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1、名师精编优秀教案高一数学对数的概念教案 教学目标 （1）理解对数概念，通过对数概念的引入培养学生运用数学的意识；（2）明确指数式与对数式的关系，熟练掌握指数式与对数式的互化. 学习指导 （1）理解对数概念，通过对数概念的引入培养学生运用数学的意识；（2）熟练掌握指数式与对数式的关系，能够进行指数式与对数式的互化，学会利用转化思想处理问题；（3）掌握对数的运算性质和运算法则，理解推导法则的依据和过程，并会用语言叙述，培养学生数学语言的转换能力，能处理数据、理解算理及根据问题的情景，寻求合理、简洁的运算途径，提高运算能力. 例题精析 例 1. 将下列指数式改写成对数式（1）62554； （2）27
2、133； （3）2059； （4）45.0)21(b. 分析 指数式Nab与对数式Nbalog中Nba,的关系：式子名称a b N 指数式Nab底数指数幂的值对数式Nbalog底数对数真数通过以上的直观图示可以看出，对数式与指数式虽然反映的是两种不同的运算，但都表示Nba,三个数之间的同一数量关系，这两种运算互为逆运算，在10aa且的条件下，它们可以相互转化. 解法 （1）4625log5； （2）3271log3； （3）b20log5； （4）b45.0log21. 例 2. 把下列对数式改写成指数式（1）3125log5； （ 2）23log31； （3）699.1log10a. 分析
3、同例 1. 解法 （1）12553； （2）3)31(2； （3）a699. 110. 评注 对对数中的bN,作一些归纳说明：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 20 页名师精编优秀教案“N” ：指数式中的幂，对数式中的真数，在10aa且的前提下，它的值恒为正数；“b” ：指数式中的指数，对数式中的对数，在10aa且的前提下， b 可正、可负、可为零，即为一切实数. 例 3. 求下列各式的值（1）4log4； （ 2）1log7. 分析 利用对数式与指数式的互化来解决. 解法 （1）设x4log4，则14log, 1,444
4、即xx. （2）设x1log7，则01log, 0, 17, 1770即xx. 评注 通过例 3 可归纳出两个一般性的结论：（1）)10( 1logaaaa且； （2）)10(01logaaa且. 例 4. 求下列各式的值（1）64log2； （2）27log9. 分析 （1）直接由指数等式得到对数值，或通过互化来解决；（2）将对数式化成指数式再来求出对数值. 解法 （1）法一：由664log64226得. 法二：设x64log2，则664log,6642,64226即xx. （2）设x27log9，则2327log,23,32,33932即xxx. 评注 （1）解法一当真数可用底数直接写成指
5、数式时较方便；（2）解法二当真数不可用已知底数直接写成指数式，利用对数式先化成指数式，再利用方程解出，更具有一般性. 本课练习 1. 将下列指数式改写成对数式（1）332； （2）10. 2. 把下列对数式改写成指数式（1）2100log101； （2）38log5 .0. 3. 求下列各式中的x 并指出计算x 时是求幂、求对数、或是求方根（1）x43； （ 2）10002x； （ 3）0001.010 x； （4）x91log3. 4. 利用计算器计算下列对数的值（结果保留4 为小数）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 2
6、0 页名师精编优秀教案（1）4log3； （2）2log5； （3）2.1ln； （4）6 .0lg. 5. 已知RbNaa, 0, 1,0（1）计算_;log_;log_;log_;log51352aaaaaaaa归纳出_logbaa，请加以证明 . （2）证明NaNalog. 背景材料 可参考人民教育出版社、湖南教育出版社的数学教材中的相关内容. 教学建议 （1）通过实例分析，使学生感受到引入“对数”概念的必要性；（2）对数概念中，字母a 的条件“1,0 aa”可视学生实际情况作介绍；（3）对数的性质通过例题教学让学生加以概括和总结，并引起重视；（4）对数的两个恒等式在习题中让学生分析证明
