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1、高中数学函数奇偶性专题复习总结1 / 5 【函数的奇偶性】专题复习一、关于函数的奇偶性的定义定义说明： 对于函数)(xf的定义域内任意一个x：)()(xfxf)(xf是偶函数；)()(xfxf)(xf奇函数；函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。二、函数的奇偶性的几个性质对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；可逆性：)()(xfxf)(xf是偶函数；)()(xfxf)(xf是奇函数；等价性：)()(xfxf0)()(xfxf；)()(xfxf0)()(xfxf奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y
2、轴对称；可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。三、函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：第一种方法 ：利用奇、偶函数的定义，考查)(xf是否与)(xf、)(xf相等，判断步骤如下：定义域是否关于原点对称；数量关系)()(xfxf哪个成立；例 1：判断下列各函数是否具有奇偶性（1）xxxf2)(3（2）2432)(xxxf ( 3）1)(23xxxxf（4）2)(xxf2, 1x（5）xxxf22)(（6）2|2|1)(2xxxf；（7）2211)(xxxf（8）221( )lglgf xxx；（9）xxxxf11)1()(
3、例 2：判断函数)0()0()(22xxxxxf的奇偶性。第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：35721246822().1(0);()sin ; tan().(0);()cos ;();log;(0,0)(0)0()1kkxax xxxxkZkkxxxxxx xxxxkZaxc bxfxxyC Caxkxb kbyxa ayy常见的奇函数：耐克函数常见的偶函数：为常数常见的非奇非偶函数 :定义域关于原点对称常见的既奇又偶函数：221(1)xxx两个点的函数四、关于函数的奇偶性的6 个结论。两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数
4、；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 高中数学函数奇偶性专题复习总结2 / 5 结论 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。结论 2 两个奇函数的和仍是奇函数；两个偶函数的和仍是偶函数。结论 3 )(xf是任意函数，定义域关于原点对称，那么)( xf是偶函数。结论 4
5、函数)()(xfxf是偶函数，函数)()(xfxf是奇函数。结论 5 已知函数)(xf是奇函数，且)0(f有定义，则0)0(f。结论 6已知)(xf是奇函数或偶函数，方程0)(xf有实根，那么方程0)(xf的所有实根之和为零；若)(xf是定义在实数集上的奇函数，则方程0)(xf有奇数个实根。五、关于函数按奇偶性的分类：全体实函数可按奇偶性分为四类：奇偶数、偶函数、既是奇函数也是偶函数、非奇非偶函数。六、关于奇偶函数的图像特征例 1：偶函数)(xfy在y轴右则时的图像如图（一），则y轴右侧的函数图像如图（二）。七、关于函数奇偶性的简单应用1、利用奇偶性求函数值例 1：（ 1）已知8)(35bxa
6、xxxf且10)2(f，求)2(f的值（2）已知53( )531f xxxx1 1(,)2 2x的最大值M,最小值为m,求Mm的值2、利用奇偶性比较大小例 2： （1）已知偶函数)(xf在0,上为减函数，比较)5(f，) 1(f，)3(f的大小。（2）已知函数yfx是 R 上的偶函数， 且fx在0,上是减函数， 若2faf，求a的取值范围 . （3） 定义域为R的函数xf在,8上为减函数，且函数8xfy为偶函数，则A. 76ffB. 96ffC. 97ffD. 107ff3.利用奇偶性求解析式例 3： （1）已知)(xf为偶函数，时当时当01,1)(,10 xxxfx，求)(xf解析式？（2）
7、已知( )f x为奇函数，当0 x时,2( )2f xxx，当0 x时，求)(xf解析式？4、利用奇偶性讨论函数的单调性例 4：若3)3()2()(2xkxkxf是偶函数，讨论函数)(xf的单调区间？2 -1 1 1 -2 X Y 图（二）0 1 2 1 X Y 图（一）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 高中数学函数奇偶性专题复习总结3 / 5 x 0 y 1 x 0 y 1 x 0 y 1 x 0 y 1 5、利
8、用奇偶性判断函数的奇偶性例 5：已知)0()(23acxbxaxxf是偶函数，判断cxbxaxxg23)(的奇偶性。6、利用奇偶性求参数的值例 6： （1）定义R上的偶函数)(xf在)0,(单调递减 ,若)123()12(22aafaaf恒成立， 求a的范围 . （2）定义R上单调递减的奇函数( )f x满足对任意tR，若22(2 )(2)0f ttftk恒成立 ,求k的范围 . （ 3）已知fx在定义域0,上为增函数，且满足,31fxyfxfyf，求不等式82fxfx解. 7、利用图像解题例 7： （1）设奇函数f(x) 的定义域为 -5,5. 若当 x0,5时,f(x) 的图象如右图 ,则
9、不等式0 xf的解是. （2） 若函数( )f x在(,0)(0,)上为奇函数， 且在(0,)上单调递增 ,( 2)0f,则不等式( )0 xf x的解集为 _. 8.利用定义解题例 8：已知1( )21xf xa为奇函数，则a_。已知21( )(32)()xf xxxa为偶函数，则a_。9.利用性质选图像例 9： （1）设1a，实数,x y满足1|log0axy，则y关于x的函数的图像形状大致是A B C D （2）函数xxxxeeyee的图象大致为（A）（B）（C）（D）【奇偶性专题】训练1、判断下列函数的奇偶性（1）)0(1xxy； （2）14xy； （3）xy2； （4） ；)1(l
10、o g22xxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 高中数学函数奇偶性专题复习总结4 / 5 （5） ；xexfx)1ln()(2（6） ；)0()1()0()1()(xxxxxxxf【变题】已知( )f x对一切实数, x y都有()( )( )f xyf xfy，则( )f x的奇偶性如何？2、 （1）如果定义在区间 5,3a上的函数)(xf为奇函数，则a=_ （2）若axfxxlg22)(为奇函数，则实数a_
11、（3）若函数)(xf是定义在 R 上的奇函数，且当),0(x时，)1 ()(3xxxf，那么当)0,(x时，)(xf=_ （4）已知函数)(xfy在 R 是奇函数，且当0 x时，xxxf2)(2，则0 x时，)(xf的解析式为 _ （5）定义在)1 ,1(上的奇函数1)(2nxxmxxf，则常数m_,n_ （6）函数cbxaxy2是偶函数的充要条件是_ （7）已知5)(357dxcxbxaxxf，其中dcba,为常数，若7)7(f，则)7(f_ 3、若)(xf)(Rx是奇函数，则下列各点中，在曲线)(xfy上的点是A. )(,(afaB. )sin(,sin(fC. )1(lg,lg(afaD
12、. )(,(afa4、设)(xf是),(上的奇函数，)()2(xfxf，当10 x时，xxf)(，则)5.47(f等于A. 0.5 B. 5 .0C. 1.5 D. 5 .14、若函数)(xf是定义在 R 上的奇函数，则函数)()()(xfxfxF的图象关于A. x轴对称B. y轴对称C. 原点对称D. 以上均不对6、函数)0)()1221 ()(xxfxFx是偶函数，且)(xf不恒等于零，则)(xfA. 是奇函数B. 是偶函数C. 可能是奇函数也可能是偶函数D. 不是奇函数也不是偶函数7、下列函数既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是A. ( )sinf xxB. ( )1f xxC. 1
13、( )2xxf xaaD. 2( )ln2xfxx8、已知函数)(.)(.11lg)(afbafxxxf则若Ab B b Cb1Db19、设)(xf是定义在实数集R 上的函数，且满足)() 1()2(xfxfxf，如果23lg)1(f，15lg)2(f，求)2001(f10、设)(xf是定义在R上的奇函数，且)()2(xfxf，又当11x时，3)(xxf，（1）证明：直线1x是函数)(xf图象的一条对称轴： （2）当 5, 1x时，求)(xf的解析式。【变题】设)(xf是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线1x对称，求证：)(xf是周期函数。11、已知)21121()(xxxf，（1）判断)
14、(xf的奇偶性；（2）证明：0)(xf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 高中数学函数奇偶性专题复习总结5 / 5 12、定义在 11，上的函数)(xfy是减函数，且是奇函数，若0)54()1(2afaaf，求实数a的范围。13、设)(xf是定义在R上的偶函数，其图象关于直线1x对称，对任意21,0,21xx，都有)()()(2121xfxfxxf. （1）设2) 1(f，求)41(),21(ff； （2）证明)(x
15、f是周期函数。答案：基本训练：1、 （1） （5） ； （2） ； （3） （4）变题：奇函数2、0b 3 、17 4 、B 5 、A 例题： 1(1)8 (2)10 (3)3(1)xx(4)B 2(1) 奇函数 (2)既是奇函数也是偶函数 (3)非奇非偶函数 3 、1 4(1) 证(1)(1)fxfx(2)33(2) ,1,3( )(4) ,3,5xxfxxx变题： T4作业：18、DAA BD BDC 9 、2( )2 (0)f xxx x10、0；0 11(1)偶函数 (2)奇函数 12(1)偶函数 13、3331,2 14(1)411()2,( )224ff (2)T=2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -