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1、8 函数的单调性教材分析函数的单调调性是函数数的重要特特性之一，它它把自变量量的变化方方向和函数数值的变化化方向定性性地联系在在一起在在初中学习习函数时，借借助图像的的直观性研研究了一些些函数的增增减性这这节内容是是初中有关关内容的深深化、延伸伸和提高这节通过过对具体函函数图像的的归纳和抽抽象，概括括出函数在在某个区间间上是增函函数或减函函数的准确确含义，明明确指出函函数的增减减性是相对对于某个区区间来说的的教材中中判断函数数的增减性性，既有从从图像上进进行观察的的直观方法法，又有根根据其定义义进行逻辑辑推理的严严格方法，最最后将两种种方法统一一起来，形形成根据观观察图像得得出猜想结结论，进而
2、而用推理证证明猜想的的体系这这节内容的的重点是理理解函数单单调性的概概念以及利利用函数的的单调性的的概念证明明函数的单单调性，难难点是理解解函数单调调性的概念念教学目标1. 通过过对增函数数、减函数数概念的归归纳、抽象象和概括，体体验数学概概念的产生生和形成过过程，培养养学生从特特殊到一般般的抽象概概括能力2. 掌握握增函数、减减函数等函函数单调性性的概念，理理解函数增增减性的几几何意义，并并能初步运运用所学知知识判断或或证明一些些简单函数数的单调性性，培养学学生对数学学的理解能能力和逻辑辑推理能力力3. 通过过对函数单单调性的学学习，初步步体会知识识发生、发发展、运用用的过程，培培养学生形形
3、成科学的的思维任务分析这节内容学学生在初中中已有了较较为粗略的的认识，即即主要根据据观察图像像得出结论论这节函函数增减性性的定义，是是运用数学学符号将自自然语言的的描述提升升到形式化化的定义，学学生接受起起来可能比比较困难在引入定定义时，要要始终结合合具体函数数的图像来来进行，以以增强直观观性，采用用由具体到到抽象，再再由抽象到到具体的思思维方法，便便于学生理理解对于于定义，要要注意对区区间上所取取两点x11，x2的“任意意性”的理理解，多给给学生操作作与思考的的时间和空空间教学设计一、问题情情境1. 如图图为某市一一天内的气气温变化图图：（1）观察察这个气温温变化图，说说出气温在在这一天内内
4、的变化情情况（2）怎样样用数学语语言刻画在在这一天内内“随着时时间的增大大，气温逐逐渐升高或或下降”这这一特征？2. 分别别作出下列列函数的图图像：（1）y2x（22）yx2（33）yxx2根据三个函函数图像，分分别指出当当x（，）时，图图像的变化化趋势？二、建立模模型1. 首先先引导学生生对问题22进行探讨讨观观察分析观察函数yy2x，yyx2，yx2图像，可可以发现：y2xx在（，）上上、yxx2在（，）上的的图像由左左向右都是是上升的；yxx2在（，）上、yyx2在（，）上上的图像由由左向右都都是下降的的函数图图像的“上上升”或“下下降”反映映了函数的的一个基本本性质单调性性那么，如如何
5、描述函函数图像“上上升”或“下下降”这个个图像特征征呢？以函数yx2，x（，）为例，图图像由左向向右下降，意意味着“随随着x的增增大，相应应的函数值值yf（xx）反而减减小”，如如何量化呢呢？取自变变量的两个个不同的值值，如x115，xx23，这这时有x11x2，f（xx1）f（xx2），但是是这种量化化并不精确确因此，xx1，x2应具有“任任意性”所以，在在区间（，0）上上，任取两两个x1，x2得到f（xx1），f（xx2）当xx1x2时，都有有f（x11）f（xx2）这时时，我们就就说f（xx）x22在区间（，0）上上是减函数数注意：在这这里，要提提示学生如如何由直观观图像的变变化规律，转
6、转化为数学学语言，即即自变量变化时对对函数值yy的影响必要时，对对x，y可可举出具体体数值，进进行引导、归归纳和总结结这里的的“都有”是是对应于“任任意”的2. 在学学生讨论归归纳函数单单调性定义义的基础上上，教师明明晰抽象概括括设函数f（xx）的定义义域为I：如果对于定定义域I内内某个区间间D上的任任意两个自自变量的值值x1，x2，当x1x2时，都有有f（x11）f（xx2），那么么我们就说说函数f（xx）在区间间上是增增函数如如图8-22（1）如果对于定定义域I内内某个区间间D上的任任意两个自自变量的值值x1，x2，当x1x2时，都有有f（x11）f（xx2），那么么我们就说说函数f（xx