7、，如何掌握对解决其它问题带来更多的方便；（5）常用对数和自然对数的概念也应想学生作适当的介绍；（6）让学生利用计算器求出对数值的近似值. 第 21 课 对数的运算性质（1） 教学目标 正确理解和掌握对数的运算性质，理解推导运算性质的依据和过程，并会用语言叙述，培养学生数学语言转换能力，能处理数据，理解算理及根据问题的情景，寻求合理、简洁的运算途径，提高运算能力. 学习指导 （1）教学重点是对数运算性质的证明及其应用；（2）教学难点是对数运算性质的证明方法；（3）既然指数式可以改写成对数式，那么指数的运算性质也就可以改写成对数的运算性质，由对数的定义可以推导出三个运算性质；（4）理解三个运算性质
8、的推导过程，实际上是从对数式到指数式，再从指数式到对数式的多个互化过程， 教师通过其中一个性质的推导示范，就可以让学生尝试模仿其余两个性质的推导；（5）如何用数学语言叙述积、商、幂的对数运算性质. 例题精析 例 1. 已知)(log),(log,log,log,0yxyxyxyxaaaa试用表示下列各式（1）3logxya； （ 2）yxa2log； （3）2222logyxyxa. 分析 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 20 页名师精编优秀教案直接利用对数运算性质，注意4 设条件中字母的要求. 解法 （1）yxyxxy
9、aaaaalog3loglogloglog33；（2）yxyxyxaaaaalog21log2logloglog22；（3）)log(log)(log21logloglog2222222222yxyxyxyxyxyxyxaaaaaayxyxyxaaaalog2log2)(log21)(log21. 评注 （1）由于补充介绍了对数的运算性质，所以直接使用它们会使得运算较为方便；（2）避免常见错误：NMNMaaaaloglogloglog；NMNMaaaaloglogloglog；nanaMM)(loglog. 例 2. 计算下列各式的值（ 1）)24(log572； （ 2）5100lg； （
10、3）8 .1log7log37log235log5555； （ 4）2lg5lg2lglg2. 分析 （1）在求幂的对数或正数的算术根的对数时，可先将真数化成与对数同底的幂的形式，然后再求；（2）对于常用的对数等式，如15lg2lg及其变式2lg15lg,5lg12lg等应熟练掌握 . 解法 （1）192log)22(log)24(log1925142572；（2）5210lg100lg525；（3）59log7log949log35log8 .1log7log37log235log55555555225log59794935log55；（4）12lg5lg2lg)5lg2(lg5lg2lg5
11、lg2lglg2. 评注 熟练掌握运算性质和常用的对数等式是解决问题的关键. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 20 页名师精编优秀教案例 3. 已知)2lg(2lglgyxyx，求yx2log的值 . 分析 （1）从已知条件中寻求yx,之间的关系，以确定yx的值；（2）在去掉对数符号时，特别要注意“真数必须大于零”这个条件；（3）利用对数的运算法则进行计算. 解法 由 已 知 得2)2l g (lgyxxy， 从 而 有2)2(yxxy， 所 以yx或yx4， 由02,0,0yxyx可得02yx，所以yx应舍去，故yx4
12、，即4yx，所以42log4loglog4222yx. 评注 由对数式中的yx,的关系化为代数式时，要注意yx,的取值条件 . 本课练习 一、选择题1.若0, 1,0 xyRyxaa且， 下 列 等 式 中 ： xxaal o g2l o g2； xxaal o g2l o g2；yxxyaaaloglog)(log；yxxyaaaloglog)(log. 不正确的是（ B）（A）（B）（C）（D）2. 计算5lg2lg35lg2lg33（A）（A）1 （B）3 （ C）2 （D）0 3. 若byaxlg,lg，则2)10lg(lgyx的值为（ B ）（A）2221ba（B）2221ba（C）
