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1、第三节三角恒等变换考纲解读会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦，正切公式. 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦，余弦，正切公式， 导出二倍角的正弦，余弦，正切公式，了解它们的内在联系. 能利用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差， 和差化积，半角公式，但对这三种公式不要求记忆）. 命题趋势探究高考必考，在选择题，填空题和解答题中都有渗透， 是三角函数的重要变形工具.分值与题型稳定，属中下档难度. 考题以考查三角函数式化简，求值和变形为主. 化简求值的核心是：探索已知角与未知角的联系，恒等变换（化同角同函）. 知识点精讲常用三角恒等变形公式
2、和角公式sin()sincossincoscos()coscossinsintantantan()1tantan差角公式sin()sincossincoscos()coscossinsintantantan()1tantan倍角公式sin 22sincos2222cos2cossin2cos112sin22 tantan21tan降次（幂）公式2211cos21cos2sincossin 2 ;sin;cos;222半角公式1cos1cossin;cos;2222名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - -
3、 - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - sin1costan.21cossina辅助角公式22sincossin(),tan(0),babababa角的终边过点( , )a b， 特殊地，若22sincosabab或22ab，则tan.ba常用的几个公式sincos2 sin();4sin32 cos2sin();33 sincos2sin();6题型 65 两角和与差公式的证明题型归纳及思路提示思路提示推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路.
4、 例 4.33 证明(1):cos()coscossinsin;C(2) 用C证明:sin()sincossinScos(3) 用(1)(2) 证明tantan:tan().1tantanT解析(1) 证法一：如图 432（a）所示，设角,的终边交单位圆于12(cos.sin),(cos(),sin(),PP, 由余弦定理得2221212122()PPOPOPOP OP cos22coscos()sinsin()22cos()22(coscossinsin)22cos():cos()coscossinsin.C证法二：利用两点间的距离公式. 如图 432（b）所示12(1,0),(cos,si
5、n),(cos(),sin(),APP3(cos(),sin(),P由231;OAPOP P得，213.APPP故名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 2222(1cos()(0sin()cos()cossin()sin ,即2222221cos()sin ()coscos2coscossinsin2sinsin化简得cos()coscossinsin(2)sin()()()22coscoscos()
6、sinsin()22cossinsincoscos:sin()sincossinScossin(sincoscossin(3) tan()cos()coscossinsinsincoscossincoscoscoscoscoscossinsincoscoscoscostantan: tan().1tantanT变式证明：(1):cos()coscossinsin;C(2):sin()sincossinScostantan(3): tan().1tantanT题型 66 化简求值思路提示三角函数的求值问题常见的题型有：给式求值、给值求值、给值求角等. (1) 给式求值：给出某些式子的值， 求其他
7、式子的值 . 解此类问题， 一般应先将所给式子变形， 将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - (2) 给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角” ，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：将待求式用已知三角函数表示；将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧， 解
8、题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式. (3) 给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角. 一、化同角同函例 4.34 已知3cos()45x则2sin 22sin()1tanxxx7.25A12.25B11.25C18.25D解析解法一：化简所求式22sin 22sin2sincos2sinsin1tan1cosxxxxxxxxcos2sin(cossin)2sincos .cossinxxxxxxxx由3cos()45x得223cossin,225xx即3 2cos
9、sin,5xx两边平方得2218cossin2sincos,25xxxx即1812sincos.25xx所以72sincos.25xx故选 . 解法二：化简所求式2sin 22sin2sincossin 21tanxxxxxx27sin2()cos2()12cos ().424425xxx故选 . 评注解法一运用了由未知到已知， 单方向的转化化归思想求解； 解法二运用了化未知为已知， 目标意识强烈的构造法求解，从复杂度来讲， 一般情况下采用构造法较为简单 . 变式 1若13cos(),cos(),55则tantan_.变式 2若4cos5，是第三象限角，则1tan2()1tan21.2A1.2
10、B.2C.2D名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 变式 3 （2012江西理）若1tan4tan，则sin 2().1.5A1.4B1.3C1.2D二、建立已知角与未知角的联系（通过凑配角建立）将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角的相互关系，并根据这种关系来选择公式. 常见的角的变换有：和、差角，辅助角，倍角，降幂，诱导等. 1. 和
11、、差角变换如可变为()； 2可变为()()；2可变为()例 4.35 若330,cos,sin(),255则cos的值为（）. . 1A.1B或72524.25C24.25D分析建立未知角与已知角的联系，().解析解法一：coscos()cos()cossin()sin.因为3(,)22所以，则4cos(),(0,),sin0,524sin5,433424cos()().555525解法二：因为(,)2，所示cos( 1,0).故选 . 评注利用和、差角公式来建立已知角与未知角的联系，常利用以下技巧：();();()()等. 解题时，要注意根据已知角的范围来确定未知角的范围，从而确定所求三角式
12、的符号. 变式 1已知510sin,sin(),(0,)5102则().3B.4C.6D变式 2 若3335(,),(0,),cos(),sin()44445413，则sin()_.二、辅助角公式变换5.12A名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 例 4.36已知4 3cos()sin65，则7sin()6的值为（）. 2 5.5A2 5.5B4.5C4.5D分析将已知式化简，找到与未知式的联系. 解
13、析由题意，4 3coscossinsinsin665334 3cossin3sin()2265，得4sin().65所以74sin()sin()sin().6665故选 . 变式 1 设6sin14cos14 ,sin16cos16 ,2bcoooo则 a,b,c的大小关系为（）. A.abc B.bca C.acb D.bac 变式 2 设sin15cos15 ,sin17cos17 ,boooo则下列各式中正确的是（）. 22.2abA ab22.2abB ab22.2abC ba22.2abD ba3. 倍角，降幂（次）变换例 4.37 （ 2012 大纲全国理7）已知为第二象限角，3s
14、incos3则cos2().5.3A5.9B5.9C5.3D分析利用同角三角函数的基本关系式及二倍角公式求解. 解析解法一： ；因为3sincos3所以21(sincos)3得22sincos3，即2sin 23. 又因为为第二象限角且名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 3sincos03，则3(2,2)().24kkkZ所以32(4,4)().2kkkZ故2为第三象限角，225cos21()33.
15、 故选 . 解法二：由为第二象限角，得cos0,sin0， cossin0,且2(cossin)12sincos，又3sincos3，则21(sincos)12sincos322sincos3，得25(cossin)3，所以15cossin3，22cos2cossin(cossin)(cossin)3155().333故选 . 变式 1若1sin()63则2cos()().37.9A1.3B1.3C7.9D变式 2（2012 江苏 11）设为锐角，若4cos()65，则7sin(2)12的值省为. 变式 3 已知312sin(2),sin513且(,),(,0),22求sin值. 变式 4 若
16、31sin,(,), tan()522，则tan(2 )().24.7A7.24B24.7C7.24D变式 5 已知1sincos2，且(0.)2，则cos2_.sin()44. 诱导变换例 4.38 若(sin)3cos2fxx，则(cos )().fx.3cos2Ax.3sin 2Bx.3cos2Cx.3sin 2Dx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 分析化同函(cos )(sin()fxfL
17、以便利用已知条件 . 解析解法一：(cos )sin()3cos2()3cos(2)3cos2 .22fxfxxxx故选 . 解法二：22(sin)3cos23(12sin)2sin2fxxxx则2( )22, 1,1f xxx故22(cos )2cos22cos13cos23.fxxxx故选 . 变式 1是第二象限角，4tan(2 )3，则tan_.变式 2 若5sin(),(0,)4132，则cos2_.cos()4最有效训练题 19（限时 45 分钟）1. 已知函数( )sin3cos ,f xxx设(),(),()763afbfcf， 则, ,a b c的大小关系为（）. A. abc
18、 B. cab C.bac D.bca2. 若1sin()34，则cos(2 )().31.4B7.8C7.8D3. 若1tan2，则cos(2)().24.5A4.5B1.2C1.2D4. 已知11tan(),tan27，且,(0,)，则2().4A3.4B5.,44C35.,444D5. 函数sin()(0)yx的部分图像如图433所示，设 是图像的最高点， 是图像与 x 轴的交点，则tan().APB.10 .8 8.7C4.7D6. 函数sin3cos4xyx的最大值是（）. 1.2A122 6.15B4.3C122 6.15D1.4A名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - -
19、 - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 7. 已知tan()34，则2sin 22cos_.8. 已知,x y满足1sinsin31coscos5xyxy，则cos()_.xy9. 23tan101_.(4cos 102)sin10ooo10. 已知113cos,cos()714，且02，则tan2_,_.11. 已知函数2( )2cos3sin.2xf xx（1）求函数( )f x的最小正周期和值域；（2）若是第二象限角，且1()33f，求cos21cos2sin 2的值. 12. 已知三点3(3,0),(0,3),(cos,sin),(,).22ABC（1）若ACBCuuu ru uu r，求角；（2）若1AC BCuuu r u uu r，求22sinsin 21tan的值. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -