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1、运动学第一讲基本知识介绍一 基本概念1质点2参照物3参照系固连于参照物上的坐标系 （解题时要记住所选的是参照系，而不仅是一个点）4绝对运动，相对运动，牵连运动：v绝=v相+v牵二运动的描述1位置： r=r(t) 2位移： r=r(t+ t) r(t) 3速度：v=limt0r/ t. 在大学教材中表述为： v=dr/dt, 表示 r 对 t 求导数加速度 a=an+a。an: 法向加速度，速度方向的改变率，且an=v2/ , 叫做曲率半径，（这是中学物理竞赛求曲率半径的唯一方法）a: 切向加速度，速度大小的改变率。 a=dv/dt 5以上是运动学中的基本物理量，也就是位移、位移的一阶导数、位移
2、的二阶导数。 可是三阶导数为什么不是呢？因为牛顿第二定律是F=ma,即直接和加速度相联系。（a 对 t 的导数叫“急动度”。 ）6由于以上三个量均为矢量，所以在运算中用分量表示一般比较好三等加速运动v(t)=v0+atr(t)=r0+v0t+1/2 at2 一道经典的物理问题： 二次世界大战中物理学家曾经研究，当大炮的位置固定，以同一速度v0沿各种角度发射，问：当飞机在哪一区域飞行之外时，不会有危险？ （注：结论是这一区域为一抛物线， 此抛物线是所有炮弹抛物线的包络线。此抛物线为在大炮上方h=v2/2g 处，以 v0平抛物体的轨迹。 ）练习题：一盏灯挂在离地板高l2, 天花板下面 l1处。灯泡
3、爆裂，所有碎片以同样大小的速度 v 朝各个方向飞去。求碎片落到地板上的半径（认为碎片和天花板的碰撞是完全弹性的， 即切向速度不变， 法向速度反向； 碎片和地板的碰撞是完全非弹性的，即碰后静止。 ）四刚体的平动和定轴转动1 我们讲过的圆周运动是平动而不是转动 2 角位移 =（ t ）, 角速度 =d/dt , 角加速度 =d/dt3有限的角位移是标量，而极小的角位移是矢量4同一刚体上两点的相对速度和相对加速度两点的相对距离不变， 相对运动轨迹为圆弧， VA=VB+VAB,在 AB连线上名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -
4、 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - 投影： VAAB=VBAB,aA=aB+aAB,aAB=,anAB+,aAB, ,aAB垂直于 AB,anAB=VAB2/AB 例：A，B，C三质点速度分别VA ，VB，VC求 G的速度。五课后习题：一只木筏离开河岸，初速度为V，方向垂直于岸边，航行路线如图。经过时间 T 木筏划到路线上标有符号处。河水速度恒定U 用作图法找到在 2T，3T，4T时刻木筏在航线上的确切位置。五、处理问题的一般方法（1）用微元法求解相关速度问题例 1：如图所示，物体A置于水平面上， A前固定一滑轮 B，高台上
5、有一定滑轮 D ，一根轻绳一端固定在C点，再绕过 B、D ，BC段水平，当以恒定水平速度v 拉绳上的自由端时， A沿水平面前进， 求当跨过 B的两段绳子的夹角为 时，A的运动速度。（vAcos1v）（2）抛体运动问题的一般处理方法1. 平抛运动2. 斜抛运动3. 常见的处理方法（1）将斜上抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动（2）将沿斜面和垂直于斜面方向作为x、y 轴，分别分解初速度和加速度后用运动学公式解题（3）将斜抛运动分解为沿初速度方向的斜向上的匀速直线运动和自由落体运动两个分运动，用矢量合成法则求解例 2：在掷铅球时，铅球出手时距地面的高度为h，若出手时的速度为V
6、0，求以何角度掷球时，水平射程最远？最远射程为多少？（=ghvv22sin2001、 x=gghvv2200）第二讲 运动的合成与分解、相对运动（一）知识点点拨(1)力的独立性原理：各分力作用互不影响，单独起作用。(2)运动的独立性原理：分运动之间互不影响，彼此之间满足自己的运动规律(3)力的合成分解：遵循平行四边形定则，方法有正交分解，解直角三角形等(4)运动的合成分解：矢量合成分解的规律方法适用A位移的合成分解 B. 速度的合成分解 C. 加速度的合成分解参考系的转换：动参考系，静参考系相对运动：动点相对于动参考系的运动绝对运动：动点相对于静参考系统（通常指固定于地面的参名师资料总结 -
