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1、8 函数的单调性教材分析函数的单调性是函数的重要特性之一，它把自变量的变化方向和函数值的变化方向定性地联系在一起在初中学习函数时，借助图像的直观性研究了一些函数的增减性这节内容是初中有关内容的深化、延伸和提高这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某个区间来说的教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想的体系这节内容的重点是理解函数单调性的概念以及利用函数的单调性的概念证明函数的单调性，难点是理解函
2、数单调性的概念教学目标1. 通过过对增函函数、减减函数概概念的归归纳、抽抽象和概概括，体体验数学学概念的的产生和和形成过过程，培培养学生生从特殊殊到一般般的抽象象概括能能力2. 掌握握增函数数、减函函数等函函数单调调性的概概念，理理解函数数增减性性的几何何意义，并并能初步步运用所所学知识识判断或或证明一一些简单单函数的的单调性性，培养养学生对对数学的的理解能能力和逻逻辑推理理能力3. 通过过对函数数单调性性的学习习，初步步体会知知识发生生、发展展、运用用的过程程，培养养学生形形成科学学的思维维任务分析这节内容学学生在初初中已有有了较为为粗略的的认识，即即主要根根据观察察图像得得出结论论这节节函
3、数增增减性的的定义，是是运用数数学符号号将自然然语言的的描述提提升到形形式化的的定义，学学生接受受起来可可能比较较困难在引入入定义时时，要始始终结合合具体函函数的图图像来进进行，以以增强直直观性，采采用由具具体到抽抽象，再再由抽象象到具体体的思维维方法，便便于学生生理解对于定定义，要要注意对对区间上上所取两两点x11，x2的“任任意性”的的理解，多多给学生生操作与与思考的的时间和和空间教学设计一、问题情情境1. 如图图为某市市一天内内的气温温变化图图：（1）观察察这个气气温变化化图，说说出气温温在这一一天内的的变化情情况（2）怎样样用数学学语言刻刻画在这这一天内内“随着着时间的的增大，气气温逐
4、渐渐升高或或下降”这这一特征征？2. 分别别作出下下列函数数的图像像：（1）y2x（2）yyxx2（3）yyx22根据三个函函数图像像，分别别指出当当x（，）时，图图像的变变化趋势势？二、建立模模型1. 首先先引导学学生对问问题2进进行探讨讨观察分分析观察函数yy2xx，yx2，yyx22图像，可可以发现现：y2x在在（，）上、yyx22在（，）上的的图像由由左向右右都是上上升的；yx22在（，）上上、yx2在（，）上的的图像由由左向右右都是下下降的函数图图像的“上上升”或或“下降降”反映映了函数数的一个个基本性性质单调调性那那么，如如何描述述函数图图像“上上升”或或“下降降”这个个图像特特征
5、呢？以函数yx2，x（，）为为例，图图像由左左向右下下降，意意味着“随随着x的的增大，相相应的函函数值yyf（xx）反而而减小”，如如何量化化呢？取取自变量量的两个个不同的的值，如如x155，x223，这这时有xx1x2，f（xx1）ff（x22），但但是这种种量化并并不精确确因此此，x11，x2应具有有“任意意性”所以，在在区间（，00）上，任任取两个个x1，x2得到ff（x11），ff（x22）当当x1x2时，都都有f（xx1）ff（x22）这这时，我我们就说说f（xx）xx2在区间间（，0）上上是减函函数注意：在这这里，要要提示学学生如何何由直观观图像的的变化规规律，转转化为数数学语言言
6、，即自自变量变化时时对函数数值y的的影响必要时时，对xx，y可可举出具具体数值值，进行行引导、归归纳和总总结这这里的“都都有”是是对应于于“任意意”的2. 在学学生讨论论归纳函函数单调调性定义义的基础础上，教教师明晰晰抽象概概括设函数f（xx）的定定义域为为I：如果对于定定义域II内某个个区间DD上的任任意两个个自变量量的值xx1，x2，当xx1x2时，都都有f（xx1）ff（x22），那那么我们们就说函函数f（xx）在区区间上上是增函函数如如图8-2（11）如果对于定定义域II内某个个区间DD上的任任意两个个自变量量的值xx1，x2，当xx1x2时，都都有f（xx1）ff（x22），那那么我
7、们们就说函函数f（xx）在区区间上上是减函函数如如图8-2（22）如果函数yyf（xx）在区区间D上上是增函函数或减减函数，那那么我们们就说函函数yf（xx）在这这一区间间具有（严严格的）单单调性，区区间D叫叫作yf（xx）的单单调区间间3. 提出出问题，组组织学生生讨论（1）定义义在R上上的函数数f（xx），满满足f（22）ff（1），能能否判断断函数ff（x）在在R是增增函数？（2）定义义在R上上函数ff（x）在在区间（，00上是是增函数数，在区区间（00，）上也也是增函函数，判判断函数数f（ss）在RR上是否否为增函函数（3）观察察问题情情境1中中气温变变化图像像，根据据图像说说出函数数
8、的单调调区间，以以及在每每一单调调区间上上，它是是增函数数还是减减函数强调：定义义中x11，x2是区间间D上的的任意两两个自变变量；函函数的单单调性是是相对于于某一区区间而言言的三、解释应应用例题1. 证明明函数ff（x）2x1，在在（，）是增增函数注：要规范范解题格格式2. 证明明函数ff（x），在区区间（，00）和（00，）上都都是减函函数思考：能否否说，函函数f（xx）在在定义域域（，0）（0，）上是减函数？3. 设函函数yf（xx）在区区间D上上保号（恒恒正或恒恒负），且且f（xx）在区区间D上上为增函函数，求求证：ff（x）在区间间D上为为减函数数证明：设xx1，x2，且且x1x2，
9、f（x）在在区间DD上保号号，f（x1）f（xx2）00又f（x）在在区间DD上为增增函数，f（x1）f（x2）0，从而g（x1）g（x2）0，g（x）在D上为减函数练习1. 证明明：（11）函数数f（xx）在在（0，）上上是增函函数（2）函数数f（xx）xx2x在在（，上上是减函函数2. 判断断函数的的单调性性，并写写出相应应的单调调区间3. 如果果函数yyf（xx）是RR上的增增函数，判判断g（xx）kkf（xx），（kk0）在在R上的的单调性性四、拓展延延伸1. 根据据图像，简简要说明明近1550年来来人类消消耗能源源的结构构变化情情况，并并对未来来1000年能源源结构的的变化趋趋势作出
10、出预测2. 判断断二次函函数f（xx）aax2bxxc，（aa0）的的单调性性，并用用定义加加以证明明3. 如果果自变量量的改变变量xxx22x10，函函数值的的改变量量yf（xx2）ff（x11）00，那么么函数ff（x）在在区间DD上是增增函数还还是减函函数？4. 函数数值的改改变量与与自变量量的改变变量的比比叫作函函数f（xx）在xx1，x2之间的的平均变变化率（1）根据据函数的的平均变变化率判判断yf（xx）在区区间D上上是增函函数还是是减函数数（2）比值值的大小小与函数数值增长长的快慢慢有什么么关系？点评这篇案例设设计完整整，思路路清晰案例首首先通过过实例阐阐述了函函数单调调性产生生
11、的背景景，归纳纳、抽象象概括出出了增函函数、减减函数的的定义，充充分体现现了数学学教学的的本质是是数学思思维过程程的教学学，符合合新课程程标准的的精神例题与与练习由由浅入深深，完整整，全面面“拓拓展延伸伸”的设设计有新新意，有有深度，为为学生数数学思维维能力、创创造能力力的培养养提供了了平台这篇案例的的突出特特点，体体现在如如下几个个方面：1. 强调调对基本本概念和和基本思思想的理理解和掌掌握由于数学高高度抽象象的特点点，注重重体现基基本概念念的来龙龙去脉在数学学中要引引导学生生经历从从具体实实例抽象象出数学学概念的的过程，在在初步运运用中逐逐步理解解概念的的本质2. 注重重联系，提提高对数数
12、学整体体的认识识数学的发展展既有内内在的动动力，也也有外在在的动力力在高高中数学学的教学学中，要要注重数数学的不不同分支支和不同同内容之之间的联联系，数数学与日日常生活活的联系系，数学学与其他他学科的的联系例如，通通过研讨讨本节课课“拓展展延伸”中中的第11个问题题，可以以大大提提高了学学生学习习的积极极性和主主动性3. 注重重数学知知识与实实际的联联系，发发展学生生的应用用意识和和能力在数学教学学中，应应注重发发展学生生的应用用意识；通过丰丰富的实实例引入入数学知知识，引引导学生生应用数数学知识识解决实实际问题题，经历历探索、解解决问题题的过程程，体会会数学的的应用价价值，帮帮助学生生认识到到：数学学与我有有关，与与实际生生活有关关；数学学是有用用的，我我要用数数学，我我能用数数学