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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -第三节 三角恒等变换 考纲解读 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式 . 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦,正切公式 . 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦,余弦,正切公式, 导出二倍角的正弦,余弦,正切公式,明白它们的内在联系 . 能利用上述公式进行简洁的恒等变换 但对这三种公式不要求记忆）. 命题趋势探究（包括导出积化和差, 和差化积,半角公式,高考必考,在挑选题,填空题和解答题中都有渗透, 是三角函数的重要变形工具 .分值与题型稳固,属中下档难度 . 考题以考查三角函数式化简,求值和变形为主
2、 . 化简求值的核心是：探究已知角与未知角的联系,恒等变换（化同角同函）. 学问点精讲常用三角恒等变形公式和角公式sinsincoscossincoscoscossinsintantantan1tantan差角公式sinsincoscossincoscoscossinsintantantan1tantan倍角公式sin 22sincos2cos21112sin21cos2; 第 1 页,共 9 页 cos2cos2sin2tan212 tan221cos2;cos2tan降次（幂）公式sincos1sin 2 ;sin2222半角公式cos;sin21cos;cos22细心整理归纳 精选学习资
3、料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -tan21sin1cos.cossin a帮助角公式asinbcosa2b2sin, tan2bab0,角的终边过点 , a b ,特别a地,如asinbcosa2b或ab,就 tanb a.常用的几个公式sincos2 sin4;sin32 cos2sin3;3 sin cos 2sin ;6题型 65 两角和与差公式的证明题型归纳及思路提示思路提示推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三
4、角公式,通 第 2 页,共 9 页 过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系,这就是证明的思路. 例 4.33 证明1C: coscoscossinsin;2 用C证明S:sinsincoscossin3 用12 证明T: tantantan.1tantan解析 1 证法一：如图 432（a）所示,设角,的终边交单位圆于P 1cos.sin,P 2cos,sin, 由余弦定理得PP 22OP 12OP 222OP OP coscoscos2sinsin222cos22coscossinsin22cosC:coscoscossinsin.证法二：利用两点间的距离公式. 如图 432（b）所示A1
5、,0,P 1cos,sin,P 2cos,sin,P 3cos,sin,由OAP 2OP P 得,AP 2PP 3.故细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1cos20sin2coscos2sinsin2 ,即1cos22 sin 2cos2cos222coscossin2sin22sinsin化简得coscoscossinsin2sincos cos coscos2sinsin2sintan.cossinsincoscos
6、sinS: sinsincos3 tansinsincoscoscoscoscossinsinsincoscossin: tantancoscoscoscosTcoscossinsin1tantancoscoscoscossinsin;变式证明：1 C:coscoscos2S: sinsincoscossin3T: tantantan.1tantan题型 66 化简求值思路提示三角函数的求值问题常见的题型有：给式求值、给值求值、给值求角等 . 1 给式求值： 给出某些式子的值, 求其他式子的值 . 解此类问题, 一般应先将所给式子变形, 将其转化成所求函数式能使用的条件,可使用条件的形式 .
7、或将所求函数式变形为细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2 给值求值：给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“ 变角”,使其角相同或具有某种关系,解题的基本方法是：将待求式用已知三角函数表示；将已知条件转化而推出结论,其中“ 凑角法” 是解此类问题的常用技巧, 解题时第一要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系,并依据这些关系来挑选公式 . 3 给值求角：解此类问题的基
8、本方法是：先求出“ 所求角” 的某一三角函数值,再确定“ 所求角” 的范畴,最终借助三角函数图像、诱导公式求角 . 一、化同角同函2例 4.34 已知 cos x 3就 sin 2 x 2sin x 4 5 1 tan x7 12 11 18A . B . C . D .25 25 25 25解析 解法一：化简所求式2 2sin 2 x 2sin x 2sin x cos x 2sin x1 tan x 1 sin xcos xcos x2sin x cos x sin x 2sin x cos .cos x sin x由 cos x 3得 2cos x 2sin x 3, 即 cos x s
9、in x 3 2, 两边平方得4 5 2 2 5 5cos 2x sin 2x 2sin x cos x 18 , 即 1 2sin x cos x 18 .25 25所以 2sin x cos x 7. 应选 . 25解法二：化简所求式2sin 2 x 2sin x2sin x cos x sin 2 x1 tan x2 7sin2 x cos2 x 1 2cos x . 应选 . 4 2 4 4 25评注 解法一运用了由未知到已知, 单方向的转化化归思想求解； 解法二运用了化未知为已知, 目标意识剧烈的构造法求解,造法较为简洁 . 从复杂度来讲, 一般情形下采纳构变式 1如cosB .1,
10、cos3 5就 tantan2_. 第 4 页,共 9 页 5变式 2如cos4 5,是第三象限角,就1tan1tan2A .1 21C .2D .22细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -变式 3 （2022 江西理）如tan14,就sin 2.tanA .1B.1C.1D.15432二、建立已知角与未知角的联系（通过凑配角建立）将已知条件转化而推出结论,其中“ 凑角法” 是解此类问题的常用技巧,解题时第一要分析已知条件和
11、结论中各种角的相互关系,式. 并依据这种关系来挑选公常见的角的变换有：和、差角,帮助角,倍角,降幂,诱导等 . 1. 和、差角变换如 可变为 ； 2 可变为 ； 2 可变为 3 3例 4.35 如 02 ,cos5 ,sin 5就 cos 的值为（）. 7 24 24A . 1 B . 1 或 C . D .25 25 25分析 建立未知角与已知角的联系, .解析 解法一：cos cos cos cos sin sin . 由于 , 3 所以,就 cos 4, 0, ,sin 0, sin 42 2 5 2 5,cos 4 3 3 4 24 .5 5 5 5 25解法二：由于 , ,所示cos
12、 1,0.2应选 . 评注 利用和、差角公式来建立已知角与未知角的联系,常利用以下技巧： ; ; 等. 解题时,要留意依据已知角的范畴来确定未知角的范畴,从而确定所求三角式的符号 . 变式 1 已知 sin 5,sin 10, , 0, 就 .5 10 2A . 5B . C . D .12 3 4 6变式 2 如 4 , 34 , 0,4 ,cos4 35 ,sin 34 13,就 5sin _.二、帮助角公式变换细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 -
13、- - - - - - - - - - - - - -例 4.36已知cos6sin4 3,就sin7的值为（）. 65A . 2 5 B . 2 5 C . 4D . 45 5 5 5分析 将已知式化简,找到与未知式的联系 . 解析 由题意,cos cos sin sin sin 4 36 6 53cos 3sin 3sin 4 3,得 sin 4.2 2 6 5 6 5所以 sin 76 sin 6 sin6 5应选 . 4变式 1 设 sin14 ocos14 , ob sin16 ocos16 , oc 6, 就 a,b,c 的大小关系为2（）. A.abc B. bca C. acb
14、 D. bac 变式 2 设 sin15 o cos15 , b sin17 o cos17 , o 就以下各式中正确选项（）. 2 2 2 2a b a bA a b B a b2 22 2 2 2a b a bC b a D b a2 23. 倍角,降幂（次）变换例 4.37 （ 2022 大纲全国理7）已知为其次象限角,sincos3就 第 6 页,共 9 页 3cos2.A .5B .5C.5D.53993分析利用同角三角函数的基本关系式及二倍角公式求解. 解析解法一：；由于sincos3所以sincos2133得2sincos2 3,即sin 22 3. 又由于为其次象限角且细心整理
15、归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -sincos30,就2k2, 2 k3kZ.43所以24k,4k3kZ.故 2为第三象限角,25 3, 第 7 页,共 9 页 2cos 21225 3. 应选 . 3解法二：由为其次象限角,得cos0,sin0 , cossin0,且cossin212sincos,又sincos3,就3sincos212sincos12sincos2 3,得cossin3所以cossin15,3cos22 c
16、ossin2cossincossin3155.应选 . 333变式 1如sin61 3就cos2.3A .7B.1C.1D.79339的值省变式 2（2022 江苏 11）设为锐角,如cos64 5,就sin2712为. 值. 变式 3 已知sin23,sin12 13且2,2,0,求 sin5变式 4 如sin3,2, tan1 2,就 tan2 .5A .24B.7C.24D .7724724变式 5 已知sin1cos,且0.2,就cos24_.2sin4. 诱导变换例 4.38 如fsinx 3cos2x ,就fcos .A .3cos2xB .3sin 2xC.3cos2xD.3si
17、n 2x细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -分析化同函fcos fsinL以便利用已知条件 . 解析解法一：3cos2x23cos2xx3cos2 .x3.fcos fsinx2应选 . 3cos2x32sin2x 2sin212就1解法二：fsinxf x 2x22,x 1,1故fcos 2cos2x22cos2x3cos2应选 . 变式 1是其次象限角,tan2 4 3,就 tan_. 第 8 页,共 9 页 - -
18、- - - - - - - 变式 2 如sin45,0,2,就cos2_.cos413最有效训练题 19（限时 45 分钟）1. 已知函数f x sinx3cos , x 设af7,bf6,cf3,就a b c 的大小关系为（）. A. abc B. cab C.bac D.bca2. 如sin31 4,就 cos32 .A .1B.1C.7D.744883. 如tan1 2,就 cos22.A .4B.4C.1D.155224. 已知tan1, tan1 7,且,0, ,就 2.2A .4B.3C.4,5D.3,4,544445. 函数ysinx0的部分图像如图433 所示,设 是图像的最高
19、点, 是图像与 x 轴的交点,就 tanAPB.10 .8 C .8D.4776. 函数ysinx3的最大值是（） . cosx4A .1B.122 6C.4D.122 6231515细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -7. 已知tan43,就sin 22cos2_.8. 已知x y 满意sinxsiny1,就cosxy_._,_. 第 9 页,共 9 页 3cosxcosy152,就 tan 29. o 3tan101o_.4cos 10 2 o2sin1010. 已知cos1,cos13 14,且 0711. 已知函数f x 2cos2x3sinx.的值. 2cos2（1）求函数f x 的最小正周期和值域；（2）如是其次象限角,且f31,求13cos2sin 23 2.12. 已知三点A 3,0,B0,3,Ccos,sin,2,uuur（1）如 ACuuur BC,求角；（2）如uuur uuur AC BC1,求2sin2sin 2的值 . 1tan细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -