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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章 数 列 2.1 数列的概念与简洁的表示法就最终的通项公式可以统一写成一个形式,否就就只能写成分段的形式； 2.2等差数列及其前n 项和一、学问要点梳理学问点一：数列的概念按肯定次序排列的一列数,如1,1,一、学问要点梳理学问点一等差数列的概念2,3,5, , an, ,可简记为an ；留意 ：数列可以看作是定义在N *或其子集（1）定义：假如一个数列从其次项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数d ,1 ,2,3, , n 上的函数,与以前常见函数的不同主要在于：这个数列叫做等差数列,常数d 称为等差数列的公差. 1 定义域是离散的因而
2、其图象也是离散的单点集；2 有序； 学问点二：（2）等差中项： 假如a,A ,b成等差数列, 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 . 即： A 是 a数列的表示 1 列举法：如 -2 ,-5 ,-8 ,与 b 的等差中项2Aaba , A , b 成等差数列 . 学问点二等差数列的通项公式2 图象法：由点组成的图象；是离散的点集；3 解析式法：类似于函通项公式：ana1n1 damnm d,a 为首项, d 为公差 . 数的解析法, 数列的解析法就是给出了数列的通项公式 an=fn ,nN *；4 递推：利用数列的第n 项与它前面如干项的关系及初始值确定；如an=an-1+an-2 n学问
3、点三等差数列的前n 项和公式 ：S nn a 12anna 1nn1 d=an2bn（常数项为0 的二次式）3 ,且 a1=1, a2=1. 留意： 并不是每个数列都能写出它的数列通项公式；数列的通项假如存在,也不 肯定唯独；数列的列举法与集合的列举法不一样,主要就是有序与无序的差别；2利用递推关系表示数列时,需要有相应个数的初始值；学问点三：数列的分类知 识 点 四等 差 数 列 的 常 用 性 质 （ 1 ） 如mnpq, 那 么（1）按项数：有限数列和无限数列；（2）按单调性：常数列、摇摆数列、单amanapa q调数列 递增数列、递减数列 ；递增数列 : 对于任何nN, 均有a n1a
4、n. 特殊地,如mn2p,就a ma n2ap. 递减数列 : 对于任何nN, 均有an1an. （2）anamnm d；ananb a , b 是常数 ；Snan2bn a , b 是摇摆数列 : 例如 :,1,11 ,1,1.常数数列 : 例如 :6,6,6,6, . 常数,a0 学问点四：数列的通项公式与前项和公式任意数列3 如an等差数列 , 就S k,S2kS k,S 3 kS2k仍成等差的前 n 项和,于是,所（4）等差数列中,求使前n 项和最大 小的项数的方法：以有：递减数列 ,求S 最大, 令an0,求正数项； 递增数列 ,求S 最小, 令an0,求负数项 . 当然,解决此类型
5、题目仍可以利用二次函数的性质,但解一次不等式的方留意： 由前 n 项和求数列通项时,要分三步进行：（ 1）求；（2）法仍是最快的方法. 求出当 n2 时的；学问点五等差数列的判定方法定义法：a n 1a nd（nN, d 是常数）an是等差数列；（ 3）假如令 n2 时得出的中的 n=1 时有成立,中项法：2 an1anan2nNan是等差数列 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2.3 等比数列及前 n 项和（2）、当 mn=pq（m、n、q、pN* ）时,有 am a n=ap a q. 特殊地,如2pmn,
6、一、学问要点梳理就a ma nap21、等比数列的定义：假如一个数列从第2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母 q 表示（3） 等比数列an：S k,S 2kS k,S 3 kS2k仍成等比数列（q留意 : （1）q 是指从第 2 项起每一项与前一项的比,次序不要错；1 或 k 为奇数）（ 2）由定义可知,等比数列的任意6、等比数列的前n 项和公式第 2 页,共 11 页一项都不为0,因而公比q 也不为 0. na 1q1（3）公比 q 可为正数、负数,特殊当q=1 时,为常数列a1,a1, ； q=1 时,S na
7、1 1qna 1-anqq1数列为 a1, a1,a 1, a1, .1q1q2、等比数列的通项公式：ana 1qn1n a mqm 2.4 数列的通项公式及求和 3 、等比中项： 假如在 a 与 b 中间插入一个数G,使 a,G,b 成等比数列,那么G一数列通项公式的求法叫做 a 与 b 的等比中项即G 2= a b 4 、等比数列的判定方法（一）、观看法（1）、 an=an 1 q（n2）, q 是不为零的常数,an1 0a n 是等比数列 .数列从定义角度看,是按肯定次序排列的一列数,因而它不是杂乱无章的,它是有规律可循的；所以,我们可以依据数列的前几项,观看每一项与项数的关系,（2）、
