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1、第 1 页 共 5 页高中数学函数的基本性质1奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有 f(x)= f(x)，则称 f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有 f( x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则 x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（2）利用定义
2、判断函数奇偶性的格式步骤：1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2确定 f(x)与 f(x)的关系；3作出相应结论：若 f( x) = f(x) 或 f( x)f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f( x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是奇函数。（3）简单性质：图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；设( )f x，( )g x的定义域分别是12,DD，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶 +偶=偶，偶偶=偶注（1）定义域对称的零函数既是奇函数又是偶
3、数，即f (x)=0 是既是奇函数又是偶函数；定义域对称的非零常数函数只是偶数，即 f (x)=a (a0)只是偶函数。函数名称函数解析式常数函数kky(为常数）一次函数bkbkxy,(为常数）二次函数, 0(2cbaacbxaxy为常数）反比例函数kkxky, 0(为常数）指数函数)1,0(aaayx对数函数) 1,0(logaaxya幂函数aaxya,0(为常数）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页第 2 页 共 5 页f (x) 0 f (x) 2 注（2）对于奇函数，自变量x 若能取到 0，则 f (x)=0
4、2单调性（ 1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)） ，那么就说f(x)在区间 D 上是增函数（减函数） ；注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2必须是对于区间D 内的任意两个自变量x1，x2；当 x1x2时，总有f(x1)f(x2) （ 2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做 y=f(x)的单调区间。（3） 设复合函数y= fg(x)， 其中 u=g(x) ,
5、 A 是 y= fg(x)定义域的某个区间，B 是映射 g : xu=g(x) 的象集：若 u=g(x) 在 A 上是增（或减）函数，y= f(u)在 B 上也是增（或减）函数，则函数y= fg(x)在 A 上是增函数；若 u=g(x)在 A 上是增（或减）函数，而y= f(u)在 B 上是减（或增）函数，则函数y= fg(x)在 A 上是减函数。（ 4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：1任取 x1，x2D，且 x1x2；2作差 f(x1)f(x2)；3变形（通常是因式分解和配方）；4定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；5下结论（即
6、指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）。（5）简单性质奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；在公共定义域内：增函数)(xf增函数)(xg是增函数；减函数)(xf减函数)(xg是减函数；增函数)(xf减函数)(xg是增函数；减函数)(xf增函数)(xg是减函数。3最值（1）定义：最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足：对于任意的xI，都有 f(x)M；存在 x0I，使得 f(x0) = M 。那么，称M 是函数 y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M 满足：对于任意的xI，都有 f(x
7、)M；存在 x0I，使得 f(x0) = M 。那么，称M 是函数 y=f(x)的最大值。注意：1函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0 I，使得 f(x0) = M ；2函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有 f(x)M（f(x)M） 。（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：1利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；2利用图象求函数的最大（小）值；3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页第 3 页 共 5 页如果函数
8、y=f(x)在区间 a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在 x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间 a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在 x=b 处有最小值f(b)；典 例 解 析【奇偶性典型例题】例 1以下五个函数： （1）)0(1xxy； （2）14xy； （3）xy2； （ 4）xy2log；（5）)1(log22xxy，其中奇函数是_ _，偶函数是 _ _，非奇非偶函数是_ 点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保
9、证定义域不变）。题型二：奇偶性的应用例 2设 f（x）是定义在R 上的奇函数，若当x0 时， f（ x）=log3（1+x） ，则 f（ 2）=_ _。例 3已知( )f x奇函数， 当x（0，1）时，1( )lg1f xx， 那么当x（1， 0）时，( )f x的表达式是例 4若奇函数( )f x是定义在（1，1）上的增函数，试求a 的范围：2(2)(4)0f af a解：由已知得2(2)(4)f af a因 f(x) 是奇函数，故22(4)(4)f afa，于是2(2)(4)f afa又( )f x是定义在（1，1）上的增函数，从而22322412113321415335aaaaaaaaa
10、或即不等式的解集是( 3, 2)【单调性典型例题】例 1(1)( )(21),f xaxbR设函数是上的减函数则 a 的范围为 ( ) A12aB12aC12aD12a(2)函数2(0,)yxbxc x)是单调函数的充要条件是( ) A0bB0bC0bD0b(3)已知( )f x在区间(,)上是减函数，,abR且0ab，则下列表达正确的是（）A( )( )( )( )f af bf af bB( )( )()()f af bfafbC( )( )( )( )f af bf af bD( )( )()()f af bfafb提示：0ab可转化为ab和ba在利用函数单调性可得. (4) 如右图是定
11、义在闭区间上的函数( )yfx的图象 , 该函数的单调增区间为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页第 4 页 共 5 页例 2画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1）22| 1yxx（2）2|23|yxx例 3根据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数例 4.设)(xf是定义在R 上的函数， 对m、Rn恒有)()()(nfmfnmf，且当0 x时，1)(0 xf。（1）求证：1)0(f；（2）证明：Rx时恒有0)(xf；（3）求证：)(xf在 R 上是减函数；（4）若( )(2)1f xfx，求x的范围。解： (1)
12、取 m=0，n= 12则11(0)( )(0)22fffg，因为1()02f所以(0)1f(2)设0 x则0 x由条件可知()fxo又因为1(0)()( )()0ffxxf xfxg，所以( )0f xRx时，恒有0)(xf（3）设12xx则121211()()()()fxfxf xf xxx=1211()()()f xf xxf x=121()1()f xf xx因为12xx所以210 xx所以21()1fxx即211()0fxx又因为1()0f x，所以121()1()0f xf xx所以12()()0f xf x，即该函数在R 上是减函数 . (4) 因为( )(2)1f xfx，所以2
13、( )(2)(2)(0)f xfxfxxf所以220 xx，所以20 xxx的范围为或例 5： （复合函数单调性）1.函数223yxx的增区间是（）. A 3,1 B 1,1 C(, 3)D 1,)2.函数 y80212xx的单调递增区间为（）A(,8)B(,1)C(1,)D( 8,)练习1、在区间)0,(上为增函数的是（）A1yB21xxyC122xxyD21xy2、 已知5)2(22xaxy在区间(4,)上是增函数，则a的范围是（）A2aB2aC6aD6a3、 函数)(xf在),(ba和),(dc都是增函数，若),(),(21dcxbax，且21xx那么 ( ) A)()(21xfxfB)
14、()(21xfxfC)()(21xfxfD无法确定4、已知)(xf在实数集上是减函数，若0ba，则下列正确的是（）A)()()()(bfafbfafB)()()()(bfafbfafC)()()()(bfafbfafD)()()()(bfafbfaf5、设函数( )(21)f xaxb是R上的减函数，则有（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页第 5 页 共 5 页A、12aB、12aC、12aD、12a 6、函数43)(2xxxf的减区间是。7、 函数 y=322xx的递减区间是8、画出反比例函数xy1的图象（1）这个函数的定义域是什么？（2） 它在定义域I 上的单调性怎样？证明你的结论9、求函数12xy在区间 2，6上的最大值和最小值10、函数1)1(2xnmxy是定义在, 62mm上的偶函数，求该函数的值域。11、己知函数)(xfy是奇函数，它在y 轴右边的图象如图所示，画出)(xfy图象在 y 轴左边的图象。12、先判断函数的奇偶性，并证明你的结论。（1）yx1 x1(2) 1222xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页