7、- -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - 考系）的运动牵连运动：动参考系相对于静参考系的运动（5）位移合成定理： SA对地=SA 对 B+SB 对地速度合成定理： V绝对=V相对+V牵连加速度合成定理： a绝对=a相对+a牵连（二）典型例题（1）火车在雨中以 30m/s 的速度向南行驶，雨滴被风吹向南方，在地球上静止的观察者测得雨滴的径迹与竖直方向成21。角，而坐在火车里乘客看到雨滴的径迹恰好竖直方向。求解雨滴相对于地的运动。提示：矢量关
8、系入图答案： 83.7m/s （2）某人手拿一只停表，上了一次固定楼梯，又以不同方式上了两趟自动扶梯，为什么他可以根据测得的数据来计算自动扶梯的台阶数？提示： V人对梯 =n1/t1 V梯对地 =n/t2 V人对地 =n/t3 V人对地 = V 人对梯 + V 梯对地答案： n=t2t3n1/ （t2-t3）t1(3) 某人驾船从河岸 A 处出发横渡，如果使船头保持跟河岸垂直的方向航行，则经10min 后到达正对岸下游120m的 C处，如果他使船逆向上游，保持跟河岸成 角的方向航行，则经过 12.5min 恰好到达正对岸的 B处，求河的宽度。提示： 120=V水*600 D=V船*600 答案
9、： 200m （4）一船在河的正中航行，河宽l=100m，流速 u=5m/s，并在距船 s=150m的下游形成瀑布， 为了使小船靠岸时， 不至于被冲进瀑布中， 船对水的最小速度为多少？提示：如图船航行答案： 1.58m/s （三）同步练习1. 一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜角为1=30， 另一次安装成倾角为2=15。问汽车两次速度之比21vv为多少时，司机都是看见冰雹都是以竖直方向从车的正面玻璃上弹开？（冰雹相对地面是竖直下落的）2、 模型飞机以相对空气 v=39km/h的速度绕一个边长 2km的等边三角形飞行，设风速 u = 21km/h ，方向与三角形的一边平行并与飞机起飞方向
10、相同，试求：飞机绕三角形一周需多少时间？3. 图为从两列蒸汽机车上冒出的两股长幅气雾拖尾的照片 （俯视 ） 。两列 车沿 直 轨道 分别 以速度v1=50km/h 和v2=70km/h行驶，行驶方向如箭头所示，求风速。4、 细杆 AB长 L ， 两端分别约束在 x 、 y 轴上运动， （1）试求杆上与 A点相距 aL（0 a 1) 的 P点运动轨迹；（2）如果 vA为已知， 试求 P点的 x 、 y 向分速度 vPx和 vPy对杆方位角 的函数。v1v2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -
11、 - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - （四）同步练习提示与答案1、提示：利用速度合成定理，作速度的矢量三角形。答案为： 3。2、提示：三角形各边的方向为飞机合速度的方向（而非机头的指向）；第二段和第三段合v大小相同。参见右图，显然：v2 = 2v合 + u2 2v合ucos120可解出 v合 = 24km/h 。答案： 0.2hour （或 12min. ） 。3、提示：方法与练习一类似。答案为：3 4、提示： （1）写成参数方程cosL)a1(ysinaLx后消参数 。（2）解法有讲究：以 A端为参照， 则杆上各点只绕A转动。但鉴于杆子的实际运动情形如右
12、图，应有v牵 = vAcos，v转 = vAsincos2，可知 B端相对 A的转动线速度为： v转 + vAsin = sinAv。P点的线速度必为sinAav = v相所以 vPx = v相cos+ vAx，vPy = vAyv相sin 答案： （1）22)(aLx + 222)1 (Lay = 1 ，为椭圆； （2）vPx = avActg ，vPy = （1 a ）vA 第四部分曲线运动万有引力名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - -
13、- - - - - - 第一讲 基本知识介绍一、曲线运动1、概念、性质2、参量特征二、曲线运动的研究方法运动的分解与合成1、法则与对象2、两种分解的思路a、固定坐标分解（适用于匀变速曲线运动）建立坐标的一般模式沿加速度方向和垂直加速度方向建直角坐标；提高思想根据解题需要建直角坐标或非直角坐标。b、自然坐标分解（适用于变加速曲线运动）基本常识：在考查点沿轨迹建立切向、法向n 坐标，所有运动学矢量均沿这两个方向分解。动力学方程nnmaFmaF，其中a改变速度的大小（速率），na改变速度的方向。且na= m2v，其中表示轨迹在考查点的曲率半径。定量解题一般只涉及法向动力学方程。三、两种典型的曲线运动
14、1、抛体运动（类抛体运动）关于抛体运动的分析，和新课教材“平跑运动”的分析基本相同。在坐标的选择方面，有灵活处理的余地。2、圆周运动匀速圆周运动的处理：运动学参量v、 n、a、f 、T 之间的关系，向心力的寻求于合成；临界问题的理解。变速圆周运动：使用自然坐标分析法，一般只考查法向方程。四、万有引力定律1、定律内容2、条件a、基本条件b、拓展条件：球体（密度呈球对称分布）外部空间 的拓展 - 对球体外一点 A的吸引等效于位于球心的质量为球的质量的质点对质点A的吸引；球体（密度呈球对称分布） 内部空间 的拓展“剥皮法则” -对球内任一距球心为 r 的一质点 A 的吸引力等效于质量与半径为 r的球
15、的质量相等且位于球心的质点对质点A的吸引；球壳（密度呈球对称分布）外部空间 的拓展 - 对球壳外一点 A的吸引等效于位于球心的质量为球壳的质量的质点对质点A的吸引；球体（密度呈球对称分布） 内部空间 的拓展 -对球壳内任一位置上任一质点 A的吸引力都为零；并且根据以为所述，由牛顿第三定律，也可求得一质点对球或对球壳的吸引力。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - c、不规则物体间的万有引力计算分割与矢量叠加3、万有引力
16、做功也具有只与初末位置有关而与路径无关的特征。因而相互作用的物体间有引力势能。 在任一惯性系中， 若规定相距无穷远时系统的万有引力势能为零，可以证明，当两物体相距为r 时系统的万有引力势能为EP = Grmm21五、开普勒三定律天体运动的本来模式与近似模式的差距，近似处理的依据。六、宇宙速度、天体运动1、第一宇宙速度的常规求法2、从能量角度求第二、第三宇宙速度万有引力势能 EP = Grmm213、解天体运动的本来模式时，应了解椭圆的数学常识第二讲 重要模型与专题一、小船渡河物理情形：在宽度为d 的河中，水流速度 v2恒定。岸边有一艘小船，保持相对河水恒定的速率v1渡河，但船头的方向可以选择。
17、试求小船渡河的最短时间和最小位移。模型分析：小船渡河的实际运动（相对河岸的运动）由船相对水流速度v1和水相对河岸的速度v2合成。可以设船头与河岸上游夹角为（即v1的方向） ，速度矢量合成如图1 （学生活动）用余弦定理可求v合的大小v合=cosvv2vv212221（学生活动）用正弦定理可求v合的方向。令 v合与河岸下游夹角为，则= arcsincosvv2vvsinv21222111、求渡河的时间与最短时间由于合运动合分运动具有等时性，故渡河时间既可以根据合运动求，也可以根据分运动去求。针对这一思想，有以下两种解法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -
18、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - 解法一： t = 合合vS其中 v合可用正弦定理表达，故有 t = sinsinvsin/d1 = sinvd1解 法 二 ：t = 11vS = 1vsin/d = sinvd1此外，结合静力学正交分解的思想， 我们也可以建立沿河岸合垂直河岸的坐标x、y，然后先将 v1分解（ v2无需分解） ，再合成，如图 2 所示。而且不难看出，合运动在x、y 方向的分量 vx和 vy与 v1在 x、y 方向的分量 v1x、v1y以及 v2具有以下关系vy = v1yv
19、x = v2 - v1x由于合运动沿 y 方向的分量 Sy d ，故有解法三： t = yyvS = y1vd = sinvd1t ( )函数既已得出，我们不难得出结论当= 90时，渡河时间的最小值 tmin = 1vd（从“解法三”我们最容易理解t 为什么与 v2无关，故 tmin也与 v2无关。这个结论是意味深长的。 ）2、求渡河的位移和最小位移在上面的讨论中，小船的位移事实上已经得出，即S合 = sind = sinvvd1合 = sinvconvv2vvd1212221但 S合（）函数比较复杂，寻求S合的极小值并非易事。因此，我们可以从其它方面作一些努力。将 S合沿 x、y 方向分解成
20、 Sx和 Sy，因为 Sy d ，要 S合极小，只要 Sx极小就行了。而 Sx（）函数可以这样求解法一： Sx = vxt = （v2 - v1x）yyvS =（v2 v1cos）sinvd1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - - 为求极值，令 cos= p ，则 sin = 2p1，再将上式两边平方、整理，得到0vSvdpdvv2p)dS(v212x222221222x21这是一个关于 p 的一元二次方程，要p 有解
21、，须满足 0 ，即42221dvv4)vSvd)(dS(v4212x22222x21整理得212xvS)vv(d21222所以，Sxmin=21221vvvd，代入 Sx（）函数可知，此时cos= 21vv最后，Smin= 2y2minxSS= 12vvd 此过程仍然比较繁复，且数学味太浓。结论得出后，我们还不难发现一个问题：当 v2v1时，Smind ，这显然与事实不符。（造成这个局面的原因是：在以上的运算过程中，方程两边的平方和开方过程中必然出现了增根或遗根的现象）所以，此法给人一种玄乎的感觉。解法二：纯物理解矢量三角形的动态分析从图 2 可知， Sy恒定，Sx越小，必有 S合矢量与下游河
22、岸的夹角越大，亦即v合矢量与下游河岸的夹角越大（但不得大于90） 。我们可以通过 v1与 v2合成 v合矢量图探讨 v合与下游河岸夹角的最大可能。先进行平行四边形到三角形的变换，如图3 所示。当变化时， v合矢量的大小和方向随之变化，具体情况如图4 所示。从图 4 不难看出，只有当v合和虚线半圆周相切时， v合与 v2（下游）的夹角才会最大。此时， v合v1，v1、v2和 v合构成一个直角三角形，max= arcsin21vv并 且 ， 此 时 ： = arccos21vv有了max的值，结合图 1 可以求出： S合 min = 12vvd 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -
23、 - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - 最后解决 v2v1时结果不切实际的问题。从图4 可以看出，当 v2v1时，v合不可能和虚线半圆周相切（或max = arcsin21vv无解） ，结合实际情况，max取90即：v2v1时，S合 min = d ，此时， = arccos12vv结论：若 v1v2，= arccos21vv时，S合 min = 12vvd 若 v2v1，= arccos12vv时，S合 min = d 二、滑轮小船物理情形：如图 5 所示，岸边的汽车
24、用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮牵引水中的小船，设小船始终不离开水面，且绳足够长，求汽车速度v1和小船速度v2的大小关系。模型分析：由于绳不可伸长，滑轮右边绳子缩短的速率即是汽车速度的大小 v1，考查绳与船相连的端点运动情况， v1和 v2必有一个运动的合成与分解的问题。（学生活动）如果v1恒定不变，v2会恒定吗？若恒定，说明理由；若变化，定性判断变化趋势。结合学生的想法，介绍极限外推的思想：当船离岸无穷远时，绳与水的夹角趋于零，v2v1。当船比较靠岸时， 可作图比较船的移动距离、 绳子的缩短长度，得到 v2v1。故“船速增大”才是正确结论。故只能引入瞬时方位角，看v1和 v2的瞬时关系。（学生
25、活动） v1和 v2定量关系若何？是否可以考虑用运动的分解与合成的知识解答？针对如图 6 所示的两种典型方案，初步评说甲图中v2 = v1cos，船越靠岸，越大， v2越小，和前面的定性结论冲突，必然是错误的。错误的根源分析：和试验修订本教材中“飞机起飞”的运动分析进行了不恰当地联系。仔细比较这两个运动的差别，并联系“小船渡河”的运动合成等事例，总结出这样的规律合运动是显性的、轨迹实在的运动，分运动是隐性名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - -
26、 - - - - - - 的、需要分析而具有人为特征（无唯一性）的运动。解法一：在图6（乙）中，当我们挖掘、分析了滑轮绳子端点的运动后，不难得出：船的沿水面运动是v2合运动，端点参与绳子的缩短运动v1和随绳子的转动 v转，从而肯定乙方案是正确的。即：v2 = v1 / cos解法二：微元法。从考查位置开始取一个极短过程，将绳的运动和船的运动在图 7（甲）中 标 示 出来，AB是绳的 初 识 位置，AC是绳的末位置，在 AB 上取AD=AC得D点， 并连接CD 。显然，图中 BC是船的位移大小， DB是绳子的缩短长度。由于过程极短，等腰三角形ACD 的顶角 A0，则底角 ACD 90， CDB
27、趋于直角三角形。将此三角放大成图7（乙） ，得出： S2 = S1 / cos 。鉴于过程极短，绳的缩短运动和船的运动都可以认为是匀速的，即：S2 = v2t ，S1 = v1 t 。所以：v2 = v1 / cos三、斜抛运动的最大射程物理情形：不计空气阻力，将小球斜向上抛出，初速度大小恒为v0，方向可以选择，试求小球落回原高度的最大水平位移（射程）。模型分析：斜抛运动的常规分析和平抛运动完全相同。设初速度方向与水平面夹角，建立水平、竖直的x、y 轴，将运动学参量沿 x、y 分解。针对抛出到落回原高度的过程0 = Sy = v0y t + 21（-g ）t2Sx = v0 x t 解以上两式
28、易得： Sx = gv20sin2 结论：当抛射角 = 45时，最大射程 Sxmax = gv20（学生活动）若 v0、确定，试用两种方法求小球到达的最大高度。运动学求解考查竖直分运动即可；能量求解注意小球在最高点应具备的速度 v0 x，然后对抛出到最高点的过程用动能定理或机械能守恒。结论：Hm= g2sinv220。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - 四、物体脱离圆弧的讨论物理情形：如图 8 所示，长为 L 的
29、细绳一端固定，另一端系一小球。当小球在最低点时，给球一个vo = 2gL 的水平初速，试求所能到达的最大高度。模型分析：用自然坐标分析变速圆周运动的典型事例。能量关系的运用， 也是对常规知识的复习。（学生活动）小球能否形成的往复的摆动？小球能否到达圆弧的最高点C ？通过能量关系和圆周运动动力学知识的复习，得出：小球运动超过B点、但不能到达 C点（vCgL ） ，即小球必然在 BC之间的某点脱离圆弧。（学生活动） 小球会不会在 BC之间的某点脱离圆弧后作自由落体运动？尽管对于本问题，能量分析是可行的（BC之间不可能出现动能为零的点，则小球脱离圆弧的初速度 vD不可能为零），但用动力学的工具分析，
30、是本模型的重点在 BC阶段，只要小球还在圆弧上，其受力分析必如图9 所示。沿轨迹的切向、法向分别建、 n 坐标，然后将重力G沿、 n 分解为 G和 Gn分量， T 为绳子张力。法向动力学方程为T + Gn = Fn = man = mrv2由于 T0 ，Gn0 ，故 v0 。 （学生活动：若换一个v0值，在 AB阶段， v = 0 是可能出现的；若将绳子换成轻杆，在BC阶段 v = 0也是可能出现的。）下面先解脱离点的具体位置。设脱离点为D ，对应方位角为，如图 8 所示。由于在 D点之后绳子就要弯曲，则此时绳子的张力 T 为零，而此时仍然在作圆周运动，故动力学方程仍满足Gn= Gsin= m
31、rv2在再针对 AD过程，小球机械能守恒，即（选A所在的平面为参考平面） ：21m20v+ 0 = mg ( L + Lsin) +21m2Dv代入 v0值解、两式得： = arcsin32， （同时得到： vD= gL32）小球脱离 D点后将以 vD为初速度作斜向上抛运动。它所能到达的最高点（相对A）可以用两种方法求得。解法一：运动学途径。先求小球斜抛的最大高度，hm = g2)cosv(2D = g2)sin1(v22D名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共
32、 14 页 - - - - - - - - - 代入和 vD的值得： hm = 275L 小球相对 A的总高度： Hm = L + Lsin+ hm = 2750L 解法二：能量途径小球在斜抛的最高点仍具有vD的水平分量，即 vDsin = 32gL32。对 A最高点的过程用机械能守恒定律（设A所在的平面为参考平面） ，有21m20v+ 0 = 2D)sinvm21（ + mg Hm容易得到： Hm = 2750L 五、万有引力的计算物理情形：如图 9 所示，半径为R 的均质球质量为M ，球心在 O点，现在被内切的挖去了一个半径为R/2的球形空腔（球心在O ） 。在 O 、O 的连线上距离O点
33、为 d 的地方放有一个很小的、质量为 m的物体，试求这两个物体之间的万有引力。模型分析：无论是“基本条件”还是“拓展条件”，本模型都很难直接符合， 因此必须使用一些特殊的处理方法。本模型除了照应万有引力的拓展条件之外，着重介绍“填补法”的应用。空腔里现在虽然空无一物，但可以看成是两个半径为R/2 的球的叠加：一个的质量为 +M/8 ，一个的质量为 M/8 。然后，前者正好填补空腔和被挖除后剩下的部分构成一个完整的均质球A ；注意后者，虽然是一个比较特殊的物体（质量为负值），但仍然是一个均质的球体，命名为B 。既然 A、B 两物均为均质球体，他们各自和右边小物体之间的万有引力，就可以使用“拓展条
34、件”中的定势来计算了。只是有一点需要说明，B物的质量既然负值，它和 m之间的万有“引力”在方向上不再表现为吸引，而应为排斥成了“万有斥力”了。具体过程如下FAm = G2dMmFBm = G22Rdm8M = G2)2Rd(8Mm名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - 最后，两物之间的万有引力 F = FAm + FBm = G2dMmG2)2Rd( 8Mm需要指出的是，在一部分同学的心目中，可能还会存在另一种解题思
35、路，那就是先通过力矩平衡求被挖除物体的重心（仍然要用到“填补法”、负质量物体的重力反向等），它将在 O 、O 的连线上距离O点左侧 R/14 处，然后“一步到位”地求被挖除物与m的万有引力F = G2)14Rd(m7M然而，这种求法违背了万有引力定律适用的条件，是一种错误的思路。六、天体运动的计算物理情形：地球和太阳的质量分别为m和 M ，地球绕太阳作椭圆运动，轨道的半长轴为 a ，半短轴为 b ，如图 11 所示。试求地球在椭圆顶点A、B、C三点的运动速度，以及轨迹在A、C两点的曲率半径。模型分析：求解天体运动的本来模式，常常要用到开普勒定律（定量） 、机械能守恒（万有引力势能） 、椭圆的数
36、学常识等等，相对高考要求有很大的不同。地球轨道的离心率很小（其值ac0.0167 ，其中 c 为半焦距），这是我们常常能将它近似为圆的原因。为了方便说明问题，在图11 中，我们将离心率夸大了。针对地球从 A点运动到 B点的过程，机械能守恒21m2Av+（caMmG）= 21m2Bv+（caMmG）比较 A、B两点，应用开普勒第二定律，有：vA（ac）= vB（a + c ）结合椭圆的基本关系： c = 22ba解以上三式可得： vA= bbaa22aGM， vB= bbaa22aGM再针对地球从 A到 C的过程，应用机械能守恒定律，有21m2Av+（caMmG）= 21m2Cv+（aMmG）代
37、入 vA值可解得： vC = aGM为求 A、C两点的曲率半径，在A、C两点建自然坐标，然后应用动力学（法向）方程。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - 在 A点，F万 = Fn= m an，设轨迹在 A点的曲率半径为A，即：G2)ca(Mm= mA2Av代入 vA值可解得：A = ab2在 C点，方程复杂一些，须将万有引力在、n方向分解，如图 12 所示。然后，F万 n =Fn = m an，即： F万cos=
38、mC2Cv即：G2aMmab = mC2Cv代入 vC值可解得：C = ba2值得注意的是， 如果针对 A、C两点用开普勒第二定律，由于C点处的矢径 r和瞬时速度 vC不垂直，方程不能写作vA（ac）= vC a 。正确的做法是： 将 vC分解出垂直于矢径的分量 （分解方式可参看图12，但分解的平行四边形未画出）vCcos，再用 vA（ac）=（vCcos）a ，化简之后的形式成为vA（ac）= vC b 要理解这个关系，有一定的难度，所以建议最好不要对A、C 两点用开普勒第二定律第三讲 典型例题解析教材范本：龚霞玲主编奥林匹克物理思维训练教材，知识出版社， 20XX年 8 月第一版。例题选讲针对“教材”第五、第六章的部分例题和习题。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - -