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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学函数奇偶性专题复习总结【函数的奇偶性】专题复习一、关于函数的奇偶性的定义定义说明： 对于函数fx的定义域内任意一个x ：fxfxfx 奇函数；fxfx f x是偶函数；函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件；二、函数的奇偶性的几个性质 对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；整体性：奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个x 都必需成立；x0可逆性：fx fxfx是偶函数；fxfxfx是奇函数；等价性：fx fxfxfx0；fxfxfx f奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称；可分性：依据函数奇偶
2、性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数；三、函数的奇偶性的判定 判定函数的奇偶性大致有以下两种方法：第一种方法 ：利用奇、偶函数的定义,考查ffx是否与fx、fx相等,判定步骤如下：定义域是否关于原点对称；数量关系fxx哪个成立；例 1：判定以下各函数是否具有奇偶性（1）fx x3x22x（2）fx2x43x2 3）fxx3x2；x1（4）fx x2x1,12（5）fxlgx22x（6）fx |x12x22|1；x（7）fx1x2（8）f x x2lg（9）fx 1x 1x21x例 2：判定函数fx x2x0的奇偶性；两个奇函数的代数和是奇函数；x2x0其次种
3、方法： 利用一些已知函数的奇偶性及以下准就两个偶函数的和是偶函数；（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；x x35 xx72 xk1 kZ.两个偶函数的积为偶函数；常见的奇函数：k k x0;x1耐克函数奇函数与偶函数的积是奇函数；xsin ; tanx2 x x46 xx8x2kkZ.常见的偶函数：ax2c b0;x;fxcos ;yC C 为常数常见的非奇非偶函数 :ax;log ax;kxb k0,b0yxa a0常见的既奇又偶函数：y y0 定义域关于原点对称1x22 x1x1 两个点的函数四、关于函数的奇偶性的6
4、 个结论；1 / 5 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学函数奇偶性专题复习总结结论 1 函数的定义域关于原点对称,是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件；结论 2 两个奇函数的和仍是奇函数；两个偶函数的和仍是偶函数；结论 3 f x 是任意函数,定义域关于原点对称,那么 f x 是偶函数；结论 4 函数 f x f x 是偶函数,函数 f x f x 是奇函数；结论 5 已知函数 f x 是奇函数,且 f 0 有定义,就 f 0 0；结论 6 已知 f x 是奇函数或偶函数,方程 f x 0 有实根,那么方程
5、 f x 0 的全部实根之和为零；如 f x 是定义在实数集上的奇函数,就方程 f x 0 有奇数个实根；五、关于函数按奇偶性的分类：全体实函数可按奇偶性分为四类：奇偶数、偶函数、既是奇函数也是偶函数、非奇非偶函数；六、关于奇偶函数的图像特点例 1：偶函数yf x 在 y 轴右就时的图像如图（一）,就y 轴右侧的函数图像如图（二）；Y 2 Y 1 1 X 0 1 X -2 -1 1 2 图（一）图（二）七、关于函数奇偶性的简洁应用1、利用奇偶性求函数值例 1：（ 1）已知fxx5ax3bx18且f210,求f2的值m的值（2）已知5x1 1 ,2 2的最大值 M ,最小值为 m,求 Mf x
6、5x33 xx2、利用奇偶性比较大小例 2：（1）已知偶函数fx在,0上为减函数,比较f5 ,f1,f3 的大小；,求 a 的取值范畴 . （2）已知函数yfx 是 R 上的偶函数, 且 fx 在 0,上是减函数, 如faf2（3） 定义域为 R 的函数fx在8,上为减函数,且函数yfx8为偶函数,就A. f6f7B. f6f9C. f7f9D. f7f103.利用奇偶性求解析式例 3：（1）已知fx为偶函数,当0x1 时,fx 212x ,当1x0 时,求fx解析式？（2）已知fx 解析式？f x 为奇函数,当x0时,f x xx ,当x0时,求4、利用奇偶性争论函数的单调性例 4：如fxk
7、2x2k3 x3是偶函数,争论函数fx的单调区间？2 / 5 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学函数奇偶性专题复习总结5、利用奇偶性判定函数的奇偶性例 5：已知fxax3bx2cx a0是偶函数,判定gx ax3bx2cx的奇偶性；6、利用奇偶性求参数的值例 6：（1）定义 R 上的偶函数fx在,0 单调递减 ,如f2a2a12 f3 a2t22a1 恒成立, 求 a 的范畴 . （2）定义 R 上单调递减的奇函数f x 满意对任意 tR ,如f t2ff2fk0恒成立 ,求k的范畴 . （ 3）已知fx在定
8、义域0,fxyxy,f31,求不等式上为增函数,且满意fxfx82解. 7、利用图像解题例 7：（1）设奇函数fx 的定义域为 -5,5. 如当 x0,5 时,fx 的图象如右图 ,就不等0,就不等式xf x 0的式fx0的解是. （2）如函数f x 在 ,00, 上为奇函数, 且在 0, 上单调递增 ,f 2解集为 _. 8.利用定义解题例 8：已知f x a211为奇函数,就 a_；x已知f x 3 xx21a 为偶函数,就 a_；2x9.利用性质选图像例 9：（1）设ay1,实数xx y 满意|x|loga10,就 y 关于 x 的函数的图像外形大致是yy x y y y 1 1 x 0
9、 1 x 0 1 x 0 0 A x eeB C D （2）函数x的图象大致为（C）（D）x ee（A）（B）【奇偶性专题】训练1、判定以下函数的奇偶性（1）y1 x x0 ；（2）yx41； （3）yx 2 ； （4）；ylog2xx21 3 / 5 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学函数奇偶性专题复习总结（5）；fxln1e2x x（6）；fxx 1xx0 x 1xx0 【变题】已知f x 对一切实数,x y 都有f xyf x f y ,就f x 的奇偶性如何？等于2、（ 1）假如定义在区间3a,5上的
10、函数fx为奇函数,就a =_ （ 2）如fx2x2xlga为奇函数,就实数a_ （ 3）如函数fx是定义在 R 上的奇函数,且当x0,时,fx x13 x,那么当x,0时,fx=_ （4）已知函数yf x在 R 是奇函数,且当x0时,fx x22x,就x0时,f x 的解析式为 _ （5）定义在1 1, 上的奇函数fxx2xm1,就常数m_,n_ nx（ 6）函数yax2bxc是偶函数的充要条件是_ （ 7）已知fxax7bx5cx3dx5,其中a,b,c,d为常数,如f77,就f7_ 3、如fxxR 是奇函数,就以下各点中,在曲线yfx上的点是A. a ,faB. sin,fsinC. lg
11、a,flg1D. a,faa4、设fx是,上的奇函数,fx2 fx,当0x1时,fxx,就f47.5 A. 0.5 B. 05.C. 1.5 D. 1 5.4、如函数fx是定义在 R 上的奇函数,就函数Fx fx fx的图象关于A. x 轴对称B. y 轴对称C. 原点对称D. 以上均不对6、函数Fx1221fx x0是偶函数,且fx不恒等于零,就fxxA. 是奇函数B. 是偶函数C. 可能是奇函数也可能是偶函数D. 不是奇函数也不是偶函数7、以下函数既是奇函数,又在区间1,1 上单调递减的是A. f x sinxB. f x x1C. f x 1axaxD. f ln2x22x8、已知函数f
12、xlg1x. 如fab . 就fa1xA b B b C1D1bb9、设fx是定义在实数集R 上的函数,且满意fx2fx1fx,假如f 1 lg3,f2 lg15,求f2001 210、设fx是定义在 R上的奇函数,且fx2 fx,又当1x1时,fxx3,（1）证明：直线x1是函数fx图象的一条对称轴： （2）当x,15时,求fx的解析式；【变题】设fx是定义在 R 上的奇函数,且它的图象关于直线x1对称,求证：f x 是周期函数；11、已知fxx 2111,x2（1）判定f x 的奇偶性；（2）证明：f x04 / 5 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资
13、料 - - - - - - - - - 高中数学函数奇偶性专题复习总结12、定义在1, 上的函数yfx是减函数,且是奇函数,如fa2a1 f4 a50,求实数 a 的范畴；13、设fx是定义在 R 上的偶函数,其图象关于直线xx1 对称,对任意x 1x20,1,2都有fx 1x2fx1fx2. 是周期函数；f12,求f1,f1；（2）证明f（1）设24答案：基本训练：1、（1）（5）；（2）；（3）（4）变题：奇函数 2、b 0 3 、17 4 、B 5 、A 例题： 118 210 3 x 1 3 x 4B 21 奇函数 2 既是奇函数也是偶函数 3 非奇非偶函数 3 、1 32 x , x 1,341 证 f 1 x f 1 x 2 f 3 变题： T4 x 4 , x 3,5作业：18、DAABD BDC 9 、f x 3x22 x x010、0； 0 1114偶函数 2奇函数 121偶函数 13、33f12,f1 41, 1412 2T=2225 / 5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页