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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思高考数学专题讲座开放试题主讲教师：孙福明（省常州高级中学）【复习指导】数学开放性问题是早在70 年代出现的一种新题型，它不同于传统的封闭型试题（条件完备、结论确定） ，主要体现在试题的形式和内容的开放。试题可给出结论让你去填写条件（一般只要填写一个与结论相适应的充分条件即可），这叫条件开放题。若试题给出一部分条件让你定出结论的一部分（对于同一题目可以有好几个不同结果），这叫结论开放题。对于同一试题学生可以用不同的方法去解（一题多解），这叫方法（思路）开放题。也有一些问题只给了一定的情境，其条件、解题策略与结论都要求解题者在此情境中自行设计与寻找，这类题可称
2、为综合开放题，开放型试题一般有“判断型”， “存在型” ， “讨论型” ， “猜测型”等以给出某种运算法则让你用这种法则去进行运算，去解题， 充分体现运用知识的能力。数学开放题有利于学生创新意识的培养和良好思维品质的形成。它要求在数学教学过程中强调整体性、思考性，强调解决问题的过程（思路与策略）而不单单是问题的结果。与此同时，还必须强调学生的主体作用。总之开放题有利于提高学生的情趣和学习积极性。【基本题型】1结论存在型由已知条件判断结论是否存在的探索性问题，这类题型常以适合某种条件的结论“存在” 、 “不存在”、 “是否存在” 等语句表述， 解答这类问题， 一般是先对结论作出肯定的假设，然后由
3、此出发，结合已知条件进行推理论证。若导出合理的结论，则存在性随之解决；若导出了矛盾，也就否定了存在性。这类探索性问题在高考中最为普遍，也最容易设置，只需将明确的、定性的结论改造成需要探索的、讨论的设问方式就可以了。如存在的话，请求出结果；如不存在的话，说明理由。2结论推广型推广结论的探索性问题，题目只给出问题对象的一些特殊关系，要求探索出一般结论，并论证所得结论的正确性，解决这类问题的方法是归纳和猜想，然后加以证明。 对结论要注意它们的外在形式的特征，从中找出规律性的东西，并依此进行推广。这类探索性问题，在高考中也较为普遍，目前只限于有关自然数命题的结论推广。3条件追溯型一类是条件未知的探索性
4、问题，这类问题的特点是题目给出了明确的结论，但成立的条件未知，需进行探寻和追索， 解决这类问题可用执果索因的演绎法或由特殊到一般的归纳法。另一类是缺少条件的探索性问题。这类问题的特点是题目给出了明确的结论和部分条件，要求补足条件，解决这类问题一般是从结论出发，并利用已知条件，进行逆向推理，推得的终结点便是所求的条件。这类题的答案往往是不唯一的，答案与已知条件对整个问题而言只要充分的、相容的、独立的，就视为正确的。这类问题已在高考中出现，对于考查学生发散性思维能力有较好的作用。4命题组合型给出几个论断， 选择其中若干个论断为条件，某一个论断为结论，组合成符合问题要求的命题，这类命题组合性探索问题
5、，在1999 年的高考中已开始试验，评价很好，对于增强学生分析问题的能力和逻辑推理能力起到了较好的效果。这类探索性问题，既注意了学生思维的发散性训练，又注意了思维的聚合性训练，是值得研究和探索的试题设置形式。5分类讨论型条件都具备， 但结论依赖于某个参数，必须对参数进行讨论，才能确定结论的详细情况，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思这类探索性问题归为分类讨论型。【例题】例 1、若四面体各棱长是1 或 2 且该四面体不是正四面体，则其体积是_（只要写一个可能值） 。这是一道开放试题
6、。要求学生自己合理组合已知条件，从而计算出体积。本题可有如下几种解法：611141122131CDS31VAEF如图，12113114331AOS31VBCD如图，121414141412131V如图，例 2、 （1）设 f（x）与 f-1（x）互为反函数。试写出两个以上的不同 f（ x） ，使得 f（x）=f-1（x） ，并说明其特征。解： y=f（ x）=2-x ；y=f（x）=1xx；2x1x2y凡如对称式x+y=c（常数）皆是，形如f（x）=dcxbax（c 0，abbc）只要满足a=-d皆是；（2）若2xsinxsin1xsin1，当 x _时，则 tgx=0 解：2xsin2xco
7、s2xsin2xcos2xsin02x4，02xsin2xsin2xsin2，tgx=0 当 x0，4时， tgx=0 例 3、A= （x，y）|y=3x+m，mR ，B= （x，y）|x=cos,y=sin,0 2 A B= （cos1，sin1） ， （ cos2， sin2） ，则m 的取值范围_。解：y=mx3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思C： x2+y2=1，除去（ 1，0）12m003d-2m2 当过（1，0）时，亦不满足条件，m3 m 取值范围为 -2m2，m3