7、）在区间间上是减减函数如如图8-22（2）如果函数yyf（xx）在区间间D上是增增函数或减减函数，那那么我们就就说函数yyf（xx）在这一一区间具有有（严格的的）单调性性，区间DD叫作yf（x）的的单调区间间3. 提出出问题，组组织学生讨讨论（1）定义义在R上的的函数f（xx），满足足f（2）f（1），能能否判断函函数f（xx）在R是是增函数？（2）定义义在R上函函数f（xx）在区间间（，00上是增增函数，在在区间（00，）上上也是增函函数，判断断函数f（ss）在R上上是否为增增函数（3）观察察问题情境境1中气温温变化图像像，根据图图像说出函函数的单调调区间，以以及在每一一单调区间间上，它是是
8、增函数还还是减函数数强调：定义义中x1，x2是区间DD上的任意意两个自变变量；函数数的单调性性是相对于于某一区间间而言的三、解释应应用例题1. 证明明函数f（xx）2xx1，在在（，）是增增函数注：要规范范解题格式式2. 证明明函数f（xx），在在区间（，0）和和（0，）上都都是减函数数思考：能否否说，函数数f（x）在定义域域（，00）（0，）上是是减函数？3. 设函函数yff（x）在在区间D上上保号（恒恒正或恒负负），且ff（x）在在区间D上上为增函数数，求证：f（x）在区间DD上为减函函数证明：设xx1，x2，且xx1x2，f（x）在在区间D上上保号，f（x1）f（xx2）0又f（x）在在
9、区间D上上为增函数数，f（x1）f（xx2）0，从从而g（xx1）g（xx2）0，g（x）在在D上为减减函数练习1. 证明明：（1）函函数f（xx）在（00，）上上是增函数数（2）函数数f（x）x2x在（，上上是减函数数2. 判断断函数的单单调性，并并写出相应应的单调区区间3. 如果果函数yf（x）是是R上的增增函数，判判断g（xx）kff（x），（kk0）在在R上的单单调性四、拓展延延伸1. 根据据图像，简简要说明近近150年年来人类消消耗能源的的结构变化化情况，并并对未来1100年能能源结构的的变化趋势势作出预测测2. 判断断二次函数数f（x）ax2bxc，（aa0）的的单调性，并并用定义
10、加加以证明3. 如果果自变量的的改变量xx22x10，函函数值的改改变量yyf（xx2）f（xx1）0，那那么函数ff（x）在在区间D上上是增函数数还是减函函数？4. 函数数值的改变变量与自变变量的改变变量的比叫叫作函数ff（x）在在x1，x2之间的平平均变化率率（1）根据据函数的平平均变化率率判断yf（x）在在区间D上上是增函数数还是减函函数（2）比值值的大小与与函数值增增长的快慢慢有什么关关系？点评这篇案例设设计完整，思思路清晰案例首先先通过实例例阐述了函函数单调性性产生的背背景，归纳纳、抽象概概括出了增增函数、减减函数的定定义，充分分体现了数数学教学的的本质是数数学思维过过程的教学学，符
11、合新新课程标准准的精神例题与练练习由浅入入深，完整整，全面“拓展延延伸”的设设计有新意意，有深度度，为学生生数学思维维能力、创创造能力的的培养提供供了平台这篇案例的的突出特点点，体现在在如下几个个方面：1. 强调调对基本概概念和基本本思想的理理解和掌握握由于数学高高度抽象的的特点，注注重体现基基本概念的的来龙去脉脉在数学学中要引导导学生经历历从具体实实例抽象出出数学概念念的过程，在在初步运用用中逐步理理解概念的的本质2. 注重重联系，提提高对数学学整体的认认识数学的发展展既有内在在的动力，也也有外在的的动力在在高中数学学的教学中中，要注重重数学的不不同分支和和不同内容容之间的联联系，数学学与日常生生活的联系系，数学与与其他学科科的联系例如，通通过研讨本本节课“拓拓展延伸”中中的第1个个问题，可可以大大提提高了学生生学习的积积极性和主主动性3. 注重重数学知识识与实际的的联系，发发展学生的的应用意识识和能力在数学教学学中，应注注重发展学学生的应用用意识；通通过丰富的的实例引入入数学知识识，引导学学生应用数数学知识解解决实际问问题，经历历探索、解解决问题的的过程，体体会数学的的应用价值值，帮助学学生认识到到：数学与与我有关，与与实际生活活有关；数数学是有用用的，我要要用数学，我我能用数学学