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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思高考数学专题讲座 开放试题主讲老师：孙福明（省常州高级中学）【复习指导】数学开放性问题是早在70 岁月显现的一种新题型,它不同于传统的封闭型试题（条件完备、结论确定） ,主要表达在试题的形式和内容的开放；试题可给出结论让你去填写条件（一般只要填写一个与结论相适应的充分条件即可）,这叫条件开放题；如试题给出一部分条件让你定出结论的一部分（对于同一题目可以有好几个不同结果）,这叫结论开放题；对于同一试题同学可以用不同的方法去解（一题多解）,这叫方法（思路）开放题；也有一些问题只给了肯定的情境,其条件、解题策略与
2、结论都要求解题者在此情境中自行设计与查找,这类题可称为综合开放题,开放型试题一般有“ 判定型”,“ 存在型”,“ 争论型”,“ 推测型” 等以给出某种运算法就让你用这种法就去进行运算,去解题, 充分表达运用学问的才能；数学开放题有利于同学创新意识的培育和良好思维品质的形成；它要求在数学教学过程中强调整体性、摸干脆,强调解决问题的过程（思路与策略）而不单单是问题的结果；与此同时,仍必需强调同学的主体作用；总之开放题有利于提高同学的乐趣和学习积极性；【基此题型】1结论存在型由已知条件判定结论是否存在的探干脆问题,这类题型常以适合某种条件的结论“ 存在” 、“ 不存在” 、“ 是否存在”等语句表述,
3、 解答这类问题, 一般是先对结论作出确定的假设,然后由此动身,结合已知条件进行推理论证；如导出合理的结论,就存在性随之解决；如导出了冲突,也就否定了存在性；这类探干脆问题在高考中最为普遍,也最简单设置,只需将明确的、定性的结论改造成需要探究的、争论的设问方式就可以了；如存在的话,恳求出结果；如不存在的话,说明理由；2结论推广型推广结论的探干脆问题,题目只给出问题对象的一些特别关系,要求探究出一般结论,并论证所得结论的正确性,解决这类问题的方法是归纳和猜想,然后加以证明； 对结论要注意它们的外在形式的特点,从中找出规律性的东西,并依此进行推广；这类探干脆问题,在高考中也较为普遍,目前只限于有关自
4、然数命题的结论推广；3条件追溯型一类是条件未知的探干脆问题,这类问题的特点是题目给出了明确的结论,但成立的条件未知,需进行探寻和追索, 解决这类问题可用执果索因的演绎法或由特别到一般的归纳法；另一类是缺少条件的探干脆问题；这类问题的特点是题目给出了明确的结论和部分条件,要求补足条件,解决这类问题一般是从结论动身,并利用已知条件,进行逆向推理,推得的终结点便是所求的条件；这类题的答案往往是不唯独的,答案与已知条件对整个问题而言只要充分的、相容的、独立的,就视为正确的；这类问题已在高考中显现,对于考查同学发散性思维才能有较好的作用；4命题组合型给出几个论断, 挑选其中如干个论断为条件,某一个论断为
5、结论,组合成符合问题要求的命题,这类命题组合性探究问题,在1999 年的高考中已开头试验,评判很好,对于增强同学分析问题的才能和规律推理才能起到了较好的成效；这类探干脆问题, 既留意了同学思维的发散性训练,又留意了思维的聚合性训练,是值得争论和探究的试题设置形式；5分类争论型名师归纳总结 条件都具备, 但结论依靠于某个参数,必需对参数进行争论,才能确定结论的具体情形,第 1 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思这类探干脆问题归为分类争论型；【例题】例 1、如四周体各棱长是1 或 2 且该四周体不是正四周
6、体,就其体积是_（只要写一个可能值） ；这是一道开放试题；要求同学自己合理组合已知条件,从而运算出体积； 此题可有如下几种解法：如 图,V1SAEFCD11121111133246如 图,V1SBCDAO31111334312如 图,V111411114324412例 2、（1）设 f（x）与 f-1（x）互为反函数；试写出两个以上的不同 f（ x）,使得 f（x）=f-1（x）,并说明其特点；b（c 0,ab bc）只要满意a=-d解： y=f（ x）=2-x ；y=f （x）=xx1；y2 x1x2凡如对称式x+y=c （常数）皆是,形如f （x）=axcxd皆是；（2）如1sinx1si
7、nxsinx 2,当 x _时,就 tgx=0 解：sinxcosxsinxcosx 2sinx 22220x 24,2sinxsinxsinx 20,tgx=0 22 当 x0,4时, tgx=0 例 3、A= （x,y）|y= ,0 2 3 x+m,mR ,B= （x,y）|x=cos ,y=sinA B= （cos1,sin1）,（ cos2, sin2） ,就m 的取值范畴_；名师归纳总结 解：y=3xm第 2 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思C： x2+y2=1,除去（ 1,0）d3020
8、m1-2m2 m3当过（ 1,0）时,亦不满意条件, m 取值范畴为 -2m2,m3例 4、 ABC 的低边 BC 固定,其他两边的斜率之积等于方程；解：设 |BC|=2a,如图建立直角坐标系B（-a, 0）,C（a,0）,A （x,y）kABkACm,xyaxyam（m 0）x2y21a2ma2m0,双曲线（ y 0）m=1,等轴双曲线（y 0）m0,椭圆（ y 0）m=-1,圆（ y 0）进一步再开放一点请写出适当条件,求出C 的轨迹方程留意点给出条件顶点 C 的轨迹 ABC 为等腰三角形：x=0 y 0 ACB 为直角C： x2+y2=c2y 0 a+b=k 定值（ kc）4y 0 |a
9、-b|=kc 椭圆y 0 双曲线a-b=k,0 kc y 0 双曲线左支 m（m 0）,求顶点 A 的轨迹例 5、如图,直线 1和 2相交于 M , 1 2,点 N 1,以 A ,B 端点的曲线 C上的任一点到 2的距离与到点 N 的距离相等,如AMN 为锐角三角形,|AM|= 17 ,|AN|=3 ,且 |BN|=6 ,建立适当坐标系,求曲线段 C 的方程；解：此题是一道结论开放题,依据已知条件及所求曲线段 AB 所在图的位置如何挑选建立坐标系,使解题过程简洁明白,可充分发挥解题者的创新才能、运用学问才能；解法一：以 1为 x 轴, 2为 y 轴建立直角坐标系如图（1）xA|ME|DA|AN
10、|3yA|DM|AM2|DA|222 AMN 为锐角三角形名师归纳总结 xN|ME|EN|ME|AN|2|AE| 24图（ 1）第 3 页,共 8 页x B|BF|BN|6- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 （x-x N）2+y 2=x 2 曲线 C：y 2=8（x-2）（3x6,y0）解法二：以 1为 x 轴,线段 MN 的中垂线为y 轴,建立直角坐标系如图（2）设 C：y2=2px（p0）,p=|MN| ,M（p ,0）,N（2p ,20）xAp22pxA17 1 2xA4图（ 2）2xAp 222pxA92p
11、再代入（ 1）pA41或p2xxA AMN 为锐角三角形p 2xA,pA22（舍）x p=4,x A=1 B 点在曲线 C 上,x B|BN|p4C：图（ 3）2 曲线 C：y2=8x （1x4,y 0）解法三：以 1为 x 轴, N 点为坐标原点建立直角坐标系可得曲线y2=8（x+2 ）（-1x 2,y0）（推导过程此略）例 6、数列 b n,b n=nan（ a0）,问 b n 是否存在最大项？证明你的结论；解： bn+1-bn=（n+1）a n+1-nan=a n（n+1）a-n=an（a-1）n+a a1,bn+1-bn0,无最大项；a=1, bn+1-b n=1,也无最大项；0a1,
12、bn+1-bn=a n（ a-1）（n+aa1）aa的最大整数即 bn+1-bn 与naa1有相反的正负值当 n 变化,aa1为常数,设k 为不大于10nkbn+1-bn0nk0nk 当 0a1 时, b n存在最大项名师归纳总结 例 7、已知（ E）：x2y21焦点 F1, F2,P 为（ E）上一点,第 4 页,共 8 页2816如 F1PF2=900,就SF 1PF 2等于C 16 D 不存（）A9 B 12 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思在 解：设 |PF1|=r1,|PF2|=r2 a=5,b=4,c
13、=3,2a=10 r 1 2r212 c 236r2100236322r 1r 2rr222 r 121r 1r22S F 1PF 2162（C）对吗？其实不然；由 r1+r2=10,r1r2=32 r1、r2满意 r 2-10r+32=0 =（-10）2-4 320 不存在, r1、r2R 0 （E）不行能存在 P 点,使 F1PF2=90（D）对；例 8、如图,已知四周体A BCD 的一个截面EFGH 为平行四边形,如要使EFGH 为正方形就应满意什么条件？解：欲使 EFGH 为正方形,只要EF FG 是 EF=FG ACBD 且ACAE时, EFGH AC BD 且 AC=BD ,就 E
14、FGH 必为正方形,或者BDEB必为正方形EFBEEFABBEAC,EHAEEFABBDAEACABBDAB又ACAEAEBDACEBBDENBEFEH EFAB=EH ABEF=EH EH BD ,EF AC ,又 AC BD EFGH 为正方形例 9、以椭圆x2y21a1 的短轴端点B（0,1）为直角顶点作椭圆的内接等腰直a2角 ABC ,问这样的三角形能作几个？名师归纳总结 解析：问题实质上是问：满意B=900,且 |AB|=|CB| 的直线 AC 存在多少条？第 5 页,共 8 页设直线 AB ：y=kx+1 （k0,就直线BC：y=1x1,分别与椭圆联立,可得：kxA12a2k2,x
15、Ck2a2k2a2k2a |AB|=12a2k21k212a2k21k2a2ka2k|BC|=a2 a221k22k令|AB|=|CB| ,得到一个关于k 的方程（k+1） k2+（a 2-1）k+1=0 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思方程 k2+（a 2-1）k+1=0 中, =（a 2-1）2-4 令 0,得 a3 ；令 =0,得 a= 3 ,这时方程的解只有一个 k=-1 综上所述：当 1a3 时,方程有且只有一解,就满意题设条件 等腰直角三角形只有一个； a3 时,方程有三解,即满意题设条件的三角形有三
16、个；点拔：椭圆 xa 2 2y 2 1（a1）中的 a 值是参数, a 变,椭圆外形随之转变,此题采纳对 a 分类争论确定三角形能作的个数；【课外练习】1、 ABC 中,如 a=3,b=4,试写出两个以上的正确命题；2、已知 y=ax2+bx+c 其图像如下列图,试写出两个以上a、b、c三者之间的数量关系式；3、在直角坐标平面 xOy 中,已知 A（ 0,1）,B（-2,0）,C（ 2,0）,试写出过这三点的圆锥曲线方程并画出草图；4、 如图,直四棱柱 ABCD A 1B 1C1D1,如要使 A1CB 1D 1,就需要满意什么条件？5、是否存在关于x 的方程 8x2-6ma+2m+1=0 ,它
17、的两根是直角三角形两锐角之余弦,求m 的值；x21上点 Q（ x,y）的距离的最小6、如点 P（ 0,a）到曲线y2值为 dmin,试确定 a 的取值范畴（ a1）7、x1etx2e1cos1,就点（ x,y）轨迹是什么？2y1etetsin28、 设（ E）：y2（ ab0）,（P）：y1,（E）与（ P）在第一象限内只有a2b2x一个公共点P；（1）试用 a 表示点 P 的坐标；（2）设 A、B 是（ E）两焦点,当a 变化时,求ABP 的面积函数S（a）的值域；（3）记 miny 1,y 2, , yn为 y1, y2, , yn 中最小的一个,设 g（a）是以（E）的半焦距为边长的正方
18、形面积,试求f（a）=ming （a）,S（a） 表达式；9、如图,三棱锥 SABC 中,如 SASB,SBSC,SCSA,试写出三个以上关于三棱锥的侧面、底面面积、体积、棱长等之间的位置关系和数量关系（令SA=a ,SB=b,SC=c,高 SO=h）10、如图,抛物线 y 2=2px（p0）,F 为焦点,为准线, AB 过 F；P 为AB 中点, Q 为 MN 中点, AM 于 M ,BN 于 N；试写出线段 FN,AQ ,BQ ,FM ,FQ,AB 之间的垂直关系（三个以上）F（p ,0）2（令 A（x1,y1）,B（x2,y2）,名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8
19、 页精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思【参考答案】1、（1） BA （2）如 c=5, ABC 为直角三角形（ 3）7 c5 时, ABC 为锐角三角形2、（1） a-b+c0 （2）abc0 （ 3）|a+c| -b （4）4 acb2 -1 x214a3、（1）圆：x2y3225（2）椭圆：x2y21或y3 224416647（3）双曲线y22x21（y1）（4）抛物线： x2=-4（y-1）434、A 1C1B1D 1或 A1B 1C1D 1为正方形或 A 1B 1C1D1 为菱形5、m102a196、当 1a4 时, dmin=a-
20、1；当 a4 时, dmin=7、（1） t 为常数, 为参数,名师归纳总结 1t 0,etx2t2ety2t21,焦点在 x 轴上的椭圆第 7 页,共 8 页ee244t=0,以（ -1, 0）和（ 1,0）为端点的线段- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（2） 为常数, t 为参数1） =k （kZ）,表示射线x1,或gx11,实数在 x 轴上的双曲线右支；y0y02） =k +2（k Z）,表示直线x=0 y23） k , k2（ kZ ）,x2cos2sin28、S（a）值域为（ 0,2 ）,fa min a,S aga a24,2a46a2S a2 14,a46a49、（1）侧面 SAB, SBC,SCA 两两相互垂直名师归纳总结 （2）底面ABC 为锐角三角形,顶点2S 在底面射影O 为 ABC 的垂心第 8 页,共 8 页（3）S ASB 2SAOBSABCa2b2（4）V1abc,1b2c2a2c26h2a2b2cBQ FN FQAB 10、FM FN AQ BQ AQ FM - - - - - - -