13、1221ba（D）1221ba4. 已知0)(logloglog)(logloglog)(logloglog551533132212zyx， 那么zyx,的大小顺序为（ A）（A）yxz（B）zyx（C）xzy（D）xyz二、填空题5. 若1) 12(logx，则12x，若y8log2，则6y. 6.3)246246(log2. 三、解答题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 20 页名师精编优秀教案7. 设,2,lg,11,1 ,0aaaNMa，是否存在实数a，使得 1NM？解答： 要使集合 N中有元素1，若1lg,10,
14、111aaa这时则，这与集合中元素互异性矛盾，所以10a；若10, 1lgaa则，与上相同；若0,12aa则，这时alg无意义，所以0a；若, 1a这时,1011 a,01lglga所以,22a此时,1 ,2,0,10N1 ,0NM，这与条件矛盾. 因此不存在a的值，使得 1NM. 8. 某农药厂生产农药8000吨， 计划 5年后把产量提高到14000 吨. 问平均每年需增长百分之几？（6990.05lg,9031.08lg,2430.075.1lg,6866.086.4lg,1461. 04 .1lg,0486.31119lg）解答：设平均每年增长的百分率为x，则75.1814)1 ( ,1
15、4000)1(800055xx. 所以75.1lg)1lg(5x，所以2430.0)1lg(5x，所以0486.0)1lg(x，所以119. 11 x，所以%9 .11119. 0 x. 背景材料 可参见人民教育出版社、湖南教育出版社相应内容. 教学建议 1.类比指数的运算性质学习对数的运算性质；2.通过推导对数的运算性质，让学生感受到对数等式的证明方法；3.通过实际应用题的教学，增强学生数学的应用意识；4.在推导出三个对数运算性质后，可介绍一些推论，便于对数式的计算、化简或证明：（1）naaaanaMMMMMMMMlogloglogloglog321321)1,0,0,(321aaMMMMn
16、；（2）)1,0, 0,1(log1logaaMNnnMnMana. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 20 页名师精编优秀教案第 22 课对数的运算性质（2） 教学目标 熟练掌握对数的运算性质及其应用，理解并运用对数的换底公式来解决有关问题. 学习指导 1.理解并掌握对数的换底公式的证明及其应用；2.了解常用对数、自然对数的概念及其相互关系；3.理解并掌握由对数运算性质和换底公式可推导出的几个常用的对数恒等式：（1）) 1,0, 1,0,0(loglogbbaanbnmbaman；（2）)1,0,0(log1logaaM
17、MMaa；（3）)1,0, 1,0, 1(loglogbbaaNnnbnmbanma. 例题精析 例 1. 计算)8log4log2)(log5log25log125(log125255842 分析 由于底数不同，可使用换底公式化为同底后再运算. 解法一 原式)125log8log25log4log2)(log8log5log4log25log5(log55555222232)5log32log35log22log22)(log2log35log2log25log25log3(5555522222132log2log5log132log35log)3113(55552 解法二 原式)125lg
18、8lg25lg4lg5lg2lg)(8lg5lg4lg25lg2lg125lg()5lg32lg35lg22lg25lg2lg)(2lg35lg2lg25lg22lg5lg3(135lg2lg)111(2lg5lg)3113( 评注 不同底数的对数计算、化简或恒等式证明的常用方法是利用换底公式. 上述解法一是先分括号换底，化简后再将底数统一进行计算；解法二是在方向还不清楚的情况下，统一将不同的底换为常用对数，再进行化简的. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 20 页名师精编优秀教案例 2. 已知518,9log18ba.
