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1、1 2016-2017 学年高中数学第 1 章 立体几何初步章末测试北师大版必修 2 班级 _ 姓名_ 考号 _ 分数 _ 本试卷满分100 分，考试时间90 分钟一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共 40 分在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1若 a? ，b? ，c，ab M ，则( ) AM c BM ?c CM ? c DM ?c 答案：A解析： 注意点、线、面关系的符号表示，结合平面的公理3 可知， M c. 2从长方体的一个顶点引出的三条棱的长度分别是2,3,3 ，则长方体的外接球的表面积为 ( ) A20B22C24D26答案：B解析： 设球的半径为r
2、 ，则 4r222323222，球的表面积为4r222. 3一个几何体的三视图中的正( 主) 视图、侧 ( 左) 视图、俯视图均是大小形状完全相同的图形，那么这个几何体可能是( ) A圆柱B圆锥C圆台D球答案：D解析： 因为球的三视图都是半径相等的圆，则其他的三个均不可能满足条件4圆锥的高伸长为原来的2 倍，底面半径缩小为原来的12，则它的体积是原来体积的( ) A.12B.23C.34D.65答案：A解析： 设原圆锥高为h，底面面积为S，则 V13hS，新圆锥的高为2h，底面面积为S4，V132hS412V. 5如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1，E是 DD1的中点， F 是 BB1
3、的中点，设过点C1，E，F三点的平面为，则正方体被平面 所截的截面的形状为( ) A菱形B矩形C梯形D五边形答案：A解析： 设正方体棱长为a，连接 AE ，C1F 易发现 AE C1F，所以平面 经过点 A ，所以名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 2 截面是四边形AEC1F，根据勾股定理易求得AE EC1C1FAF52a，所以截面为菱形6平面 与平面 平行的条件可以是( ) A 内有无数条直线都与平面 平行B 内的
4、任何直线都与平面 平行C直线 a? ，直线 b? 且 a，b D直线 a，a 答案：B7底面是正三角形，侧棱垂直底面水平放置的三棱柱的所有棱长均为2，当其正 ( 主)视图有最大面积时，其侧( 左) 视图的面积为 ( ) A2 B.3 C23 D63 答案：C解析： S32 23. 8设 、 是两个不同的平面，a、b 是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中正确的命题是 ( ) A若 a，b，则 abB若 a，b，ab，则 C若 a，b，ab，则 D若 a、b 在平面 内的射影互相垂直，则ab答案：C解析：与同一平面平行的两条直线不一定平行，所以A错误；与两条平行直线分别平行的两个平面未必平行，
5、所以B错误；如图所示，直线a，b 在平面 内的射影分别为m 、n，显然 m n，但 a、b不垂直，所以D错误，故选C. 9三条直线a、b、c 两两平行且不共面，这三条直线可以确定m个平面，这m个平面把空间分成n 个部分，则 ( ) Am 2，n2 Bm 2，n6 Cm 3，n7 Dm 3，n8 答案：C解析：本题主要考查空间想象能力，三条不共面的平行线可以确定三个平面，而这三个平面把空间分成7 部分10平行六面体的相交于一顶点的三条棱长分别是a、b、c，三条棱中每两条的夹角都是 60，则它的体积是( ) Aabc B.abc3C.2abc D.22abc 答案：D解析： 如图所示，设AA1c，
6、AB a，AD b，A1在底面射影O. 在DAB的平分线上，作OE AB 于 E，连结 A1E，则 A1EAB ，在RtA1AE中，A1AE60， AE c2，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 3 在RtAEO中，OAE 30， AO 33c，高 A1O 23c. VS四边形 ABCDA1O22abc. 二、填空题：本大题共3 小题，每小题4 分，共 12 分把答案填在题中横线上11正方体的内切球与外接球的体积之比
7、等于_答案： 1：3 3 解析： 设正方体的棱长为a，则内切球半径为r a2，外接球半径R32a. 12若某几何体的三视图( 单位：cm) 如图所示，则此几何体的体积是_cm3. 答案： 18 解析： 根据几何体的三视图，可知该几何体是由两个相同的长方体(331)组合而成的几何体，故其体积为18. 13如图所示，下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M ，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB 平面 MNP 的图形的序号是_( 写出所有符合要求的图形的序号 ) 答案： 解析： 如图所示，因为MN AD ，NP AC ，所以平面MNP 平面 AB.故 AB 平面MNP. 如下图所示，A
8、B与平面 MNP不平行 ( 反证法 )，连结CD 、再连结BE ，分别交CD 、MP于 R、Q，连结 NQ ，若 AB 平面 MNP ，则 AB NQ.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 4 又由 N为 AE的中点， R为 BE的中点，得AB NR.在平面ABE中过点 N有两条相交的直线平行于AB ，与平行公理矛盾，所以AB与平面 MNP 不平行如图所示，连结CD ，因为 AD平行且等于BC，所以四边形ABCD 为平
9、行四边形所以AB CD.又因为MP CD ，所以AB MP.所以 AB 平面 MNP. 对于， AB与平面 MNP 不平行 ( 反证法 ) ，如上图所示， 连接 DM ，ME.若 AB 平面 MNP ，因为 MN DP ，所以 DM ? 平面 MNP ，又 DM ? 平面 ABMD ，所以 AB DM.又由 AD平行且等于BC ，得四边形ABCD 是平行四边形，故AB CD.在平面ABCD中过点 D有两条相交直线平行于AB ，与平行公理矛盾于是AB与平面 MNP 不平行三、解答题：本大题共5 小题，共48 分，其中第14 小题 8 分，第 1518 小题各 10分解答应写出文字说明、证明过程或
10、演算步骤14四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PD 底面ABCD ，AD PD，E、F 分别为 CD 、PB的中点，求证： EF 面PAB. 证明：如图，连结EP. PD 面 ABCD ，DE在面 ABCD内，PD DE ，又 CE ED ，PD AD BC. RtBCE RtPDE. PE BE. F 为 PB的中点， EF PB ，PD ABCD AB ? ABCD PD AB又AB AD AB 平面PAD PA AB在RtPAB中，PFAF ，又 PE BE EA，EFP EFA ，EF FA.又 PB ，FA为平面 PAB内相交直线EF 面 PAB. 15. 名师资料总
11、结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 5 如图所示，在正三角形ABC中，E、F 分别是 AB 、AC的中点， AD BC ，EH BC ，FG BC ，D、H、G为垂足，若将正 ABC 绕 AD旋转一周所得圆锥体积为V，求由阴影部分所产生旋转体的体积与V的比值解：如图所示，设圆锥的高为h，底面半径为r ，则圆柱的高为h2，底半径为r2，则VV柱V1V柱V1r22h213r2h13858. 16如图所示，在侧棱垂直于底面ABC的三
12、棱柱 ABC A1B1C1中，A1B1A1C1，D，E分别是棱 BC ，CC1上的点 ( 点 D不同于点C)，且 AD DE ， F是 B1C1的中点求证：(1) 平面 ADE 平面 BCC1B1；(2) 直线 A1F平面 ADE. 证明： (1) 因为 CC1平面 ABC ，又 AD ? 平面 ABC ，所以 CC1AD.又因为 AD DE ， CC1，DE? 平面 BCC1B1，CC1DE E，所以 AD 平面 BCC1B1. 又 AD ? 平面ADE ，所以平面 ADE 平面 BCC1B1. (2) 因为 A1B1A1C1，F 为 B1C1的中点，所以A1FB1C1. 因为 CC1平面
13、A1B1C1，且 A1F? 平面 A1B1C1，所以 CC1A1F. 又因为 CC1，B1C1? 平面 BCC1B1，CC1B1C1C1，所以 A1F平面BCC1B1. 由(1) 知 AD 平面 BCC1B1，所以 A1FAD.又 AD ? 平面 ADE ，A1F?平面 ADE ，所以 A1F平面 ADE. 17如图所示， AB是圆柱的母线， O 是上底面的圆心， BCD是下底面圆的内接三角形，且 BD是下底面圆的直径，E是 CD的中点求证：(1)OE平面 ABC ；(2) 平面 O CD 平面ABC. 解：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -
14、- - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 6 (1) 取 BC中点为 F，连结 EF，O A，则 EF是BCD的中位线，EF綊12BD. 设下底面圆心为O ，连结 OO ，AB 是母线，AB綊 OO ，AO 綊 EF，AF O E 且 AF ? 平面 ABC ，O E ?平面 ABC ，O E平面ABC. (2) 在圆柱中， AB 平面BCD ，AB CDBC CD ，AB BC B CD 平面 ABC CD ? 平面 O CD平面 O CD 平面ABC. 18如图所示，在侧面均垂直于底面ABC的三棱柱AB
15、C ABC中， BAC 90，AB AC 2，AA 1，点 M ，N分别为 AB 和 BC的中点(1) 证明： MN 平面AACC ；(2) 求三棱锥A MNC 的体积解：(1)( 法一) 连接 AB ，AC ，由已知 BAC 90，AB AC ，三棱柱ABC ABC为直三棱柱，所以M为 AB 中点又因为 N为 BC的中点，所以 MN AC .又 MN ?平面 AACC ，AC ? 平面 AACC ，因此 MN 平面 AACC .( 法二 ) 取 AB中点P，连接 MP ，NP ，则 M ，N分别为 AB 与 BC的中点，所以MP AA ，PN AC，所以 MP 平面 AACC ，PN 平面A
16、ACC .又 MP NP P，因此平面MPN 平面 AACC .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 7 而 MN ? 平面 MPN ，因此 MN 平面 AACC .(2)( 法一 ) 连接 BN ，由题意 ANBC，平面ABC平面BBCC BC，所以 AN平面 NBC. 又 AN12BC 1，故 VA MNCVNAMC12VN ABC12VA NBC16. ( 法二 )VA MNCVA NBCVM NBC12VANBC16. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -