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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学函数的基本性质函数名称 常数函数 一次函数二次函数反比例函数指数函数 对数函数幂函数函数解析式yk 为常数）ykxbk,b为常数）y2 axbxc a,0 a ,b , c ,为常数）ykk,0k为常数）xyaxa0 ,a1 ylogax a0 ,a1yxaa0,a为常数）1奇偶性（1）定义：假如对于函数 fx定义域内的任意 x 都有 fx= fx,就称 fx为奇函数；假如对于函数 fx定义域内的任意 x 都有 f x=fx,就称 fx为偶函数；假如函数 fx不具有上述性质,就 fx不具有奇偶性 .假如函数同时具有上述两条性质,就 fx
2、既是奇函数,又是偶函数；留意：1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质；2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 x,就 x 也肯定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）；（2）利用定义判定函数奇偶性的格式步骤：1 第一确定函数的定义域,并判定其定义域是否关于原点对称；2 确定 fx与 fx的关系；3 作出相应结论：如 f x = fx 或 f xfx = 0,就 fx是偶函数；如 f x = fx 或 fxfx = 0,就 fx是奇函数；（3）简洁性质：图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原
3、点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称；设 f x ,g x 的定义域分别是 D 1 , D ,那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇,奇 奇=偶,偶 +偶=偶,偶 偶=偶注（ 1）定义域对称的零函数既是奇函数又是偶数,即 定义域对称的非零常数函数只是偶数,f x=0 是既是奇函数又是偶函数；即 f x=a a 0只是偶函数；第 1 页 共 5 页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - f x 0 f x 2 注（ 2）对于奇函数,自变量 x 如能取到 0,就 f x=0 2单调性（ 1）定义：一般地,
4、设函数y=fx的定义域为I, 假如对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1,x2,当 x1x2 时,都有 fx1 fx2）,那么就说 留意：fx在区间 D 上是增函数（减函数） ；1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质；2 必需是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2；当 x1x2 时,总有 fx1 fx2 （ 2）假如函数 y=fx在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=fx在这一区间具有（严格的）单调性,区间 D 叫做 y=fx的单调区间；（3）设复合函数 y= fgx,其中 u=gx , A 是 y= fg x定义域的某个区间, B
5、是映射 g : xu=gx 的象集：如 u=gx 在 A 上是增（或减）函数,y= fu在 B 上也是增（或减）函数,就函数 y= fg x在 A 上是增函数；如 u=gx在 A 上是增（或减）函数,而y= fu在 B 上是减（或增）函数,就函数y= fg x在 A 上是减函数；（ 4）判定函数单调性的方法步骤利用定义证明函数 fx在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤：1 任取 x1,x2D,且 x1x2；2 作差 fx1fx2；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判定差 fx1fx2的正负）；5 下结论（即指出函数 fx在给定的区间 D 上的单调性）；（5）简洁性质奇函数在其对称
6、区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；在公共定义域内：增函数fx增函数gx是增函数；减函数fx减函数g x 是减函数；增函数fx减函数gx是增fx函数；减函数增函数gx 是减函数；3最值（1）定义：最大值：一般地,设函数y=fx的定义域为I,假如存在实数M 满意：对于任意的xI ,都有 fxM ；存在 x0I,使得 fx0 = M ；那么,称M 是函数 y=fx的最大值；最小值：一般地,设函数y=fx的定义域为I,假如存在实数M 满意：对于任意的xI ,都有 fxM ；存在 x0I,使得 fx0 = M ；那么,称 留意：M 是函数 y=fx的最大值；1 函数最大（小）第一应当
7、是某一个函数值,即存在 x0 I,使得 fx0 = M ；2 函数最大（小）应当是全部函数值中最大（小）的,即对于任意的 xI ,都有 fxM （fxM ）；（2）利用函数单调性的判定函数的最大（小）值的方法：1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；2 利用图象求函数的最大（小）值；3 利用函数单调性的判定函数的最大（小）值：第 2 页 共 5 页名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 假如函数 y=fx在区间 a,b上单调递增,在区间b,c上单调递减就函数y=fx在 x=b 处有最大值fb；假如函数y=fx
8、在区间 a,b上单调递减,在区间b,c上单调递增就函数y=fx在 x=b 处有最小值fb；典 例 解 析【奇偶性典型例题】例 1以下五个函数： （1）y1 x x0；（2）yx41；（3）yx 2 ；（ 4）ylog2x；_ ,如函数的解（5）ylog2xx21 ,其中奇函数是_ _,偶函数是 _ _,非奇非偶函数是点评：判定函数的奇偶性是比较基本的问题,难度不大,解决问题时应先考察函数的定义域析式能化简,一般应考虑先化简,但化简必需是等价变换过程（要保证定义域不变）；题型二：奇偶性的应用例 2设 f（x）是定义在R 上的奇函数,如当x0 时, f（ x）=lo g3（1+x）,就 f（ 2）
9、=_ _；例 3已知f x 奇函数, 当x（0,1）时,f x lg11x,那么当x（ 1,0）时,f x 的表达式是例 4如奇函数f x 是定义在（1,1）上的增函数,试求2a 的范畴：f a2f a240f4a2解：由已知得f a2f a24因 fx 是奇函数,故f a24f4a2,于是f a又f x 是定义在（1,1）上的增函数,从而a2a24a23a21a211a331a2415a3 或3a5即不等式的解集是 3, 2【单调性典型例题】例 11设函数f x 2a1 xb 是R 上的减函数,就 a 的范畴为 ）A a1Ba1Ca1Da122222 函数yx2bxc x0,是单调函数的充要
10、条件是 A b0Bb0Cb0Db03已知f x 在区间 , 上是减函数,a,bR 且ab0,就以下表达正确选项（Af a f b f a f b Bf a f b fafbCf a f b f a f b Df a f b fafb提示：ab0可转化为 ab 和 ba 在利用函数单调性可得. 4 如右图是定义在闭区间上的函数yf x 的图象 , 该函数的单调增区间为第 3 页 共 5 页名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2画出以下函数图象并写出函数的单调区间（1）y x 22 | x | 1（2）y | x 22
11、 x 3|例 3依据函数单调性的定义,证明函数 在 上是减函数例 4.设 f x 是定义在 R 上的函数, 对 m 、n R 恒有 f m n f m f n ,且当 x 0 时,0 f x 1；（1）求证：f 0 1；（2）证明：x R 时恒有 f x 0；（3）求证：f x 在 R 上是减函数；（4）如 f x f 2 x 1,求 x 的范畴；解： 1取 m=0,n= 1 就 f 10 f 1g f 0,由于 f 1 0 所以 f 0 12 2 2 22设 x 0 就 x 0 由条件可知 f x o又由于 1 f 0 f x x f x g f x 0,所以 f x 0x R 时,恒有 f
12、 x 0（3）设 x 1 x 就f x 1 f x 2 f x 1 f x 2 x 1 x 1 = f x 1 f x 2 x 1 f x 1 = f x 1 1 f x 2 x 1 由于 x 1 x 所以 x 2 x 1 0 所以 f x 2 x 1 1 即 1 f x 2 x 1 0又由于 f x 1 0,所以 f x 1 1 f x 2 x 1 0 所以 f x 1 f x 2 0,即该函数在 R 上是减函数 . 4 由于 f x f 2 x 1,所以 f x f 2 x f 2 x x 2 f 0所以 2 x x 20,所以 x 的范畴为 x 2 或 x 0例 5：（复合函数单调性）1
13、.函数 y x 22 x 3 的增区间是（）. A 3, 1 B 1,1 C , 3 D 1, 12.函数 y2 的单调递增区间为（）x 2 x 80A , 8 B ,1 C 1, D 8, 练 习1、在区间 , 0 上为增函数的是（）Ay12By1xx2Cyx22x1Dy1x2） 2、 已知yx2 a2 x5在区间 4, 上是增函数,就a 的范畴是（Aa2Ba2Ca6Da6那么 3、 函数fx在a,b和c ,d都是增函数,如x1a,b,x2c,d,且x 1x2Afx1fx2Bfx 1fx2Cfx1fx 2D无法确定4、已知fx在实数集上是减函数,如ab0,就以下正确选项（）Afafb faf
14、bBfafbfafbCfafbfafbDfafbfafb5、设函数f x 2a1xb 是 R 上的减函数,就有（）第 4 页 共 5 页名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - A、a 1B、a 1 C、a 1 D、a 12 2 2 226、函数 f x x 3 x 4 的减区间是；7、 函数 y= x 2 2 x 3 的递减区间是8、画出反比例函数 y 1的图象x（1）这个函数的定义域是什么？（2） 它在定义域 I 上的单调性怎样？证明你的结论9、求函数 y 2在区间 2,6上的最大值和最小值x 110、函数ymx2n1 x1是定义在m2,6m 上的偶函数,求该函数的值域；11、己知函数yf x 是奇函数,它在y 轴右边的图象如下列图,画出yfx图象在 y 轴左边的图象；12、 先判定函数的奇偶性,并证明你的结论；（1）y x1 x12 y2x212第 5 页 共 5 页名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页