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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案高一数学对数的概念教案 教学目标 （1）懂得对数概念,通过对数概念的引入培育同学运用数学的意识；. （2）明确指数式与对数式的关系,娴熟把握指数式与对数式的互化 学习指导 （1）懂得对数概念,通过对数概念的引入培育同学运用数学的意识；学会利用转化思想（2）娴熟把握指数式与对数式的关系,能够进行指数式与对数式的互化,处理问题；（3）把握对数的运算性质和运算法就,懂得推导法就的依据和过程,并会用语言表达,培育同学数学语言的转换才能,能处理数据、懂得算理及依据问题的情形,寻求合理、简洁的运算途径,提高运算才能 . 例题精析 例 1.
2、 将以下指数式改写成对数式（1）54625；（2）331；（3）5920；（4）1b0.45. 272 分析 指数式abN与对数式logabN中a,b,N的关系：N 名称式子b a 指数式abNN底数指数幂的值对数式logab底数对数真数通过以上的直观图示可以看出,对数式与指数式虽然反映的是两种不同的运算,但都表示a ,b ,N三个数之间的同一数量关系,这两种运算互为逆运算,在a0 且a1 的条件下,它们可以相互转化 . 解法 （1）log 56254；（2）log 313；（3）log 520b；（4）log10 .45b. 272例 2. 把以下对数式改写成指数式（1）log 51253；
3、（ 2）log132；（3）log 10 a1 .699. 3 分析 同例 1. 解法 （1）53125；（2）123；（3）10.1699a. 3 评注 名师归纳总结 对对数中的N ,b作一些归纳说明：第 1 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编a优秀教案1的前提下,它的值恒为正数；“ N” ：指数式中的幂,对数式中的真数,在a0 且a“ b” ：指数式中的指数,对数式中的对数,在0 且a1的前提下, b 可正、可负、可为零,即为一切实数 . 例 3. 求以下各式的值（1）log 44；（ 2）log 71. 分析 利用对数式与
4、指数式的互化来解决 . 解法 （1）设log 44x,就4x4,7x,1即log441. 710. （2）设log 71x,就7x,1,1x,0即log0 评注 通过例 3 可归纳出两个一般性的结论：（1）logaa1a0 且a1 ；（2）loga10a0且a1 . 例 4. 求以下各式的值（1）log 264；（2）log 927. 分析 （1）直接由指数等式得到对数值,或通过互化来解决；（2）将对数式化成指数式再来求出对数值 . 解法 （1）法一：由2664得log26426. ,2664即x6 ,即log2646. 法二：设log 264x,就x64（2）设log 927x,就32x33
5、,2x3 ,x3 2,log9273. 2 评注 （1）解法一当真数可用底数直接写成指数式时较便利；利用对数式先化成指数式,再利用方程（2）解法二当真数不行用已知底数直接写成指数式,解出,更具有一般性. 本课练习 1. 将以下指数式改写成对数式（1）323；（2）01. 2. 把以下对数式改写成指数式（1）log11002；（2）log05.83. 10名师归纳总结 3. 求以下各式中的x 并指出运算x 时是求幂、求对数、或是求方根1x. 第 2 页,共 20 页（1）34x；（ 2）x21000；（ 3）10x0 .0001；（4）log 394. 利用运算器运算以下对数的值（结果保留4 为
6、小数）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）log 34；（2）log 52；（3）ln名师精编lg优秀教案1 . 2；（4）06. 5. 已知a0,a,1N,0bR1（1）运算logaa2_; logaa5_; logaa3_; logaa5_;归纳出logaabN_,请加以证明 . aloga（2）证明N. 背景材料 可参考人民训练出版社、湖南训练出版社的数学教材中的相关内容 . 教学建议 （1）通过实例分析,使同学感受到引入“ 对数” 概念的必要性；（2）对数概念中,字母 a 的条件“a 0 a 1” 可视同学实际情形作介绍；（3）对数的性质通
7、过例题教学让同学加以概括和总结,并引起重视；（4）对数的两个恒等式在习题中让同学分析证明,如何把握对解决其它问题带来更多的方便；（5）常用对数和自然对数的概念也应想同学作适当的介绍；1）（6）让同学利用运算器求出对数值的近似值. 第 21 课 对数的运算性质（ 教学目标 正确懂得和把握对数的运算性质,懂得推导运算性质的依据和过程,并会用语言表达,培育学生数学语言转换才能,能处理数据,懂得算理及依据问题的情形,寻求合理、简洁的运算途径,提高运算才能 . 学习指导 （1）教学重点是对数运算性质的证明及其应用；（2）教学难点是对数运算性质的证明方法；（3）既然指数式可以改写成对数式,那么指数的运算性