8、an 2=an1 a n1（n2, an 1,a n,a n1 0）a n 是等比数列 .从而写出数列的同项公式；例：依据数列前四项,写出它的一个通项公式（3）、an=c qn（c, q 均是不为零的常数）a n是等比数列 .11,-2,34,-4 27,77,777,7777, （4）、 如某数列前n 项和公式为Sn=a n1a 0, 1 ,就 a n 成等比数列 . 235311,4,9,16, 42 1,31,22,5, 5、等比数列的性质 : 设 an 为等比数列,首项为a1,公比为 q. 251017（1）an=a1 qnm（m、nN*） . 解： 1an1 n1nn1 2 an7
9、10n1 名师归纳总结 9- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3 annnn21 4 ann21a 与 q,可直 点拨：用配凑法,配凑常数“” ,使an1cancd1构成2等比数列,从而ana 1n c1,从而求出a ；关键： 把握第 n 项与a 的关系,把每一项用项数表示；解：an1c an,就an12an3 1（二）、公式法（也称待定系数法）32如数列为特殊数列如是等差数列或等比数列,只需求出a 与 d 或令31,得-3a n132,a n3为等比数列,2a n33接写出通项公式；例：已知等差数列a n中,a35,a 79,求通项公式an3a13 2
10、n1,从而an322n133已知等比数列b n中,b 59,S 33 9,求通项公式关键 ：通过变换地推关系,将非等差或等比数列转化为与等差等比数列有关的数列,从而求得通项公式的方法是由递推公式求通项公式的常用方法；常用转化解：设ana 1n1 d,从而可解；过程有： 配凑、消项变换、倒数变换、取对数变换、换元变换等；练习： 1. 已知数列a n中,a 11,an11ann,求a n可设b nb 1qn1,S nb 1 1qnq1 q=1舍去 2 a1q 2. 已知数列an中,a12,a n14an6,求a ；关键 ：设出通项公式,解方程即得5（三）、构造法 原数列不是等差或等比数列,但对已知
11、的等式进行适当变形,可得新数列为等 差或等比数列,从而求出通项公式；名师归纳总结 例 1、数列an中,a 12,a n2 an12 n2 ,求a n1（四）、叠加法2,a n 1ann,求a na n1例：已知求a 1点拨,可用倒数变换,将其转化为等差或等比数列；解：取倒数得：1a111,令bn1,就bnbn1解：当n1 ,2 ,3,n1时,可得 n-1 个等式；a2a 11 ,a3a 22 ,a4a 33 ,anan1n1共有 n-1 个等式, 将an2an2nbn1n1 1,bnn即an2123 n1 ,an2nn1b 122n其相加,得ana 12例 2、已知数列an,a11,an12a
12、n1,求an关键 ：对形如a n 1a nfn 的递推公式求通项公式,只要fn可求和,3第 3 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 便可利用累加的方法；a 12,an1a n3 n,求数列的通项公式；例 1数列an的前 n 项和S n12 an,求通项公式；练习：已知数列an中,（五）、叠乘法分 析 ： 由 已 知 条 件S n12an, 可 知S n与a n的 关 系 , 可 借 助 于a n1S n1S n,可将条件转化为关于S n的递推公式, 进而求出数列的通项公式；an1,求an解：S 1a 112 a 1,a 11,例：已知a
13、1n 2,1anS n12 a n,S n112 an1an1211,当n1 ,2,3,n1时,可得n-1 个解：2n1a nan1,得a nnS n1S n2 an1an即an12 an1an等式：a 21,a 31,a 41,an1211,左边相乘,右边相乘an12a n n1 ,a na 12n1 n1 ,a 12a 222a 323annan2n1 n2 ；又 n=1 时适合上式,就an2n1 nNan11111a1222232n12nn1 关键 ：如a 和S 在一个等式中, 一般可利用a 与S 关系,构造关于an或S n2an1nn1gn 的递推公式,只要gn 可求积,便可利用累的递
14、推公式,再进一步确定a 或S ；22练习：已知数列a n中,an0 ,a 11,且2S na n1,求a n关键 ：对于形如an1a n乘的方法；练习：已知数列an中,a 15,a nan15n,求a n二、数列的求和方法（六）、含a 与S 类型名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - （一）、 公式法： 利用以下常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. n164n125011、 等差数列求和公式：S nn a 12anna 1nn1 d348502nn2、等比数列求和公式：S nna 1qna 1anqqq11a
15、 1 1 当n8,即 n8 时,fnmax11q1q8503、S nkn1k1nn1 4 、S nn1k21n n1 2n1 （二）、错位相减法求和2k6这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于5、S nkn1k31n n1 2求数列 anbn的前 n 项和,其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列. 例 3 求和：S n13 x5x27x32 n1 xn1；2 例 1 已知log3xlog13,求xx2x3xn的前 n 项和 . 解：由题可知, 2n1xn1 的通项是等差数列2n 1 的通项与等比数列2解：由log3xlog13log3xlog32x1xn
16、1 的通项之积；22S n13x5 x273 x2n1 xn1 由等比数列求和公式得S nxx2x3xn（利用常用公式）xS n1 x3x25x37 x42 n1xn x1xn1 1111得1x S n12x2x22 x32x42xn12 n1 xn（错位22 1n1x12n相减）2再利用等比数列的求和公式得：1xS n12x11xn12n1 xn 例 2 设 Sn1+2+3+ +n, nN *, 求fn nS nS n1的最大值 . x32解：由等差数列求和公式得Sn1nn1 ,Sn11n1 n2（利用常用S n 2 n1 xn1 2n1 n x 1x22 1x 2公式） 例 4求数列2,4
17、,6,2n,前 n 项的和 . fnnS nS n1n2n64222232n3234n名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：由题可知,2n 的通项是等差数列2n 的通项与等比数列1 的通项之积 n 2得S n2 n10 C n2 n1 C13 Cn1n C n 2nnn设S n2462n +得2 S n2 n2 C01 C nCn1Cn2 n12n222232nnnn（反序相加） S n n12n1Sn2462n （设制错位）22223242n1sin288sin289的值 例 6求sin21sin22sin231
18、1Sn222222 n解：设Ssin21sin22sin23sin288sin289 . 222223242n2n1将式右边反序得22112nn2n1Ssin289sin288sin23sin22sin21 （反序）S n4nn2+4n -3xn-121又由于sinxcos 90x ,sin2xcos 2x1练习：求： Sn=1+5x+9x2+ +得 （反序相加）2 Ssin21cos 21sin22cos 22sin289cos 28989 S 44.5 （三）、反序相加法求和练习：已知lgxy=a,求 S,其中Slgn xlgn x1ylgxn22 ylgyn第 6 页,共 11 页解:
19、将和式 S 中各项反序排列,得这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列slgynlgxn1y lgn x2y2lgxn（反序）,再把它与原数列相加,就可以得到n 个a 1a n. 将此和式与原和式两边对应相加,得 2S=lgxyn+lg xyn+ +lgxyn 例 5 求证：C03 C15 C2 2n1n C n n12nnnn n+1项证明：设S n0 C n3 C12 5 C n 2n1Cn . =nn+1lgxy lgxy=a 1 S= 2nn+1a nn把式右边倒转过来得（四）、分组法求和S n2 n1 Cn2 n1 Cn11 3 C nC0（反序）nnn
20、有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,如将这类数列适当拆开,可又由Cmn C nm可得分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. n名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 7 求数列的前n 项和：1,11,417,a113 n2,解：S1 121 241 38 n1aa2nn 2解：设S n 11 1 a4 17a113n2 123n 1 2111a2n2 23 2n 21n n111将其每一项拆开再重新组合得S n111a11 1473 n2（分组）2n 2aa2n 五 、裂项法求和当 a1 时,Snn3n21n
21、3 n21n（分组求和）这是分解与组合思想在数列求和中的详细应用. 裂项法的实质是将数列中的每当a1时,S n113 n21naaa1n3n21 n项（通项）分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项a n111分解 （裂项） 如：a（1）anf n1fn （2）cos nsin 11tan n1tann 例 8 求数列 nn+12n+1的前 n 项和 . cos n解：设akkk1 2 k1 2 k33 k2k（3）a nn111n11S nnkk1 2k1 n2 k33 k2k将其每一项拆开再重新组合得nnk1k1（4）an2 n 2 n2 1 111121 12nk
22、33nk2nk（分组）1 2 n22 nnk1k1k1（5）annn1n2 1n 11 n1232 123n323 12 22 n 12n1 2n1 nn2n1 2n n1 2n1 n n1 （分组求和） 6 annn212 n11n1n1n1 n12n, n1 2nn nn 221222就S n1n12nnn1 2 n212 例 9 求数列112,213,n1n1,的前 n 项和 . 练习：求数列11,213,1,n1,的前 n 项和；2482n名师归纳总结 - - - - - - -解：设ann1n1n1n（裂项）第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - S
23、n112213n1n1（裂项求和）1tan89tan01cot1cos 1原等式成立sin1sin1sin2121 32 n1n练习：求 1 3 , 1 1 5, 1 3 5, 1 63之和；n11解：11111133155177193153563 例 10在数列 a n 中,ann11n21nn1,又b nan2n1,求数列1 11 31111111112235257279a1 1111111123355779bn 的前 n 项的和 . 1 114解：ann11n21nn1n2992 六 、合并法求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在bnn2181n1 1
24、（裂项）nn22求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求Sn. 数列 b n的前 n 项和Sn8 1111111n11（裂项求和） 例 12求 cos1 + cos2 + cos3 + + cos178 + cos179 的值 . 解：设 Sn cos1 + cos2 + cos3 + + cos178 + cos179 22334n81n1 18ncos ncos 180n（找特殊性质项）n1 例 11求证：cos01cos112cos88189cos1Sn（ cos1 + cos179 ） +（ cos2 + cos178 ） +（ cos3 + cos177 ） + +（cos8
25、9 + cos91 ） + cos90 （合并求和） 0 cos 1coscossin21解：设Scos011cos 112cos88189 例 13数列 an ：a 1,1a23 ,a 3,2a n2a n1an,求 S2002. coscoscoscos nsin 11tan n1tann解：设 S2002a 1a 2a3a2002cos n由a 1,1a23 ,a 3,2an2an1an可得Scos011cos 112cos88189coscoscosa4,1a 5,3a 6,21tan1tan0tan2tan1tan3tan2tan89tan88a 7,1a 8,3a 92 ,a 10
26、,1a 11,3a 12,2sin1名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - a 1 2 七 、利用数列的通项求和a 6k1,1a6k2,3a6k3,2a 6k4,1a6k5,3a 6k6先依据数列的结构及特点进行分析,找出数列的通项及其特点,然后再利用数a 6k1a 6k2a6k3a 6k4a 6k5a 6k60（找特殊性质项）列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和,是一个重要的方法. 例 15求1111111111之和 . S2002 a 1a 2a3a2002（合并求和）n个1解：由于111111999191 10k
27、1 （找通项及特点）a2a 3a6 a7a 8a 12a 6k1a6k2a 6k699k 个k 个a 1993a 1994a 1998a 1999a2000a 2001a20021111111111n 个1a 1999a 2000a2001a 20021 1011 1 1021 1 1031 1 10n1（分组求和）例a 6k1a6k2a6k3a 6k4如999911 101023 1010n1 1111 5 99n个 114在各项均为正数的等比数列中,110 10n11 na 5a 6,9求log3a 1log3a2log3a 10的值 . 91091 10n1109n 解：设Snlog3a 1log3a2log3a 1081