19、求45log36. 分析一 先将指数式ab18化成对数式b5log18，然后将所求式化为以18 为底的对数式，利用已知代入即可 . 分析二 将所有已知、未知的式子都化为常用对数来计算. 分析三 将已知的对数式a9log18化成指数式，然后将所求式也化成指数式，逐步寻求转化关系. 解法一 bab5log, 518,9log1818aba29log18log25log9log918log)59(log36log45log45log1818181821818181836 解法二 18lg5lg,18lg9lg,518,9log18baababaaba218lg18lg218lg18lg9lg18lg
20、25lg9lg918lg)59lg(36lg45lg45log236 解法三 baabbaa1818189545, 518,918,9log18有令baxxbaxx18)318318(36,184536,45log36则，即baaxbaxaxxxabaxx1818)18(36918, 918,1891822，abaxbaaxx2,2. 评注 本题的解题方法是将指数式ab18化成对数式b5log18，再把所求对数的底通过换底公式换成和它们相同的底的对数，以便利用已知条件及对数的性质来求值，也可将对数式b5log18改写成指数式918a，以便利用已知条件及指数运算法则来求解. 例 3. 设cba,
21、是直角三角形的三边，其中c为斜边，且1a. 求证：aaaabcbcbcbc)()()()(loglog2loglog. 分析一 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 20 页名师精编优秀教案用分析法证明 证法一 欲证结论成立，只需证)lg()lg(lglg2)lg(lg)lg(lgbcbcaabcabca，即证)lg()lg(lg2)lg()lg()lg()lg(lg2bcbcabcbcbcbca2lg)(lg(,lg2)lg()lg(,0lg, 1abcbcabcbcaa即证即证，即证222abc. 这正是已知条件，且以上各
22、步可逆，故结论正确. 分析二 用综合法证明. 证法二 由题设222abc得2)(abcbcaaaaabcbcbcbcbcbcbcbcbcaabcbcbcbcaaaaaaaaaabcbc)()()()(222)()(loglog2log1log1log)(log)(log)(log)(log)(log)(log)(log)(log1)(log1loglog 评注 两种证法都需要用换底公式来完成证明. 法一选用的是以10 为底的常用对数，法二选用的底数与真数互换，也是常用方法. 本课练习 一、选择题1.31log131log15121x的值属于区间（）（A） （-3 ，-2 ）（ B） （-2 ，
23、-1 ）（C） （1，2）（D） （2，3）2.)1(log)1(nnnn（）（A）1 （B）-1 （ C）2 （D）-2 3. 如果05lg2lglg)5lg3(lglg2xx的两根为,，则（D）（A）5lg3lg（ B）15lg（C）15 （D）151二、填空题4. 已知49102,72,1022baba则. 5. 设axaxNaaaa1), 1(log则. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 20 页名师精编优秀教案三、解答题6. 已知cba236632，求cba,之间的关系 . 7. 设3loglog3log, 10
24、yaxyxaxxa满足，若y有最大值42，求xa和. 8. 背景材料 参见湖南教育出版社P96相应内容 . 教学建议 1.对数的换底公式是对数计算中一个重要公式必须牢固掌握；2.通过对数的运算性质和换底公式的学习，培养学生论证能力、计算能力和综合运用知识的能力 . 第 23 课对数函数（ 1） 教学目标 理解并掌握对数函数的定义、图象和性质. 学习指导 4.掌握对数函数的概念，通过对数函数定义的引入，培养学生运用数学的意识及数学源于实践又反作用于实践的观点；5.抓住对数函数是指数函数的反函数这一要须研究对数函数，渗透数学中相互联系、相互转化的观点；6.利用对数函数的图象研究其性质，渗透数形结合
25、思想；7.学会从数学的角度发现和提出问题，并进行探索和研究，培养创新意识. 例题精析 例 1. 已知)23(loglog21221xxx满足不等式. 求函数2log4log)(22xxxf的最大值和最小值 . 分析 先利用函数的单调性及定义域求x的范围，然后将)(xf表示成二次函数的形式求最值. 解法 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 20 页名师精编优秀教案依题设有23023022xxxx，所以21x，又41)23(log)1)(log2(log)(2222xxxxf，而, 2)(1,0log, 1log0 ,21ma
26、x22xfxxxx时，即故当0)(2, 1logmin2xfxx时，即当. 评注 本题的常见错误上忽视定义域. 例 2. 已知函数)1,0(11log)(aaxxxfa. 求: （1）求)(xf的定义域；（2）判断)(xf的奇偶性并予以证明；（3）求使0)(xf的x的取值范围 . 分析 根据对数的定义求定义域，利用奇偶性的定义判断)(xf的奇偶性，利用对数函数的单调性求0)(xf的x的取值范围 . 解法 （1）由)1 , 1()(, 11011的定义域为所以得xfxxx. （2）),()11(log)11(log11log)(1xfxxxxxxxfaaa)(xf为奇函数 . （3）当10111
27、,011log1xxxxxaa，解得则时，；当011110,011log10 xxxxxaa，解得则时，. 评注 （1）判断奇偶性时，首先要注意函数的定义域；（2）解形如)1(0)(logaxfa的不等式时，忽视0)(xf；（3）含字母的问题应注意分类讨论. 例 3. 已知xba,均为正数，且01)lg()lg(axbx. 求ba的取值范围 . 分析 解答本题的思维步骤是：（1）若要求ba的范围，联想到把已知方程变形为关于)lg(bx的二次方程；（2）利用方程有实根得判别式大于或等于零构造不等关系；（3）利用对数函数的单调性确定ba的范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - -
28、名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 20 页名师精编优秀教案 解法 由01)lg()lg(axbx变形得01)lg()(lgbxbxba，整理得01)lg(lg)(lg2bxbabx. 由于0,xba，04)(lg0)lg(, 02babxbx，即则为实数，方程有实根，则所以，解之得），（10010010ba. 评注 本题综合了函数、方程、不等式的内容，要善于联想迁移，寻求知识间的相互联系. 本课练习 一、选择题1.031log31logxy已知，则满足这一条件的yx,的大小关系是（C）（A）yx1（ B）10yx（C）1yx（D）10 xy2. 已知的取值范围为的减函数
29、，则上是在axaxya1 ,0)2(log（B）（A） （0，1）（ B） （1， 2）（C） （0，2）（D），23. 若方程的取值范围是有解，则 axaaxlnln)ln(2（C）（A）1| a（B）0, 1|aa（C）01, 1aa或（ D）以上都不对二、填空题4. 已知32, 1, 10, 10)2(logxxabaxb的取值范围是则如果. 5. 方程3,3103lg2121xxxxxxxx则的两实根分别为和. 三、解答题6. 已知)12lg()(2xaxxf. （1）若)(xf的定义域是R，求实数a的取值范围；（2）若)(xf的值域是R，求实数a的取值范围 . 解：设12)(2xax
30、xg（1）若)(xf的定义域是R，即对任意0)(,xgRx都有，则1,0440aaa所以. （2）若)(xf的值域是R，则10,0,0440aaaa所以或. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 20 页名师精编优秀教案7. 设1),()(,0|lg|)(abbfafbaxxf证明：且，若函数. 证明：由已知得) 10(lg) 1(lg|lg|)(xxxxxxf. 因为)1 , 0(), 1,),()(,0ababfafba上，故必有不能同时在区间所以. 若0lglg0)()(1, 1),1 ,0(babfafbabb有），
31、由，若显然有，故1, 0lgabab所以. 教学建议 3.由于)1,0() 1,0(logaaayaaxyxa与是互为反函数，虽然教材并非从这个角度编写，但是除了对数函数的概念引入之外，它的图象和性质的研究可类比指数函数的图象和性质来进行；4.对数函数的单调性是它的一个重要性质，教学时应牢牢把握好. 另外对数函数中底数a与真数x的不同范围影响着函数值的取值，应渗透数形结合和分类讨论的思想. 第 24 课对数函数（ 2） 教学目标 进一步复习巩固对数函数的图象和性质，增强分析问题和解决问题的能力. 学习指导 善于利用对数函数的图象和性质等基础知识灵活处理函数、方程、不等式等有关的综合问题. 例题
32、精析 例 1. 设的大小与比较|)1(log| )1(log|, 1,0, 10 xxaaxaa. 分析一 作差比较，分类讨论. 解法一 110,211, 10 xxx当0)1(log,0)1(log10 xxaaa时，)1(log)1)(1(log)1 (log)1(log|)1(log|)1(log|2xxxxxxxaaaaaa,0)1(log, 110, 1022xxxa| )1(log|)1 (log|xxaa. 当0)1(log,0)1(log1xxaaa时，0)1 (log)1(log)1(log|)1(log|)1(log|2xxxxxaaaaa精选学习资料 - - - - -
33、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 20 页名师精编优秀教案|)1(log|)1 (log|xxaa. 综上| )1(log|)1(log|xxaa. 分析二 把问题转化为比较22|)1 (log|)1 (log|xxaa与的大小 . 解法二 xxxxxxxxxxxaaaaaaaaaa11log)1 (log)1(log)1 ()log1 (log)1(log)1(log)1(log|)1 (log|)1 (log|22222,1110, 110, 102xxxx对于任意同号与xxxaaaa11log)1(log, 1,02，所以22|)1(log|)1(
34、log|xxaa|)1(log|)1 (log|xxaa 分析三 作商比较 . 解法三 |)1 (log|)1(log|)1(log|)1(xxxxaa, 111log)1(log,1110, 1)1)(1 (0, 110)1()1(2xxxxxxxxx则,0)1(log, 0)1(log, 1)1(log)1()1()1(xxxxxx又1)1 (log|)1(log|)1()1(xxxx,|)1 (log|)1(log|xxaa. 评注 比较两个值的大小，通常的方法是作差法或作商法. 而比较的途径可以千变万化、各具特色， 巧妙之处常在某些“灵活”的处理上. 例 2. 已知1,0 aa. 试求
35、使方程)(log)(log222axakxaa有实数解的实数k的取值范围. 分析 本题的思维步骤如下：（1）列出满足题设条件的混合组，并化简约束条件；（2）对于k的不同取值作分类讨论，然后回代到混合组加以检验. 解法 原方程组等价于)5(0)4()()3(0)2(0)1()(22222222akxaxakxaxakxaxakx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 20 页名师精编优秀教案由（ 4）得),6()1(22kakx矛盾，从而原方程无解，与得若000aak. 10102)1)(1(021,21022kkkkkakak
36、kakkxk或代入得得若. 评注 解含参数的对数方程时，首先要作等价变换，化成代数方程，然后进行分类讨论. 例 3. 在有害射线的防护工作中，常常将射线通过屏蔽物的传输系数k换算为屏蔽效能分贝数S，其计算公式定义为kSlg20（单位叫作“分贝” ，记作 db）. （1）推出根据a 和 h 计算屏蔽效能分贝数S的公式；（2）已知铱)(192192Ir射线对于1cm厚的一般混泥土板的传输系数k(1)=a=0.872.要把这种射线的强度屏蔽掉一半，混泥土板的厚度应为多少厘米？对应的屏蔽效能是多少分贝？ 分析 解决应用问题的一般步骤是：（1）审题弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系；（2）建模将文字
37、语言转换成数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；（3）求模求解数学模型，得到数学结论；（4）还原将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义. 本题的数学模型已经建立，只要解出结论即可. 解法 （1）将hak代入 S的计算公式得到ahaShlg20lg20. （2）设所求厚度为h，对公式hak两端取对数得ahakhlglglg，解出872.0,21,lglgakakh将代入求得混泥土板的厚度为：)(06.50595.03010.0872.0lg5.0lgcmh. 对应的屏蔽效能为：)(02.63010.0205.0lg20lg20dbkS. 评注 对于射线衰减问题，在实际工作中，人们引进了一
38、些标准度量方法，化成常用对数或自然对数来描述射线衰减问题中的数量关系，增强学生应用数学的意识. 本课练习 一、选择题1. 若)(loglog,log,log,21222222xxxx则的大小关系是（C）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 20 页名师精编优秀教案（A）)(loglogloglog222222xxx（B）222222log)(logloglogxxx（C）222222loglog)(loglogxxx（D）xxx222222loglog)(loglog2. 函数)1,0(logaaxyayax与在同一坐标系中
39、的图象可能是（A ）（A）（B）（C）（D）二、填空题3. 已知)(log)(0,log)(0)(22xxxfxxxxfxxf时，那么当时，是偶函数，当. 4. 方程10001101000lg2xxxx或的解是. 三、解答题5. 已知)1(log)(22xxxf. （3）证明)(xf在 R上是奇函数；（4）判断)(xf的单调性 . 解：（3）证明：)()1(log11log)1(log)(222222xfxxxxxxxf故)(xf在 R上是奇函数 . （4）)1(log)(),1(log)(, 0222221212121xxxfxxxfxx设.)(),()()1(log)1(log),1(lo
40、g)1(log11,11, 0212222121222221212222121222121上是减函数在Rxfxfxfxxxxxxxxxxxxxxxx6. 已知常数3loglog3log,1yaxyxaxxa之间的关系为及变数. （1）若ytataxt表示用 ,),0(；（2）若当的最大值及，求有最小值为时，yxayt,82 , 1. 解： （1）原方程可化为txxaxyxxataaaalog,3logloglog3log得令oxy11oxy11oxy11oxy11精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 20 页名师精编优秀教案
41、即)0(33log,3log33322tayttytyttttaa；（2）43min43)23(33, 12 ,1 23,22ayataayttt得时，由于则当令16,6416,1688max233443yxaa得. 教学建议 5.对数函数的底数和真数应满足的条件是求解有关问题时必须予以特别重视的；6.几个数值大小比较是常见题型，应根据函数性质和字母的范围进行分类讨论；7.解含有字母参数的对数方程时，必须等价变形，并注意对字母讨论. 第 25 课指数函数与对数函数（第二、三节）小结与复习 教学目标 1.复习巩固指数、对数的定义、运算性质，指数函数、对数函数的定义、图象和性质；2.分析指数函数、
42、对数函数的联系和区别，培养学生良好的数学思维品质. 学习指导 1.指数函数xay与对数函数) 1,0(logaaxya是互为反函数的两个重要函数，其函数性质直接受底数a的影响，所以分类讨论思想显得尤为突出，同时两类函数的函数值变化情况充分反映了函数的代数特征与几何特征；2.两类函数的最值是函数在整个定义域上所取得的最大值或最小值，初等函数在闭区间上必定存在最大值与最小值，求含有这两类函数的复合函数的最值时，一般要注意有意义的条件来决定中间量的取值范围，并综合运用求最值的各类方法求解；3.对于含参数的指、对数函数问题，如方程、不等式、图象等问题，要重视函数性质的综合运用 . 例题精析 例 1.
43、设)0,0(1)(2log2221bababayxxx. 求使y为负值的x的取值范围 . 分析 本题先将对数不等式等价转化为指数不等式，然后对字母分类讨论. 解法 0 1)(2)(, 11)(2,02222xxxxxxbababbabay即只要要使21)(12)(,01)(2)(,022xxxxxbabababab或解之得, )1(12)(21)(,0)(xxxbababa（舍去），当)12(log) 1( , 10baxbaba式两边取对数得时，, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 20 页名师精编优秀教案当)12(l
44、og) 1( ,100baxbaba式两边取对数得时，, 当恒成立对于一切实数时，xba1210. 评注 要注意等价转换的条件，以及分类讨论的完整性，不能忽视ba的可能 . 例 2. 设论的大小，并证明你的结与，比较21loglog210, 1,0tttaaaa. 分析 （3）由题意比较21tt与的大小 , 再利用对数函数的单调性加以判断；（4）由于对数的底数a 是字母，故要对a 分两种情形分析：1a或10a. 解法一 ”号时取“当且仅当1, 121,21loglog2121logtttttttaaa时，当1ttttttttaaaaalog2121log1,log2121log021log时，
45、当，即（1）当ttttaaaalog2121log021log10，时，（2）当ttttaaaalog2121log021log1，时， 解法二 当”号时取“当且仅当时，由不等式可得1,210tttt，ttttttaa211log2121log1时，时，. 当ttxyaaaalog2121loglog10是减函数，时，当ttxyaaaalog2121loglog1是增函数，时， 评注 （1）解法一是从作差比较出发考虑的，解法二是先从重要不等式出发比较真数之间大小，再利用单调性比较对数大小；（2）在比较大小的问题中，若含字母常需分类讨论. 例 3. 设) 1,0(0)1(2,223aapappa
46、aRpxxx试讨论指数方程的实根个数 . 分析 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 20 页名师精编优秀教案（5）通过换元将指数方程化为代数方程；（6）利用二次方程根的分布条件求解. 解法 设0)1)(,0) 1(2,2223pyypypyppyyyaxx即则原方程变为，）有正根原方程有实根等价于（或1,0),1(012xaypyypy，有正根的条件是二次方程有正根的条件是01,02pyyppy20042ppp，综上可知：.00222时，原方程无实根当；时，原方程有一个实根当；时，原方程有两个实根当；时，原方程有三个实根当
47、pppp 评注 （1）将对数方程化成代数方程时，一定要注意等价变换；（2）含参数的问题注意分类讨论. 本课练习 一、选择题1. 函数)0, 0()(aaaxfx对于任意的实数都有（C ）（A）)()()(yfxfxyf（B）)()()(yfxfxyf（C）)()()(yfxfyxf（D）)()()(yfxfyxf2. 设)8(,log)(26fxxf那么等于（ D）（A）34（B）8 （ C）18 （D）21二、填空题3. 函数)1 ,) 10(loglogaaxyaa的定义域为. 4. 如果6)(,8)()(,4)()(,)(,)(bagbgagbfafeexgeexfxxxx则. 三、解答
48、题5. 已知)0() 1()(log, 1, 0212xaxaxxfaaa. （5）求)(xf的表达式；（6）求证函数)(xf在 R上是增函数 . 解：（5）设)1(1)(,) 1(1)(,log2222aaaaxfaaaatfaxxtxxttta则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 20 页名师精编优秀教案（6）,2121xxRxx设)1()1)() 1(1) 1(1)()(22222212121212211aaaaaaaaaaaaaaaxfxfxxxxxxxxxx,01, 010,01, 01222121aaaaaaa
49、axxxx时，当时，当均为正及而12121xxxxaaaa, .)(),()(1, 021上是增函数在，总有对一切Rxfxfxfaa6. 已知)(),() 1(log)(),()()(00 xfyxxxfxgxfxFa在并且当且仅当其中的图象上时，点)()2,2(00 xgyyx在的图象上 . （3）求解析式)(xgy；（4）当0)(xFx在什么范围时，？解： （1）由点) 1(log)1(log),(0000 xyxyyxaa的图象上得在. 令) 12(log2),12(log22,2,2,20000uvuvvyuxvyuxaa即，所以则由)12(log2)()(),()()2,2(00 x
50、xgyxgyvuxgyyxa的图象上，故在的图象上，即在. （2）)12(log2) 1(log)()()(xxxgxfxFaa当22420)(1xxFa，可解得时，由，当2240)(10 xxFa，可解得时，由. 教学建议 8.指数函数、对数函数是两个基本的初等函数，教学的重点是两个函数的定义、图象和性质，教学的难点是如何运用图象和性质解决问题；9.在理解两个定义的基础上掌握两个函数的图象和性质，应渗透数形结合、函数与方程、分类讨论、等价转化的数学思想，培养学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第