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1、函数的单调性和奇偶性经典例题透析类型一、函数的单调性的证明1.证明函数上的单调性 . 证明： 在(0，+)上任取 x1、x2(x1x2)， 令 x=x2-x10 则x10， x20，上式 0， y=f(x2)-f(x1)0 上递减 . 总结升华：1 证明函数单调性要求使用定义；2 如何比较两个量的大小？(作差 ) 3 如何判断一个式子的符号？(对差适当变形 ) 举一反三：【变式 1】用定义证明函数上是减函数 . 思路点拨： 本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明： 设 x1， x2是区间上的任意实数，且x1x2，则0 x1 x21 x1-x20，0 x1x21
2、 0 x1x2 1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - - 故，即 f(x1)-f(x2)0 x1x2时有 f(x1)f(x2) 上是减函数 . 总结升华： 可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象. 类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间；(1)y=x2-3|x|+2； (2)解： (1)由图象对称性，画出草图f(x) 在上
3、递减，在上递减，在上递增. (2)图象为f(x) 在上递增 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - - 举一反三：【变式 1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1| ； (2)(3). 解： (1)画出函数图象，函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+)；(2)定义域为，其中 u=2x-1 为增函数，在(-，0)与(0，+)为减函数，则上为减函数；(3)定义域为 (-， 0)(0，+)，单调增区间为：(-， 0)，
4、单调减区间为(0，+). 总结升华：1 数形结合利用图象判断函数单调区间；2 关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. 3复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用( 比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)3. 已知函数f(x) 在(0， +)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小 . 解：又 f(x) 在(0，+ )上是减函数，则. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
5、 - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - - 4. 求下列函数值域：(1)； 1)x5，10； 2)x(-3，-2)(-2，1)；(2)y=x2-2x+3 ；1)x-1，1； 2)x-2，2. 思路点拨： (1)可应用函数的单调性；(2)数形结合 . 解：(1)2 个单位， 再上移 2 个单位得到，如图1)f(x) 在5， 10上单增，；2)；(2)画出草图1)yf(1) ， f(-1) 即2，6；2). 举一反三：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -
6、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 22 页 - - - - - - - - - 【变式 1】已知函数. (1)判断函数f(x) 的单调区间；(2)当 x1，3时，求函数f(x) 的值域 . 思路点拨： 这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域. 解： (1)上单调递增，在上单调递增；(2)故函数 f(x)在 1，3上单调递增x=1 时 f(x) 有最小值， f(1)=-2 x=3 时 f(x) 有最大值x1，3时 f(x) 的值域为. 5. 已知二次函数
7、f(x)=x2-(a-1)x+5 在区间上是增函数， 求：(1)实数 a的取值范围； (2)f(2) 的取值范围 . 解： (1)对称轴是决定 f(x) 单调性的关键，联系图象可知只需；(2)f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11 又 a2， -2a-4 f(2)=-2a+11 -4+11=7 . 类型四、判断函数的奇偶性名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 22 页 - - - - - - - - - 6. 判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)f(
8、x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6)(7)思路点拨： 根据函数的奇偶性的定义进行判断. 解： (1)f(x) 的定义域为，不关于原点对称，因此f(x) 为非奇非偶函数；(2)x-10， f(x) 定义域不关于原点对称，f(x) 为非奇非偶函数；(3)对任意 xR，都有 -xR，且 f(-x)=x2-4|x|+3=f(x) ，则 f(x)=x2-4|x|+3 为偶函数；(4)xR，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)， f(x) 为奇函数；(5)， f(x) 为奇函数；(6)xR，f(x)=-x|x|+x f(-x)
9、=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)， f(x) 为奇函数；(7)， f(x) 为奇函数 . 举一反三：【变式 1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)f(x)=|x+1|-|x-1| ；(3)f(x)=x2+x+1 ；(4). 思路点拨： 利用函数奇偶性的定义进行判断. 解： (1)；(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) f(x) 为奇函数；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 22 页 -
10、 - - - - - - - - (3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1 f(-x) -f(x) 且 f(-x) f(x) f(x) 为非奇非偶函数；(4)任取 x 0 则 -x0， f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x) 任取 x0，则 -x0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x) x=0 时， f(0)=-f(0) xR 时， f(-x)=-f(x) f(x) 为奇函数 . 举一反三：【变式 2】 已知 f(x) ， g(x)均为奇函数， 且定义域相同， 求证：f(