8、质也就可以改写成对数的运算性质,由对数的定义可以推导出三个运算性质；（4）懂得三个运算性质的推导过程,实际上是从对数式到指数式,再从指数式到对数式的多个互化过程, 老师通过其中一个性质的推导示范,的推导；就可以让同学尝试仿照其余两个性质（5）如何用数学语言表达积、商、幂的对数运算性质. 例题精析 例 1. 已知xy0 ,试用logax,logay ,logaxyy,logaxy表示以下各式（1）logaxy3；（ 2）logx2；（3）logax2y2. ayx22 分析 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编
9、 优秀教案直接利用对数运算性质,留意 4 设条件中字母的要求 . 解法 （1）logaxy3logaxlogay3logax3logay；alogax2alogay2（2）logax2logax2logay2logax1logay；y2（3）logax2yy2logax2y2logax2y21logaxy xyx2221logaxy1logaxy 2logax2logay. 评注 22MlogN；由于补充介绍了对数的运算性质,所以直接使用它们会使得运算较为便利；（1）防止常见错误：logaMlogaNlogaMlogaN；logaMlog（2）logaNlogaMnlogaMn. 例 2. 运
10、算以下各式的值（ 1 ）log247lg25；（ 2 ）lg5 100；（ 3 ）log5352log57log57log51 8.；（ 4）3lg2lg2lg52. 分析 （1）在求幂的对数或正数的算术根的对数时,可先将真数化成与对数同底的幂的形式,然后再求；（2）对于常用的对数等式,如lg2lg51及其变式lg21lg5,lg51lg2等应娴熟把握 . 解法 （1）log2472 5log22 1425log2219519；491log57log59（2）22 5；518.log35log5lg5100lg105log5352log57（3）log57log395（4）log5354979
11、log5252；lg5lg. 952lg5lg2lg2lg2lg5lg2lg5 lg2 评注 名师归纳总结 娴熟把握运算性质和常用的对数等式是解决问题的关键. 第 4 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3. 已知lgxlgy2lgx2y名师精编2x优秀教案,求log的值 . y 分析 （1）（2）（3）从已知条件中寻求x,y之间的关系,以确定x 的值；y在去掉对数符号时,特殊要留意“ 真数必需大于零” 这个条件；利用对数的运算法就进行运算. 解法 由 已 知 得lgxyl g 2y2, 从 而 有xyxxy2y2, 所 以xyy或x
12、4y, 由x0 ,y0 ,x2y0可得x2y0,所以应舍去,故x4,即x4,所以ylogx 2 ylog24log2244. 评注 由对数式中的x,y的关系化为代数式时,要留意x,y的取值条件 . 本课练习 一、挑选题1.如a0 ,a,1x,yR ,且xy0, 下 列 等 式 中 ： l o g a x22l o g a x； l o g x22l o g x；logaxylogaxlogay；logaxylogaxlogay. 不正确的是（ B）（A）（B）（C）（D）15（D）1 2a2 by1的大小2. 运算lg32lg353lg2lg5（A）（A）1 （B）3 （ C）2 （D）0 3
13、. 如lgxa,lgyb,就lgxlgy2的值为（ B）10（A）1a2b2（B）1a2 b2（C）1a2b2224. 已知log2log1log2x log3log1log3ylog5log1logz 0,那么x ,z235次序为（ A）（A）zxy（B）xyz（C）yzx（D）zyx二、填空题5. 如log x2121,就x2231,如log28y,就y6. 6.log26464. 三、解答题名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案7. 设 M 0 1, , N 11 a , lg a , 2 a
14、, a ,是否存在实数 a ,使得 M N 1？解答： 要使集合 N中有元素 1,如 11 a ,1 就 a 10 , 这时 lg a 1,这与集合中元素互异性矛盾,所以 a 10；如 lg a ,1 就 a 10,与上相同；如 2 a1 , 就 a 0, 这时 lg a 无意义,所 以 a 0；如 a ,1 这时 11 a 10 , lga lg 1 0 , 所以 2 a 2 , 此 时N 10 , 0 , 2 1, , M N 0 1, ,这与条件冲突 . 因此不存在 a 的值,使得 M N 1 . 8. 某农药厂生产农药 8000 吨,方案 5 年后把产量提高到 14000 吨. 问平均
15、每年需增长百分之几？（lg11193. 0486 ,lg1 4.01461 ,lg4 .860 . 6866 ,lg1 .7550 .2430 ,lg80. 9031 ,lg50. 6990）解答：设平均每年增长的百分率为x ,就8000 1x140001,x5141. 75. 所以85lg1xlg1 .75,所以5 lg 1x 0 .2430,所以lg 1x0 . 0486,所以1 x.1 119,所以x.011911 9. %. 背景材料 可参见人民训练出版社、湖南训练出版社相应内容. 教学建议 名师归纳总结 1.类比指数的运算性质学习对数的运算性质；第 6 页,共 20 页2.通过推导对
16、数的运算性质,让同学感受到对数等式的证明方法；3.通过实际应用题的教学,增强同学数学的应用意识；4.在推导出三个对数运算性质后,可介绍一些推论,便于对数式的运算、化简或证明：（1）logaM1M2M3MnlogaM1logaM2logaM3logaMnM1,M2,M3,Mn0 ,a0 ,a1 ；（2）loganM1logaMn1 ,nN,M,0a0 ,a1 . n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第 22 课名师精编优秀教案2）对数的运算性质（ 教学目标 娴熟把握对数的运算性质及其应用,懂得并运用对数的换底公式来解决有关问题 . 学习指导 1. 懂得并
17、把握对数的换底公式的证明及其应用；2. 明白常用对数、自然对数的概念及其相互关系；3. 懂得并把握由对数运算性质和换底公式可推导出的几个常用的对数恒等式：（1）log an b m mn log a b n 0 , a 0 , a ,1 b 0 , b 1；（2）log a 1 log a M M 0 , a 0 , a 1 ；M（3）log a nb m m log a b n ,1 n N , a 0 , a ,1 b 0 , b 1 . n 例题精析 例 1. 运算 log 2 125 log 4 25 log 8 5 log 5 2 log 25 4 log 125 8 分析 由于底数
18、不同,可使用换底公式化为同底后再运算 . 解法一 原式log23 52log2252log25log52log542log58log24log28log525log512533log252log25log25log522log53log522log223log222log553log5511log13log55log553log52133log52 解法二 原式lg125lg251lg5lg2lg4lg8lg2lg4lg8lg5lg25lg1253lg52lg5lg5lg22lg23lg2lg22lg23lg2lg52lg53lg5311lg511 lg2133lg2lg5 评注 不同底数的对
19、数运算、化简或恒等式证明的常用方法是利用换底公式. 上述解法一是先分括号换底,化简后再将底数统一进行运算；解法二是在方向仍不清晰的情形下,统一将不同的底换为名师归纳总结 常用对数,再进行化简的. 第 7 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2. 已知log 189a, 18b5. 求名师精编优秀教案log 3645. 分析一 先将指数式18ba化成对数式log 185b,然后将所求式化为以18 为底的对数式,利用已知代入即可 . 分析二 将全部已知、未知的式子都化为常用对数来运算 . 分析三 将已知的对数式log189a化成指数式,然
20、后将所求式也化成指数式,逐步寻求转化关系. 解法一 log189a, 18b,5log185b2log189log1859ablog1845log1895 log4536log1836log18182log1818log182a9 解法二 log189a, 18b5 ,lg9alg18 ,lg5blg1818blg18ablg45lg95lg9lg5alglog3645lg36lg1822lg18lg92lg18alg182a9 解法三 令log189a,18a9 ,有18b,5455918b18a18abab,ab18 318xlog 3645x,就36x451836x18ab,3即182x
21、9x18ab,18a,9182x9x36x 18ax18ab18ax2xaxab,xab a. 2 评注 此题的解题方法是将指数式 18 b a 化成对数式 log 18 5 b,再把所求对数的底通过换底公式换成和它们相同的底的对数,以便利用已知条件及对数的性质来求值,也可将对数式 log 18 5 b改写成指数式 18 a 9,以便利用已知条件及指数运算法就来求解 . 例 3. 设 a , b , c 是直角三角形的三边,其中 c 为斜边,且 a 1 . 求证：log c b a log c b a 2 log c b a log c b a . 分析一 名师归纳总结 - - - - - -
22、 -第 8 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案用分析法证明 证法一 欲证结论成立,只需证lgablgablgc2lgalgab,b lga2,lgclgcblgc即证lgalgcblgcblgc2lg2acblgcblgcbblgbca,1lga0,即证lgcblgcb 2lga,即证lgc即证c2b2a2. 这正是已知条件,且以上各步可逆,故结论正确. 分析二 用综合法证明 . 证法二 由题设c2b2a2得cbcba2bblogacblogacb 11logcbalogcbablogaclogaclogacblogacb logac2b2b1
23、logaa2a2logcbalogcbalogacblogac1aloglogccb 评注 两种证法都需要用换底公式来完成证明. 法一选用的是以10 为底的常用对数,法二选用的底数与真数互换,也是常用方法. 本课练习 一、挑选题1.x1111的值属于区间（）（D）（2,3）（D）log1log13325（A）（-3 ,-2 ）（ B）（-2 ,-1 ）（C）（1,2）2.logn1nn1n（）,就（A）1 （B）-1 （ C）2 （D）-2 3. 假如lg2xlg3lg5lgxlg2lg50的两根为（A）lg3lg5（ B）lg15（C）15 （D）115二、填空题4. 已知2a10 ,2b7
24、,就2a2b10. 491名师归纳总结 5. 设logxaa a,1aN,就xaa. 第 9 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案三、解答题6. 已知26a33 by62c,求a,b,c之间的关系 . xy3,如 y 有最大值2 ,求 4a和x. 7. 设0a,1x ,满意logax3logxalog8. 背景材料 参见湖南训练出版社 P96 相应内容 . 教学建议 1. 对数的换底公式是对数运算中一个重要公式必需坚固把握；通过对数的运算性质和换底公式的学习,培育同学论证才能、运算才能和综合运用学问的 2.才能 . 第
25、23 课 对数函数（ 1） 教学目标 懂得并把握对数函数的定义、图象和性质 . 学习指导 4. 把握对数函数的概念,通过对数函数定义的引入,培育同学运用数学的意识及数学源于实 践又反作用于实践的观点；5. 抓住对数函数是指数函数的反函数这一要须争论对数函数,渗透数学中相互联系、相互转 化的观点；6.利用对数函数的图象争论其性质,渗透数形结合思想；. 7.学会从数学的角度发觉和提出问题,并进行探究和争论,培育创新意识 例题精析 例 1. 已知x满意不等式log1x2log13 x2 . 求函数fxlog2xlog2x的最大值和最4222小值 . 分析 先利用函数的单调性及定义域求x 的范畴,然后
26、将fx表示成二次函数的形式求最值. 解法 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 依题设有x202名师精编优秀教案2xx 2 log2x1 log2x321,3x20,所以1x2,又fx log24而1xx23x2x0 ,即x1 时,fmax,220,log2x,1故当log当log2x,1即x2 时,fxmin0. 评注 此题的常见错误上忽视定义域. a1 . 求: 例 2. 已知函数fxloga1xa0 ,1x（1）求fx的定义域；（2）判定fx的奇偶性并予以证明；（3）求使fx0的 x 的取值范畴 . 分析 依据
27、对数的定义求定义域,利用奇偶性的定义判定fx的奇偶性,利用对数函数的单调性求fx0的x的取值范畴 . 解法 （1）由1x0 得1x,1所以fx 的定义域为1,1 . ,. f x 为奇函数 . 1x（2）fxloga1xloga1x1loga1xfx1x1x1x（3）当a1 时,loga1x0,就1x1,解得0x1；1x1x0当0a1 时,loga1x0 ,就01x1,解得1x1x1x 评注 （1）判定奇偶性时,第一要留意函数的定义域；（2）解形如logafx 0a1 的不等式时,忽视fx0；（3）含字母的问题应留意分类争论. 例 3. 已知a,b,x均为正数,且lgbx lgax10. 求a
28、 的取值范畴 . b 分析 解答此题的思维步骤是：名师归纳总结 （1）如要求a 的范畴,联想到把已知方程变形为关于 blgbx 的二次方程；第 11 页,共 20 页（2）利用方程有实根得判别式大于或等于零构造不等关系；（3）利用对数函数的单调性确定a 的范畴 . b- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案 解法 由lgbx lgax10变形得lga bxlgbx 10,整理得lg2 bx lgalgbx 2140. ,bb0,即lga0由于a ,b,x0,所以bx,0就lgbx 为实数,方程有实根,就b解之得a（0,1100100,）.
29、b 评注 此题综合了函数、方程、不等式的内容,要善于联想迁移,寻求学问间的相互联系 . 本课练习 一、挑选题1. 已知 log y 1log x 1 0,就满意这一条件的 x, y 的大小关系是（C）3 3（A）1 x y（ B）0 x y 1（C）x y 1（D）0 y x 12. 已知 y log a 2 ax 在 0 1, 上是 x 的减函数,就 a 的取值范畴为（B）（A）（0,1）（ B）（1, 2）（C）（0,2）（D） 2,）3. 如方程 ln x a ln a 2 ln x 有解,就 a 的取值范畴是（C）（A）| a | 1（B）| a | ,1 a 0（C）a ,1 或 1 a 0（ D）以上都不对二、填空题4. 已知0a,10b,1假如alogbx2 ,1就x的取值范畴是x2,xx13. x23.