与nb 的通项公式；( ) 记112231nnnnnTa bab

22、aba b；证明：+12=2+10nnnTab+()nN. 【命题意图】本试题主要考查了【参考答案】（1）设数列na的公差为d，数列nb的公比为q；则34434412732322710246210abddqSbqadq得：31,2nnnanb21211 223112112222 ()22nnnnnnnnnnnaaTa bababa baaaa111213132352222nnnnnnnannncc12231112 ()()()2 ()nnnnnnTcccccccc1022(35)1021212102nnnnnnnbaTba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

23、- - - - -第 18 页，共 21 页【点评】该试题命制比较直接，没有什么隐含的条件，就是等比与等差数列的综合应用，但方法多样， 第二问可以用错位相减法求解证明，也可用数学归纳法证明，给学生思维空间留有余地，符合高考命题选拔性的原则. 30 新课标 5已知na为等比数列，472aa，568a a，则110aa()A7()B5()C()D【解析】选D472aa，56474784,2a aa aaa或472,4aa471101104,28,17aaaaaa471011102,48,17aaaaaa31 新课标 16数列na满足1( 1)21nnnaan，则na的前60项和为【解析】na的前6

24、0项和为1830可证明：14142434443424241616nnnnnnnnnnbaaaaaaaab112341515 141010 151618302baaaaS31 浙江 7设 S n是公差为 d(d0)的无穷等差数列a n的前 n 项和， 则以下命题错误的选项是A假设 d 0，则数列 S n有最大项B假设数列 S n 有最大项，则d0 C假设数列 S n 是递增数列，则对任意的nN* ，均有 S n0D假设对任意的nN* ，均有 S n0，则数列 S n是递增数列【解析】选项C 显然是错的，举出反例：1，0，1，2，3，满足数列Sn是递增数列，但是S n 0 不成立【答案】 C 32

25、 浙江 13设公比为q(q0)的等比数列 a n的前 n 项和为 S n假设2232Sa，4432Sa，则 q_【解析】将2232Sa，4432Sa两个式子全部转化成用1a ，q 表示的式子即111233111113232aa qa qaa qa qa qa q，两式作差得：2321113(1)a qa qa q q，即：2230qq，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 21 页解之得：312qorq(舍去 )【答案】3233 重庆na中，5, 142aa, 则na的前 5 项和5S= A.7 B.15 C.20 D.25

26、 【解析】选B15242451,5551522aaaaaaS34 重庆 12、21lim5nnnn。【解析】21lim_5nnnn2522151 5/12limlimlim5555nnnnnnnnnnn35 重庆 21、 本小题总分值12 分， I小问 5 分， II 小问 7 分。 设数列na的前n项和nS满足121nnSa Sa，其中20a。I求证：na是首项为1 的等比数列；II假设21a，求证：1()2nnnSaa，并给出等号成立的充要条件。21、 1证明：由2211Sa Sa，得12121aaa aa，即221aa a。因20a，故11a，得221aaa，又由题设条件知2211nnS

27、a Sa，121nnSa Sa两式相减得2121nnnnSSaSS，即221nnaa a，由20a，知10na，因此221nnaaa综上，221nnaaa对所有*nN成立，从而na是首项为1，公比为2a的等比数列。（2）当1n或2时，显然1()2nnnSaa，等号成立。设3n，21a且20a，由 1知，11a，12nnaa，所以要证的不等式化精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 21 页为：21122221132nnnaaaan即证：2222211122nnnaaaan当21a时，上面不等式的等号成立。当211a时，21ra与21n ra， 1,2,3,1rn同为负；当21a时，21ra与21n ra， 1,2,3,1rn同为正；因此当21a且21a时，总有21ra 21n ra0,即2221rn rnaaa， 1,2,3,1rn 。上面不等式对r从 1 到1n求和得，222222()(1) 1nrnaaana由此得222221112nnnaaaa综上，当21a且20a时，有1()2nnnSaa，当且仅当1,2n或21a时等号成立。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页