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1、8 函数的单调性教材分析函数的单调性是函数的重要特性之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性地联系在一起在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系这节内容的重点是理解函数单调性的概念以及利用函数的单调性的概念证明函数的单调性，难点是理解函
2、数单调性的概念教学目标1. 通过对增函数、减函数概念的归纳、抽象和概括，体验数学概念的产生和形成过程，培养学生从特殊到一般的抽象概括能力2. 掌握增函数、减函数等函数单调性的概念，理解函数增减性的几何意义，并能初步运用所学知识判断或证明一些简单函数的单调性，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力3. 通过对函数单调性的学习，初步体会知识发生、发展、运用的过程，培养学生形成科学的思维任务分析这节内容学生在初中已有了较为粗略的认识，即主要根据观察图像得出结论这节函数增减性的定义，是运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义，学生接受起来可能比较困难在引入定义时，要始终结合具体函数的图像来进行，
3、以增强直观性，采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，便于学生理解对于定义，要注意对区间上所取两点x1，x2的“ 任意性 ” 的理解，多给学生操作与思考的时间和空间教学设计一、问题情境1. 如图为某市一天内的气温变化图：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - （1）观察这个气温变化图，说出气温在这一天内的变化情况（2）怎样用数学语言刻画在这一天内“ 随着时间的增大，气温逐渐升高或下降” 这一特征？2. 分别作出下列函
4、数的图像：（1）y2x（2）y x2（3）yx2根据三个函数图像，分别指出当x（ ，）时，图像的变化趋势？二、建立模型1. 首先引导学生对问题2 进行探讨 观察分析观察函数 y2x，y x2，yx2图像，可以发现：y2x 在（ ， ）上、 yx2在（， ）上的图像由左向右都是上升的；y x2 在（ ，）上、 yx2在（ ，）上的图像由左向右都是下降的函数图像的“ 上升 ” 或“ 下降” 反映了函数的一个基本性质 单调性那么，如何描述函数图像“ 上升” 或“ 下降” 这个图像特征呢？以函数 yx2，x（ ，）为例，图像由左向右下降，意味着“ 随着 x 的增大，相应的函数值yf（x）反而减小 ”
5、，如何量化呢？取自变量的两个不同的值，如x15，x2 3，这时有 x1x2，f（x1） f（x2），但是这种量化并不精确因此，x1，x2应具有 “ 任意性 ” 所以，在区间（ ，0）上，任取两个x1，x2得到 f（x1），f（x2）当 x1x2时，都有 f（x1）f（x2）这时，我们就说f（x） x2在区间（ ，0）上是减函数注意：在这里，要提示学生如何由直观图像的变化规律，转化为数学语言，即自变量变化时对函数值y 的影响必要时，对x，y 可举出具体数值，进行引导、归纳和总结这里的 “ 都有 ” 是对应于 “ 任意 ” 的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
6、 - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 2. 在学生讨论归纳函数单调性定义的基础上，教师明晰 抽象概括设函数 f（x）的定义域为I：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1x2时，都有 f（x1） f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间上是增函数如图8-2（1）如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1x2时，都有 f（x1） f（x2），那么我们就说函数f（x）在区间上是减函数如图8-2（2）如果函数 yf（x）在区间
7、D 上是增函数或减函数，那么我们就说函数yf（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫作 yf（x）的单调区间3. 提出问题，组织学生讨论（1）定义在R 上的函数 f（x），满足 f（2）f（1），能否判断函数f（x）在 R 是增函数？（2）定义在R 上函数 f（x）在区间（，0上是增函数，在区间（0，）上也是增函数，判断函数f（s）在 R 上是否为增函数（3）观察问题情境1 中气温变化图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数强调：定义中x1，x2是区间 D 上的任意两个自变量；函数的单调性是相对于某一区间而言的三、解释应用例题1. 证明函数f（x）2
8、x1，在（ ，）是增函数注：要规范解题格式2. 证明函数f（x），在区间（ ，0）和（ 0， ）上都是减函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 思考：能否说，函数f（x）在定义域（ ，0）（ 0， ）上是减函数？3. 设函数 yf（x）在区间 D 上保号（恒正或恒负），且f（x）在区间D 上为增函数，求证： f（x）在区间 D 上为减函数证明：设 x1，x2，且 x1x2，f（x）在区间 D 上保号， f（x1）f（
9、x2）0又 f（ x）在区间 D 上为增函数，f（x1） f（x2） 0，从而 g（x1） g（x2）0， g（x）在 D 上为减函数练习1. 证明：（ 1）函数 f（x）在（ 0， ）上是增函数（2）函数 f（x）x2x 在（ ，上是减函数2. 判断函数的单调性，并写出相应的单调区间3. 如果函数 yf（x）是 R 上的增函数，判断g（x） kf（x），（ k0 ）在 R 上的单调性四、拓展延伸1. 根据图像，简要说明近150 年来人类消耗能源的结构变化情况，并对未来100 年能源结构的变化趋势作出预测名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -
10、- - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 2. 判断二次函数f（x） ax2bxc，（ a0 ）的单调性，并用定义加以证明3. 如果自变量的改变量x x2x10，函数值的改变量y f（x2） f（x1）0，那么函数f（x）在区间 D 上是增函数还是减函数？4. 函数值的改变量与自变量的改变量的比叫作函数f（x）在 x1，x2之间的平均变化率（1）根据函数的平均变化率判断 yf（x）在区间 D 上是增函数还是减函数（2）比值的大小与函数值增长的快慢有什么关系？点评这篇案例设计完整，思路清晰案例首先通过实例阐述了函
11、数单调性产生的背景，归纳、抽象概括出了增函数、减函数的定义，充分体现了数学教学的本质是数学思维过程的教学，符合新课程标准的精神例题与练习由浅入深，完整，全面“ 拓展延伸 ” 的设计有新意，有深度，为学生数学思维能力、创造能力的培养提供了平台这篇案例的突出特点，体现在如下几个方面：1. 强调对基本概念和基本思想的理解和掌握由于数学高度抽象的特点，注重体现基本概念的来龙去脉在数学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质2. 注重联系，提高对数学整体的认识数学的发展既有内在的动力，也有外在的动力在高中数学的教学中，要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与
12、日常生活的联系，数学与其他学科的联系例名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 如，通过研讨本节课“ 拓展延伸 ” 中的第 1 个问题，可以大大提高了学生学习的积极性和主动性3. 注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力在数学教学中，应注重发展学生的应用意识；通过丰富的实例引入数学知识，引导学生应用数学知识解决实际问题，经历探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值，帮助学生认识到：数学与我有关，与实际生活有关；数学是有用的，我要用数学，我能用数学名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -