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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1. 集合的 含义2. 集合的中 元素的三个特性：1 元素的确定性2 元素的互异性3 元素的无序性3. 集合的表示： 集合的表示方法：列举法与描述法；1） 列举法： a,b,c 2） 描述法： x R| x-32 ,x| x-32 3） 语言描述法： 不是直角三角形的三角形 4） Venn 图: 留意：常用数集及其记法：非负整数集即自然数集 N 正整数集 N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 4、集合的分类：1 有限集 含有有限个元素的集合2 无限集 含有无限个元素的集合3 空集 不含任何元
2、素的集合二、集合间的基本关系1. “ 包含” 关系 ：子集A B 留意：有两种可能1A是 B 的一部分； 2A 与 B 是同一集合；反之 : 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B不包含集合 A, 记作 A B 或 B A 真子集 : A B, 且 A B 那就说集合 A是集合 B的真子集,记作 A BB A 2“ 相等” 关系：A=B 3. 空集 ,记为 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集；i. 任何一个集合是它本身的子集；A A ii. 假如 A B, B C , 那么 A C iii. 假如 A B 同时 B A 那么 A=B 有 n 个元素的集合,含有 2 n个子集, 2
3、 n-1 个真子集三、 集合的运算运算交集并集补集类型定由全部属于A 且属由全部属于集合A 或U是一个集合, A 是 U的一个子集,义由 U 中全部不属于A 的元素组成于 B 的元素所组成属于集合B 的元素所的集合,叫做U 中子集 A 的补集的集合 , 叫做 A,B 的组成的集合, 叫做 A,B1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 交集 记作AB,的并集 记作： AB,或余集即 AB= x|xA,即 AB =x|xA,或记作CUA,即且 xA 且 xBxB CUA= x |xS ,韦恩AABAABS A B 图示图
4、1图 2CuA CuB= Cu A性A=A A=A 质A =A =A CuA CuB= CuAB AB=B A AB=B A A CuA =U ABA ABA CuA = ABB ABB 习题一：1. 以下四组对象,能构成集合的是A 某班全部高个子的同学 B 闻名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数a ,b,c 的真子集共有 个M=y|y=x2-2x+1,x R,N=x|x 0 ,就 M与 N的关系是 . 4. 设集合 A= x 1 x 2,B= x x a ,假设 A B,就 a 的取值范畴是名同学做的物理、化学两种试验,已知物理试验做得正确的有40 人,化学试验做得正确得有
5、 31 人,两种试验都做错得有4 人,就这两种试验都做对的有人；6. 用描述法表示图中阴影部分的点含边界上的点组成的集合M= . 2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m 2-19=0, 7. 已知集合 A=x| x假设 B C , AC= ,求 m的值 8. 已知 A=x| x=8m+14n,m、nZ,B=x| x=2k,k Z,问：1数 2 与集合 A 的关系如何 . 2集合 A与集合 B的关系如何 . 9.已知全集 U=1,2,4,6,8,12, 集合 A=8,x,y,z, 集合 B=1,xy,yz,2x, 其中z6,12,假设 A=B, 求u A.
6、uA B=4,6,8, A uB=1,5,u A uB=x x10,xN*,x3,10.已知 AB=3, 试求uA B ,A,B2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 下面四个命题：1集合 N中最小的数是1； 2假设 - aZ,就 aZ；3全部的正实数组成集合 R +； 4由很小的数可组成集合 A；其中正确的命题有个A1 B2 C3 D4 2下面四个命题： 1零属于空集；2方程 x 2-3x+5=0 的解集是空集； 3方程 x 2-6x+9=0 的解集是单元集；4不等式 2 x-60 的解集是无限集；其中正确的命题
7、有个A1 B2 C 3 D 4 3以下四个命题： 0；空集没有子集；任何一个集合必有两个或两个以上的子集；空集是任何一个集合的子集其中正确的有A0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个4 平面直角坐标系内全部其次象限的点组成的集合是 A x,y 且 x 0, y 0 B x,y x 0, y 0 C. x,y x 0, y 0 D. x,y 且 x 0, y 0 5由全部偶数组成的集合可表示为 x x 26用列举法表示集合 D= , y x 8, x N y N 为7对于集合 A2 ,4, 6 ,假设 a A,就 6a A,那么 a 的值是 _8数集 0 ,1,x 2x 中的 x 不能取哪些
8、数值？3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二、函数的有关概念1函数的概念： 设 A、B 是非空 的数集 ,假如根据某个 确定的对应关系 f ,使对于集合 A中的任意一个数 x,在集合 B 中都有 唯独 确定的数 fx 和它对应,那么就称 f ：AB 为从集合 A 到集合 B的一个函数记作： y=fx,x A；x 叫做自变量, x 的取值范畴 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的取值范畴叫做函数的值域；留意：1定义域： 能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域；求函数的定义域
9、时,列出不等式组的 主要依据 是：1 分式的分母不等于零；2 偶次方根的被开方数不小于零； 3 对数式的真数必需大于零；4 指数、对数式的底必需大于零且不等于 1. 5 假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的 意义的 x 的值组成的集合 . 6 指数为零底不行以等于零,. 就它的定义域是使各部分都有7 实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义. 两点必需 同时满意 相同函数的判定方法：表达式相同；定义域一样2值域 : 先考虑其定义域1 观看法2 配方法3 代换法3. 函数图象 学问归纳1 图象 C上每一点的坐标 x ,y 均满意函数关系y=fx ,；满意 y=fx的每一组有序实数