8、例 4、 ABC 的低边 BC 固定，其他两边的斜率之积等于m（m0） ，求顶点 A 的轨迹方程。解：设 |BC|=2a，如图建立直角坐标系B（-a， 0） ，C（a，0） ，A（x，y）maxyaxy,mkkACAB（m0）1mayax2222m0，双曲线（ y0）m=1，等轴双曲线（y 0）m0，椭圆（ y 0）m=-1，圆（ y0）进一步再开放一点请写出适当条件，求出C 的轨迹方程给出条件顶点 C 的轨迹注意点 ABC 为等腰三角形 ACB 为直角a+b=k 定值（ kc）|a-b|=kc a-b=k，0 kc ：x=0 C： x2+y2=4c2椭圆双曲线双曲线左支y0 y0 y0 y0
9、 y0 例 5、如图，直线 1和 2相交于 M， 1 2，点 N 1，以 A，B 端点的曲线C上的任一点到2的距离与到点N 的距离相等，若AMN为锐角三角形，|AM|=17，|AN|=3 ，且 |BN|=6，建立适当坐标系，求曲线段C 的方程。解：本题是一道结论开放题，根据已知条件及所求曲线段AB 所在图的位置如何选择建立坐标系，使解题过程简洁明了，可充分发挥解题者的创新能力、运用知识能力。解法一：以 1为 x 轴， 2为 y 轴建立直角坐标系如图（1）22|DA|AM|DM|y3|AN|DA|ME|x22AA AMN 为锐角三角形4|AE|AN|ME|EN|ME|x22N6|BN|BF|xB
10、图（ 1）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 （x-xN）2+y2=x2 曲线 C：y2=8（x-2） （3x6，y0）解法二：以 1为 x 轴，线段 MN 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系如图（2）设 C：y2=2px（p0） ，p=|MN| ，M（2p，0） ，N（2p，0）p4x)2(9px2)2px)1(17px2)2px(AA2AA2A再代入（ 1）1x4pA或2x2pA图（ 2） AMN 为锐角三角形2pAx，2x2pA（舍） p=4，xA=1 B 点在曲线 C 上，
11、42p|BN|xB 曲线 C：y2=8x（1x4，y 0）解法三：以 1为 x 轴， N 点为坐标原点建立直角坐标系可得曲线C：y2=8（x+2） （-1x 2，y0）图（ 3）（推导过程此略）例 6、数列 bn,bn=nan（ a0） ，问 bn 是否存在最大项？证明你的结论。解： bn+1-bn=（n+1）an+1-nan=an（n+1）a-n=an（a-1）n+a a1，bn+1-bn0，无最大项；a=1， bn+1-bn=1，也无最大项；0a1，bn+1-bn=an（ a-1） （n+1aa）即 bn+1-bn与1aan有相反的正负值当 n 变化，1aa为常数，设k 为不大于a1a的最
12、大整数bn+1-bn)kn(0)kn(0)kn(0 当 0a1 时， bn存在最大项例 7、已知（ E） ：116y28x22焦点 F1， F2，P 为（ E）上一点，若 F1PF2=900，则21PFFS等于（）A9 B 12 C 16 D 不存精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思在解：设 |PF1|=r1，|PF2|=r2a=5，b=4，c=3，2a=10 16rr21S322361002)rr ()rr (rr36)c2(rr21PFF2221221212222121（C）对
13、吗？其实不然。由 r1+r2=10，r1r2=32 r1、r2满足 r2-10r+32=0 =（-10）2-4320 不存在， r1、r2R （E）不可能存在P 点，使 F1PF2=900（D）对。例 8、如图，已知四面体ABCD 的一个截面EFGH 为平行四边形，若要使EFGH 为正方形则应满足什么条件？解：欲使 EFGH 为正方形，只要EF FG 是 EF=FG AC BD 且 AC=BD ，则 EFGH 必为正方形，或者ACBD 且EBAEBDAC时， EFGH必为正方形AEBDABEFABAEBDEH,ACBEABEFABBEACEF又EBACBDAEENBAEBDAC EFAB=EH
14、 ABEF=EH EHBD ，EFAC ，又 AC BDEFEH EFGH 为正方形例 9、以椭圆)1a(1yax222的短轴端点B（0，1）为直角顶点作椭圆的内接等腰直角 ABC ，问这样的三角形能作几个？解析：问题实质上是问：满足B=900，且 |AB|=|CB| 的直线 AC 存在多少条？设直线 AB ：y=kx+1 （k0，则直线BC：y=1xk1，分别与椭圆联立，可得：222C222Aakka2x,ka1ka2x |AB|=22222222k1ka1ka2k1ka1ka2|BC|=2222k1kaa2令|AB|=|CB|，得到一个关于k 的方程（k+1） k2+（a2-1）k+1=0
15、 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思方程 k2+（a2-1）k+1=0 中， =（a2-1）2-4 令 0，得 a3；令 =0，得 a=3，这时方程的解只有一个k=-1 综上所述：当1a3时，方程有且只有一解，则满足题设条件等腰直角三角形只有一个； a3时，方程有三解，即满足题设条件的三角形有三个。点拔：椭圆1yax222（a1）中的 a 值是参数， a 变，椭圆形状随之改变，本题采用对 a 分类讨论确定三角形能作的个数。【课外练习】1、 ABC 中，若 a=3，b=4，试写出两
16、个以上的正确命题。2、已知 y=ax2+bx+c 其图像如图所示，试写出两个以上a、b、c三者之间的数量关系式。3、在直角坐标平面xOy 中，已知 A（ 0，1） ，B（-2，0） ，C（ 2，0） ，试写出过这三点的圆锥曲线方程并画出草图。4、 如图，直四棱柱ABCD A1B1C1D1，若要使A1CB1D1，则需要满足什么条件？5、是否存在关于x 的方程 8x2-6ma+2m+1=0 ，它的两根是直角三角形两锐角之余弦，求m 的值。6、若点 P（ 0，a）到曲线12xy2上点 Q（ x，y）的距离的最小值为 dmin，试确定a的取值范围（a1）7、sin)ee(21ycos)ee(21xtt
17、1t，则点（ x，y）轨迹是什么？8、 设（ E） ：1byax2222（ ab0） ， （P） ：x1y， （E）与（ P）在第一象限内只有一个公共点P。（1）试用 a 表示点 P 的坐标；（2）设 A、B 是（ E）两焦点，当a 变化时，求ABP 的面积函数S（a）的值域。（3）记 miny1，y2， yn为 y1， y2， yn中最小的一个，设g（a）是以（E）的半焦距为边长的正方形面积，试求f（a）=ming （a） ，S（a）表达式。9、如图，三棱锥SABC 中，若 SASB，SBSC，SCSA，试写出三个以上关于三棱锥的侧面、底面面积、体积、棱长等之间的位置关系和数量关系（令SA=
18、a，SB=b，SC=c，高 SO=h）10、如图，抛物线y2=2px（p0） ，F 为焦点，为准线， AB 过 F；P 为AB 中点， Q 为 MN 中点， AM 于 M，BN 于 N。试写出线段FN，AQ ，BQ，FM ，FQ，AB 之间的垂直关系（三个以上）（令 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，F（2p，0） ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思【参考答案】1、 （1） BA （2）若 c=5， ABC 为直角三角形（3）7c5 时， ABC 为锐角三角形2、 （1）
19、 a-b+c0 （2）abc0 （ 3）|a+c| -b （4）a4bac42 -1 3、 （1）圆：425)23y(x22（2）椭圆：1y4x22或1764x16)3y(22（3）双曲线134x)2y(22（y1）（4）抛物线： x2=-4（y-1）4、A1C1B1D1或 A1B1C1D1为正方形或A1B1C1D1为菱形5、910m6、当 1a4 时， dmin=a-1；当 a4 时， dmin=1a27、 （1） t 为常数， 为参数，1)t0，14)ee(y4)ee(x2tt22tt2，焦点在x 轴上的椭圆2)t=0，以（ -1， 0）和（ 1，0）为端点的线段精选学习资料 - - -
20、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（2） 为常数， t 为参数1）=k（kZ） ，表示射线0y1x，或0y1x2）=k+2（k Z） ，表示直线x=0 3） k， 2k（ kZ）,1sinycosx2222，实数在x 轴上的双曲线右支。8、S（a）值域为（ 0，2） ，444226a, )a41(2)a(S6a2,a4a)a(g)a(S),a(gmin)a(f9、 （1）侧面 SAB， SBC，SCA 两两互相垂直（2）底面 ABC 为锐角三角形，顶点S在底面射影O 为 ABC 的垂心（3）ABCAOB2ASBSSS（4）abc61V，2222222222cbabacacbh110、FMFN AQ BQ AQ FM BQFN FQAB 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页