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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高一数学人教新课标专题三 简易规律一、学问概述规律联结词、四种命题及充分条件与必要条件懂得规律联结词“或” 、“且”、“非”的含义,懂得并把握四种命题及其相互关系,把握充分条件与必要条件,关键是要把握关于充要条件的判定把握反证法；二、重难点学问的归纳与剖析1“ 或”、“且”、“非”这些词叫做规律联结词不含规律联结词,是简洁命题；由简洁命 题与规律联结词构成,是复合命题或、且、非是三种最基本的规律联结词课本给出了三种简洁的复合命题“ p且 q” ,“ p或 q” 和“非 p” 的真值表2四种命题的形式是原命题：假设p 就 q,逆命题：假设q 就
2、p 否命题：假设就逆否命题：假设就四种命题之间的相互关系3一个命题的真假与其它三个命题的真假有如下三条关系：1原命题为真,它的逆命题不肯定为真1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例如,原命题 “假设 a=0,就 ab=0” 是真命题,它的逆命题 题2原命题为真,它的否命题不肯定为真例如,原命题 “假设 a=0,就 ab=0” 是真命题,它的否命题 题3原命题为真,它的逆否命题肯定为真例如,原命题 “假设 a=0,就 ab=0” 是真命题,它的逆否命题 命题4从规律推理关系上看1假设 pq 且 qp,就 p 是 q
3、 的充分而不必要条件；2假设 qp 且 pq,就 p 是 q 的必要而不充分条件；“假设 ab=0,就 a=0” 是假命“假设 a 0,就 ab 0”是假命“假设 ab 0,就 a 0”是真3假设 pq 且 qp或 pq 且pq就 p 是 q 的充要条件；4假设 pq 且 qp,就 p 既不是 q 的充分条件也不是q 的必要条件；从集合与集合之间关系上看1假设 A B,就 A 是 B 的充分条件；2假设 A B,就 A 是 B 的必要条件；3A=B ,就 A 是 B 的充要条件；4假设 AB 且 BA,就 A 既不是 B 的充分条件,也不是B 的必要条件；三、难点学问剖析1对反证法的懂得反证法
4、的理论依据是：原命题为真, 就它的逆否命题也为真 .在直接证明原命题有困难时,就可转化为证明它的逆否命题成立 . 用反证法证明命题的一般步骤是第一步：假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立；其次步：从这个假设动身,经过推理论证,得出冲突；第三步：由冲突判定假设不正确,从而确定命题的结论正确 . 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一般地来说,在什么条件下 作为参考 . 或问题中 想到用反证法来证明,下面供应几种情形第一,问题共计有 n 种情形,现要证明其中一种情形成立时,可想到用反证法证明把其他的 n-1 种
5、情形都排除,从而确定这种情形成立 . 如要证明两条直线相交,可用反证法证明这两条直线平行不成立,由于在同一平面内,两条直线的位置关系是平行或相交,平行不成立,那么间接的证明两条直线相交；其次,命题用否认形式表达的,如证明2 不是方程 2x+1=0 的根, 可用反证法证明,假设 2 是方程 2x+1=0 的根,就 22+1 应等于 0,而 22+1=5,产生冲突,从而确定 2 不是方程 2x+1=0 的根成立；第三,命题用 “至少 ”的字样表达时,可用反证法证明,如证明 a b,b c至少有一 个成立,那我们可用反证法证明如下：假设 a b,b c都不成立,即 a=b 且 b=c,从这一 条件动
6、身推得冲突,故 a=b,且 b=c 不成立,因此, a b,b c至少有一个成立；第四,当命题成立特别明显,而要直接证明,所用的理论不少,且不简洁说明白,而它的逆命题易证,如1中的举例,证明两条直线相交的依据几乎没有,而平行线有许多性质, 易于推理, 因此,用反证法把证明两条直线相交问题转化到平行线的性质假设 p 表示命题, “非 p”叫做命题的否认 命题的否认是 “ p就非 q”,即只否认结论 . .假如原命题是 “假设 p 就 q” ,那么这个原原命题的否认命题是“假设非 p,就非 q” ,即否认条件又否认结论,例如“ 菱形的四条边都相等 ” 的否认为 “菱形的四条边不都相等”；把 “菱形
7、的四条边都相等”作为原命题,就它的否命题是 “假设四边形不是菱形,就它的四条边不都相等 . ”3三个规律联结词与集合的交、并、补运算的关系；1 对“或 ”的懂得可联想到集合中“并集 ”的概念,或中的“或” ,它是指 “ x A” 或“ x B” 中至少有一个是成立；2 对“且 ”的懂得,可联想到集合中 “ 交集”的概念,或中的“且” 是指 “ xA” 或“ xB” 这两个条件都要满意；3 对“非 ”的懂得, 可联想到集合中的“补集 ” 概念,假设命题中对应于集合 P,就命题非 P 就应对应着集合 P 在全集 U 中的补集 CuP；4用集合观点来懂得“充分条件 ”、“必要条件 ”、“充要条件 ”
8、3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 假设 pq,就 p 是 q 的充分条件；假设 pq,就 p 是 q 的必要条件；设 A=x|p ,B=x|q ,假如 AB,就是 xA 就 xB,就 A 是 B 的充分条件,即pq；如图：2 假设 A=B 就 A 是 B 的充要条件,即pq. 5结合转化思想、数形结合思想等用集合观点来解决简易规律中一些问题；例 1、写出假设 a、b0 就 a0 的否命题分析： “ 假设 p 就 q” 的否命题“ 假设 p 就 q” ,它涉及了规律联结词的否认,对此我们从集合角度来看, a0
9、 可表示为一个点集 A,用图形表示； 如图,不满意“a0” 的点 a,b ,在阴影的另一部分,即；它可以看作是轴及以下部分 b 0和轴及右侧部分 a0部分合起来构成,即两块区域的并集, a 、b 满意“a0 或b0” ；因而,否命题为假设 a、b0就 a0或 b0；说明： “ p且 q” 的否认为 “非 p 或非 q” ,用集合的观点来说明,并结合图形,同学更简洁接受并懂得；例 2、对实数 x、y、“ |x|+|y|是 “ |x| 1, |y| 1”的什么条件 . 分析：从集合的角度判定,考虑集合A=x,y| |x|+|y|与 B=x,y| |x|,|y| 1 的包含关系；如图4 名师归纳总结
10、 - - - - - - -第 4 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 可以知道, AB,所以|x|+|y|1 是 |x| 1,|y| 1的充分而不必要条件；说明：充分条件、必要条件充要条件是重要的数学概念,在判定时应确定条件是什么、结论是什么；尝试从条件推导结论,从结论推导条件；确定条件是结论的什么条件；而前面我们已经用集合的观点来概括“充分 ”、“必要 ”、 “充要 ”条件,因此解决这类问题时,有时可以借助集合的运算及包含关系来解决；四、例题讲解 例 1、判定以下命题的真假,并写出它的逆命题,否命题,逆否命题,同时,也判定这 些命题的真假 . 假设 ab,就
11、ac2bc2假设 ab,就假设一个式子是等式,就它的两边都乘以同一个数,所得结果仍是等式假设圆心到直线的距离等于半径,就该直线是圆的切线 假设四边形的对角互补,就该四边形是圆的内接四边形假设在二次函数yax2+bx+c 中, b2-4ac0,就该二次函数图像与x 轴有公共点分析：要判定命题的真假性,关键是看条件是否能推出结论,假如能,就是真命题,如 果不能,就是假命题写出其它的几个命题时,关键是分清条件和结论以及条件和结论 的否认解：当 c 0 时, ac2bc2,该命题为假命题 逆命题：假设 ac2bc25 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 14 页精选学习资料 - -
12、 - - - - - - - 否命题：假设 ab,就 ac2 bc 2.为真逆否命题：假设ac2 bc当 a0, b0 时; 该命题为假命题：逆命题：假设0,设命题甲为：两个实数a、b 满意 |ab|2h；命题乙为：两个实数a、b 满足|a1|h,|b1|0 与 a2x 2b2xc20 的解集相同；命题 q：,就命题 q 是命题 p 的A充要条件 B充分但不必要条件C必要但不充分条件D既非充分也非必要条件5、已知 A 和 B 是两个命题, 假如 A 是 B 的充分但不必要条件, 那么 A 是 B 的A充分但不必要条件 B必要但不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件6条件 p:|x|=x,
13、条件 q: 就 p 是 q 的7假设,就使 |a|+|b|1成立的充分必要条件是A.B. C.D.8命题 “ 对顶角相等 ” 与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题是A上述四个命题B原命题与逆命题D逆命题与否命题C原命题与逆否命题9假设命题p 的逆命题是q,命题 p 的否命题是 r,就 q 是 r 的A逆命题B否命题10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - C逆否命题 D以上答案都不正确10用反证法证明“就 ab 能被 5 整除 ” 时,假设的内容是Aa、b 都能被 5 整除Ba、 b 都不能被 5 整除Ca、b
14、 不都能被 5 整除 Da 不能被 5 整除二、填空题11、已知条件 p： |x1|2,条件 q：5x6x2,就 p 是 q 的_条件 . 12、已知 p：2, q：x 22x1m20m0,假设 p 是 q 的充分而不必要条件,就实数m 的取值范畴是 _ 的一个根大于1,另一个根小于1”13“”是“方程的_条件三、解答题 14 写出命题 “假设 a 2b2,就 ab” 的逆命题、否命题、逆否命题,并判定这四种命题的真假 . 15、 设二次函数fx=ax2+bx+ca 0 中的 a、b、c 均为整数,且f0,f1均为奇数,求证： fx=0 无整数根 . 16、假设甲是乙的充分条件,乙是丙的充要条
15、件,丙是丁的必要条件,丁是乙的必要条件,问甲是丙的什么条件？乙是丁的什么条件？答案及提示：1-10 CABDB ADDCB 1、原命题与其逆否命题真 . 2、p 为真, q 为假,“p 或 q” 为真 . 3、 |a b|=|a1 b 1| |a 1| |b 1|0 与 x 23x20 的解集不同；11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 又如 x2x 10 与 x2x30 解集相同 . 5、6、由 |x|=x得,由得或,所以假设p 成立就 q 成立,而q成立而 p 不肯定成立,故 p 是 q 的充分不必要条件7、
16、对于前 3 个选项,当为等式时,都有可能使 |a|+|b|=1,即前 3 者都不是成立的充分条件,应选 D8、原命题明显正确,否命题为“ 不是对顶角就不相等” ,是真命题9、一个命题的逆命题与其否命题是互为逆否的10、至少有一个的反面是一个也没有,应选 B11、答案： 充分但不必要条件提示： p：x1,q：2x3,就 q p,故12、答案： 0m3 提示：13、答案： 充分但不必要条件提示： 设,就12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 14、解： 原命题：假设a 2b 2,就 ab,逆命题：假设ab,就 a2b
17、2,否命题：假设a 2b 2,就 ab,逆否命题：假设ab,就 a2b2. . 由于 -1202,但 -1 0,所以原命题为假. 又由于 -2 -3 ,但 -22-32,所以逆命题为假. 依据原命题与逆否命题,逆命题与否命题等价的性质,这四种命题全为假15、证明：1设方程 fx=0 有一个整数根 k,就 ak2+bk=-c 又因 f0=c , f1=a+b+c 均为奇数,所以有 a+b 为偶数 . 当 k 为偶数时,明显与式冲突,当 k 为奇数时,设 k=2n+1n Z,就 ak2+bk=2n+12na+a+b 为偶数,也与式冲突 . 所以方程 fx=0 无整数根 . 用反证法证明数学问题,第
18、一要反设,即假设结论反面成立,反设为：假设方程有整数根；一般地,假如结论中含有 考虑反证法 . “无”、 “至少 ”、“至多 ”、“ 都”、 “不都 ” 等字样,就往往要16、解： 由题意,分析如以下图所示依据图示得：甲是丙的充分条件,乙是丁的充要条件高考解析规律是讨论思维形式及其规律的一门学科,是人们熟悉和讨论问题不行缺少的工具,是为了培育同学的推理技能,进展同学的思维才能在高考中对这一部分内容主要是考查“充要条件 ”、命题真伪的试题,主要是对数学概念有精确的记忆和深层次的懂得试题以填空题、挑选题为主,难度不大,主要是对数学概念有精确的记忆和深层次的懂得13 名师归纳总结 - - - - -
19、 - -第 13 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1、全国高考试题设命题甲为 “”,命题乙为 “”,那么A甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件 B甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件 C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 分析：此题主要考查充分条件与必要条件的学问,以及解不等式的基本学问解答：不等式的解是,明显,当x 满意时肯定满意,但不满意,即甲乙,乙甲故甲是乙成立的充分不必要条件答案： A 例 2、上海高考试题是直线和直线平行且不重合的A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件分析：此题主要考查直线平行的学问及充分条件与必要条件的判定解答： 当时,两条直线分别为和,明显答案： C 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 14 页