11、x)+g(x) 为奇函数， f(x) g(x)为偶函数 . 证明： 设 F(x)=f(x)+g(x) ， G(x)=f(x) g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x) G(-x)=f(-x) g(-x)=-f(x) -g(x)=f(x) g(x)=G(x) f(x)+g(x) 为奇函数， f(x) g(x)为偶函数 . 类型五、函数奇偶性的应用( 求值，求解析式，与单调性结合)7.已知 f(x)=x5+ax3-bx-8，且 f(-2)=10 ，求 f(2). 解： 法一： f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-
12、8a+2b-8=-40-8a+2b=10 8a-2b=-50 f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26 法二：令g(x)=f(x)+8 易证 g(x)为奇函数 g(-2)=-g(2) f(-2)+8=-f(2)-8 f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26. 8. f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x0 时， f(x)=x2-x，求当 x0 时， f(x)的解析式，并画出函数图象. 解： 奇函数图象关于原点对称， x0 时， -y=(-x)2-(-x) 即 y=-x2-x 又 f(0)=0 ，如图9. 设定义在 -3，3上的偶函数f(x) 在0，3上
13、是单调递增，当f(a-1) f(a)时，求 a的取值范围 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 22 页 - - - - - - - - - 解： f(a-1)f(a) f(|a-1|)f(|a|) 而|a-1|， |a| 0，3 . 类型六、综合问题10.定义在 R 上的奇函数f(x) 为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设 ab0，给出下列不等式，其中成立的是_. f(b)-f(-a) g(a)-g(-b) ；f(b)-f(-a)
14、g(a)-g(-b) ；f(a)-f(-b) g(b)-g(-a) ；f(a)-f(-b) g(b)-g(-a). 答案： . 11. 求下列函数的值域：(1)(2)(3)思路点拨： (1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t 范围 . 解：(1)；(2)经观察知，；(3)令. 12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1. (1)若函数 f(x)在区间 0，2上是单调的，求实数a 的取值范围；(2)当 x-1， 1时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最
15、小值函数y=g(a)的图象 . 解： (1)f(x)=(x-a)2-1 a0 或 a 2 (2)1当 a-1 时，如图1，g(a)=f(-1)=a2+2a 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 22 页 - - - - - - - - - 2当 -1 a1 时，如图2，g(a)=f(a)=-1 3当 a1 时，如图3，g(a)=f(1)=a2-2a ，如图13. 已知函数f(x) 在定义域 (0，+)上为增函数， f(2)=1 ，且定义域上任意x、y 都满足 f
16、(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2) 3. 解： 令 x=2，y=2， f(22)=f(2)+f(2)=2 f(4)=2 再令 x=4，y=2， f(42)=f(4)+f(2)=2+1=3 f(8)=3 f(x)+f(x-2) 3 可转化为： fx(x-2) f(8) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 22 页 - - - - - - - - - . 14. 判断函数上的单调性，并证明. 证明： 任取 0 x1x2，0 x1 x2，
17、 x1-x20，x1x20 (1)当时0 x1x21， x1x2-10 f(x1)-f(x2)0 即 f(x1)f(x2) 上是减函数 . (2)当 x1，x2 (1，+ )时，上是增函数 . 难点： x1x2-1 的符号的确定，如何分段. 15. 设 a 为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，xR，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x) 的最小值 . 解： 当 a=0 时， f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当 a0 时， f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数. (1)当 xa 时，1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -
18、- - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 22 页 - - - - - - - - - 且2上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1. (2)当 xa 时，1上单调递减，上的最小值为f(a)=a2+1 2上的最小值为综上：. 学习成果测评基础达标一、选择题1下面说法正确的选项( ) A函数的单调区间就是函数的定义域B函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2在区间上为增函数的是( ) ABCD3已知函数为偶函数，则的值是 ( ) 名师资料总结 - - -精品资料欢
19、迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 22 页 - - - - - - - - - A. B. C. D. 4若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是( ) ABCD5 如果奇函数在区间上是增函数且最大值为， 那么在区间上是 ( ) A增函数且最小值是B增函数且最大值是C减函数且最大值是D减函数且最小值是6设是定义在上的一个函数， 则函数，在上一定是 ( ) A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数. 7下列函数中，在区间上是增函数的是( ) ABCD8函数 f(x) 是定义在
20、 -6，6上的偶函数，且在-6，0上是减函数，则( ) A. f(3)+f(4) 0 B. f(-3)-f(2) 0 C. f(-2)+f(-5) 0D. f(4)-f(-1) 0 二、填空题1设奇函数的定义域为，若当时，的图象如右图， 则不等式的解是 _. 2函数的值域是 _. 3已知，则函数的值域是 _. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 22 页 - - - - - - - - - 4 若 函 数是 偶 函 数 ， 则的 递 减 区 间 是_. 5函
21、数在 R 上为奇函数，且，则当，_. 三、解答题1判断一次函数反比例函数，二次函数的单调性 . 2已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：(1)是奇函数；(2)在定义域上单调递减； (3)求的取值范围 . 3利用函数的单调性求函数的值域；4已知函数. 当时，求函数的最大值和最小值； 求实数的取值范围，使在区间上是单调函数. 能力提升一、选择题1下列判断正确的是( ) A函数是奇函数B函数是偶函数C函数是非奇非偶函数D函数既是奇函数又是偶函数2若函数在上是单调函数，则的取值范围是 ( ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -
22、 - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 22 页 - - - - - - - - - ABCD3函数的值域为 ( ) ABCD4已知函数在区间上是减函数， 则实数的取值范围是 ( ) ABCD5下列四个命题： (1)函数在时是增函数，也是增函数， 所以是增函数； (2)若函 数与轴 没 有 交 点 ， 则且； (3) 的递增区间为； (4) 和表示相等函数 . 其中正确命题的个数是( ) ABCD6定义在R 上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则( ) ABCD二、填空题1函数的单调递减区间是_. 2已知定义在上的奇函数，当时，那么时，名师资料总结 - - -精品资料
23、欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 22 页 - - - - - - - - - _. 3若函数在上是奇函数，则的解析式为 _. 4奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为 -1，则_. 5若函数在上是减函数，则的取值范围为_. 三、解答题1判断下列函数的奇偶性(1)(2)2 已知函数的定义域为， 且对任意， 都有，且当时，恒成立，证明：(1)函数是上的减函数； (2)函数是奇函数 . 3设函数与的定义域是且，是偶函数，是奇函数，且，求和的解析式 . 4设为实数，函数，. (
24、1)讨论的奇偶性； (2)求的最小值 . 综合探究1已知函数，则的奇偶性依次为( ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 22 页 - - - - - - - - - A偶函数，奇函数B奇函数，偶函数C偶函数，偶函数D奇函数，奇函数2 若是 偶 函 数 ， 其 定 义 域 为， 且 在上 是 减 函 数 ， 则的大小关系是 ( ) ABCD3已知，那么_. 4若在区间上是增函数，则的取值范围是_. 5已知函数的定义域是，且满足，如果对于，都有，(1)求；(2
25、)解不等式. 6当时，求函数的最小值 . 7已知在区间内有一最大值，求的值 . 8已知函数的最大值不大于，又当，求的值 . 答案与解析基础达标名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 22 页 - - - - - - - - - 一、选择题1.C. 2.B. 3.B. 奇次项系数为4.D. 5.A. 奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性6.A. 7.A. 在上递减，在上递减，在上递减8.D. 二、填空题1. 奇函数关于原点对称，补足左边的图象2. 是的增函数
26、，当时，3. 该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大4. 5. 三、解答题1解：当，在是增函数，当，在是减函数；当，在是减函数，当，在是增函数；当，在是减函数，在是增函数，当，在是增函数，在是减函数 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 22 页 - - - - - - - - - 2解：，则，3解：，显然是的增函数，4解：对称轴(2)对称轴当或时，在上单调或. 能力提升一、选择题1.C. 选项 A 中的而有意义，非关于原点对称
27、，选项B 中的而有意义，非关于原点对称，选项D 中的函数仅为偶函数；2.C. 对称轴，则，或，得，或3.B. ，是的减函数，当4.A. 对称轴5.A. (1) 反例；(2)不一定，开口向下也可；(3)画出图象可知，递增区间有和；(4)对应法则不同6.A. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 22 页 - - - - - - - - - 二、填空题1. 画出图象2. . 设，则，3. . 即4. . 在区间上也为递增函数，即5. . . 三、解答题1解： (1
28、)定义域为，则，为奇函数 . (2)且既是奇函数又是偶函数. 2证明： (1)设，则，而函数是上的减函数 ; 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 22 页 - - - - - - - - - (2)由得即，而，即函数是奇函数 . 3解：是偶函数，是奇函数，且而，得，即，. 4解： (1)当时，为偶函数，当时，为非奇非偶函数；(2)当时，当时，当时，不存在；当时，当时，当时，. 综合探究名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
29、- - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 22 页 - - - - - - - - - 1.D. ，画出的图象可观察到它关于原点对称或当时，则当时，则2.C. ，3. ，4. 设则，而，则5.解： (1)令，则(2)，则. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 22 页 - - - - - - - - - 6.解：对称轴当，即时，是的递增区间，；当， 即时 ，是的 递 减 区 间 ，；当，即时，. 7解：对称轴，当即时，是的递减区间，则，得或，而，即；当即时 ，是的递 增区 间， 则，得或，而，即不存在；当即时，则，即；或.8解：，对称轴，当时，是的递减区间，而，即与矛盾，即不存在；当时，对称轴，而，且即，而，即. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 22 页 - - - - - - - - -