10、对 x、y 为坐标的点 x ,y ,均在图像 C上 . 2 画法 A、 描点法：平移变换B、 图象变换法伸缩变换对称变换4区间 的概念1区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间2无穷区间3区间的数轴表示5映射设 A、B是两个非空的 集合 ,假如按某一个 确定的对应法就 f ,使对于集合 A 中的任意一个 元素 x,在集合 B 中都有 唯独确定 的元素 y 与之对应,那么就称对应 f ：A B 为从集合 A 到集合 B的一个映射；记作“f ” ,对应关系：A原象B象；对于映射 f ： AB 来说,就应满意：1 集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且 象是唯独的 ；2 集合 A 中不
11、同 的元素 ,在集合 B 中对应的象可以是同一个；3 集合 B 中的每一个元素在集合 A中不肯定都有原象；6. 分段函数1 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 各部分的自变量的取值情形3 分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是 各段值域的并集补充：复合函数假如 y=fuuM,u=gxxA, 就 y=fgx=FxxA 称为 f 、g 的复合函数；习题二：1 以下四组函数中 , 表示同一函数的是6的两根立Af x,g x x2 Bf x x,g x x2Cf x21
12、,g x x1 Df x x1x1,g x x21x12函数yf x 的图象与直线xa 交点的个数为A必有一个 B1 个或 2 个 C至多一个 D可能 2 个以上3已知函数f x x11,就函数ff 的定义域是Ax x1 Bx x2 Cx x1, 2 Dx x1, 24函数f x 11x的值域是x 1A5 4, B,5 C4, D,44335在对应法就xy yxb xR yR中, 假设25, 就2,6已知二次函数fx 同时满意条件： 1 对称轴是x=1； 2 fx的最大值为15； 3 fx方和等于 17就 fx 的解析式是7函数yx25x2的值域是28已知 fx=x2+4x+3,求 fx 在区
13、间 t,t+1上的最小值gt 和最大值 ht5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二函数的性质单调性 局部性质,常用于证明题型或运算最大 / 小值1增函数： 设函数 y=fx 的定义域为 I ,假如对于定义域 I 内的某个区间 D内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1x2 时,都有 fx1fx2,那么就说 fx 在区间 DD称为 y=fx 的单调增区间 . 减函数： 假如对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1x2 时,都有fx1 fx2,那么就说 fxD 称为 y=fx 的单调减区间 .2 图象
14、的 特点假如函数 y=fx在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=fx在这一区间上具有 严格的 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的 . 3. 函数单调区间与单调性的 判定方法A 定义法 步骤：1 任取 x1,x2D,且 x1x2；2 作差 fx1 fx2；3 变形通常是因式分解和配方；4 定号即判定差 fx1 fx2 的正负；5 下结论指出函数 fx 在给定的区间 D上的单调性B 图象法 从图象上看升降 C 复合函数的单调性对于复合函数fgx,设 u=gx ,y=fu ,就 u 与 y 的单调性原就为：“ 同增异减” ；2函数的 奇偶性整体性质1
15、偶函数 ：对于函数 fx的定义域内的任意一个x,都有 f x=fx,那么 fx就叫做偶函数,图像关于y 轴对称；x,都有 f x=fx ,那么2奇函数： 对于函数 fx的定义域内的任意一个fx就叫做奇函数,图象关于原点对称；3利用定义 判定函数奇偶性的步骤：1 第一确定函数的 定义域 ,并判定其是否 关于原点对称必要条件,假如不对称,即可判定函数是 非奇非偶函数；2 确定 f x 与 fx 的关系由 f-x fx=0 或 fx f-x= 1 来判定；3 作出相应结论：假设 f x = fx 或 f x fx = 0,就 fx 是偶函数；假设 f x = fx 或 f x fx = 0,就 fx
16、 是奇函数3. 函数的 解析表达式1求两个变量之间的函数关系时,a. 求出它们之间的 对应法就 ,b. 求出函数的 定义域 ；2求函数的解析式的 主要方法 有：1 凑配法完全平方法2 待定系数法3 换元法4 消参法4函数 最大小值1 利用二次函数的性质配方法求函数的最大小值2 利用图象求函数的最大小值6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3 利用函数单调性的判定函数的最大小值假如函数 y=fx 在区间 a ,b 上单调递增,在区间b ,c 上单调递减就函数y=fx在 x=b 处有最大值fb ；b ,c 上单调递增就函
17、数y=fx在假如函数y=fx在区间 a ,b 上单调递减,在区间x=b 处有最小值fb ；例题：1. 求以下函数的定义域：yx22x15y1 x12xx133f x 的定义域为0,1 ,就函数fx2 的定义域为 _ _ f x1的定义域为 2,3 ,就函数f2x1的定义域是3,就 x = f x x22xx1,假设f x x 122 x x25. 求以下函数的值域：yx22x3xR y2 x2x34x1,2x,0时 f x = 3yx1 2x 4yx2x5f x12 x4x,求函数f x ,f2 x1 的解析式；f x 满意 2 f 3 x4,就f x = 3x , 就当f x 是 R上的奇函数,且当x0,时,f x x 1f x 在 R上的解析式为9. 求以下函数的单调区间：yx2 x2x3yx22x3yf2 x6x1yx31的单调性并证明你的结论f1x1x2判定它的奇偶性并且求证：f1x2x7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页