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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -高中数学常用公式及结论大全 必修 1 1、集合的含义与表示新课标 一般地,我们把争论对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合；它具有三大特性：确定性、互异性、无序性；集合的表示有列举法、描述法；描述法格式为： 元素 |元素的特点 ,例如x|x,5且xN2、常用数集及其表示方法（1）自然数集 N（又称非负整数集） ：0、1、 2、3、,（2）正整数集 N *或 N + ：1、2、 3、 ,（3）整数集 Z：-2、-1、0、1、,（4）有理数集 Q：包含分数、整数、有限小数等（5）实数集 R：全体实数的集合（
2、6）空集 ：不含任何元素的集合3、元素与集合的关系：属于,不属于例如： a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 A,记作 aA4、集合与集合的关系：子集、真子集、相等（ 1）子集的概念假如集合 A 中的每一个元素都是集合 B 中的元素, 那么集合 A 叫做集合 B 的子集 如图 1,记作 A B 或 B A . 如集合 P 中存在元素不是集合 Q 的元素,那么 P 不包含于 Q,B A 或 A,B 记作 P Q 图 1 （ 2）真子集的概念如集合 A 是集合 B 的子集,且 B 中至少有一个元素不属于 A,那么集合 A 叫做集合 B 的B A 真子集 如图 2. A B或B A. 图 2 （
3、3）集合相等：如集合 A 中的元素与集合 B 中的元素完全相同就称集合 A 等于集合 B,记作 A=B. A B , B A A B5、重要结论（ 1）传递性：如 A B,B C,就 A C（2）空 集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集 . 6、含有 n 个元素的集合 , 它的子集个数共有 2 n 个；真子集有 2 n 1 个；非空子集有 2 n 1 个 即不计空集 ；非空的真子集有 2 n 2 个. 7、集合的运算：交集、并集、补集 A B （ 1）一般地,由全部属于 A 又属于 B 的元素所组成的集合 ,叫做 A,B 的交集记作 A B（读作 A 交 B）,即 A B=x| x A,
4、且 xB细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（ 2）一般地, 对于给定的两个集合A,B 把它们全部的元素并在一起所组成的集合,叫做 A,B 的并集记作 A B（读作 A 并 B）,即 A B=x| x A,或 xBCUAAB （ 3）如 A 是全集 U 的子集,由U 中不属于 A 的元素构成的集合,叫做 A 在 U 中的补集,记作CUA, CUAx|xU ,且xAA 注：争论集合的情形时,不要发遗
5、忘了A的情形；8、映射观点下的函数概念假如 A,B 都是非空的数集,那么 A 到 B的映射 f ：AB 就叫做 A 到 B 的函数, 记作 y=fx,其中 xA,yB.原象的集合A 叫做函数 y=fx的定义域, 象的集合 C（CB）叫做函数y=fx的值域 . 函数符号 y=fx表示“y 是 x 的函数” ,有时简记作函数fx. 9、分段函数：在定义域的不同部分,有不同的对应法就的函数；如y2x213x0xx010、求函数的定义域的原就：（解决任何函数问题,必需要考虑其定义域）分式的分母不为零；如:yx11,就x10偶次方根的被开方数大于或等于零；如:y5x,就5x0对数的底数大于且不等于；如:
6、ylogax2 ,就a0 且a1对数的真数大于；如:ylogax2 ,就x20指数为的底不能为零；如:y m1 x, 就m1011、函数的奇偶性（在整个定义域内考虑）（1）奇函数满意 f x f x , 奇函数的图象关于原点对称；（2）偶函数满意 f x f x ,偶函数的图象关于 y 轴对称；注：具有奇偶性的函数 ,其定义域关于原点对称 ; 如奇函数在原点有定义 ,就 f 0 0依据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、 偶函数、 既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数；12、函数的单调性（在定义域的某个区间内考虑）当x 1fx 2时,都有fx 1fx 2,就fx在该区间上是增函数,图象从左到右上升；
7、当x 1x 2时,都有fx 1fx2,就fx在该区间上是减函数,图象从左到右下降；函数 x 在某区间上是增函数或减函数,那么说fx在该区间具有单调性,该区间叫做单调（增 /减）区间13、一元二次方程2 axbxc0a0（2）判别式：b24 ac2（1）求根公式 : x ,1 2 b b2 a（3）0 时方程有两个不等实根；4ac0 时方程有一个实根；0 时方程无实根；（4）根与系数的关系韦达定理:x 1x 2b,x 1x2cx 1xx 2a0aa14、二次函数：一般式yax2bxca0；两根式ya x细心整理归纳 精选学习资料 第 2 页,共 19 页 - - - - - - - - - -
8、- - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（ 1）顶点坐标为b,4acb2；（ 2）对称轴方程为：x=b；y x 2a4 a2 a0 （ 3）当a0时,图象是开口向上的抛物线,在x=b处取得最小值4acab22 a4当a0时,图象是开口向下的抛物线,在x=b处取得最大值4acb24 a2a（ 4）二次函数图象与x 轴的交点个数和判别式的关系：0 时,有两个交点；0 时,有一个交点（即顶点）；0 时,无交点；15、函数的零点使f x 0的实数0x 叫做函数的零点；例如x01是函数fx x21的一个
9、零点；注：函数yfx有零点函数yfx的图象与 x 轴有交点方程fx0有实根16、函数零点的判定：假如函数yfx在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有fafb 0；那么,函数yfx在区间a,b内有零点,即存在ca ,b,使得fc0；17、分数指数幂（a0,m nN ,且n1）n an （ 1）amnam. 如x3x3；2am1n1m. 如13x3；（3） n2n2a ；mxaanR （ 4）当 n为奇数时,nana ；当 n 为偶数时,nan|a|a a00. a a18、有理指数幂的运算性质（a,0r,sQ）（1）arasars；（2）r a srs a；（3）abrarbr19、指
10、数函数yax（a0且a1）,其中 x是自变量, a 叫做底数,定义域是a10a1y y 图象1 x 1 x 0 （1）定义域： R 0 性（2）值域：（0, +）质（3）过定点（ 0,1）,即 x=0 时, y=1 （4）在 R 上是增函数（4）在 R 上是减函数细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -20、如abN,就叫做以为底 N 的对数；记作：logaNb（a0 a1,N0）其中, a 叫做对数
11、的底数,N 叫做对数的真数；abN a0,a1,N0注：指数式与对数式的互化公式：logaNb21、对数的性质（ 1）零和负数没有对数,即logaN中N0；0 ,（ 2）1 的对数等于0,即log a10；底数的对数等于1,即log a a122、常用对数lgN：以 10 为底的对数叫做常用对数,记为：log10NlgN自然对数lnN：以 ee=2.71828, 为底的对数叫做自然对数,记为：logeNlnN23、对数恒等式：alogaNN24、对数的运算性质（a0,a 1,M0,N0）1 log aMNlogaMlogaN ; 2 logaMlogaMlogaN; N3 log aMnnlo
12、gaM nR （留意公式的逆用）25、对数的换底公式logaNlogmN a0, 且a1,m0, 且m1 ,N0. logma推论或logab1a； logambnnlogab. logbm26、对数函数ylogax（a0,且a1）：其中, x 是自变量, a 叫做底数, 定义域是a10a1y 图像0 1 x 0 1 x 定义域： 0, 27、指数函数y性质值域： R yx对称 . 过定点（ 1,0）取值范畴增函数减函数0x1 时, y0 0x0 x1 时, y0 x1 时, y0 ax与对数函数ylogax互为反函数；它们图象关于直线细心整理归纳 精选学习资料 第 4 页,共 19 页 -
13、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -28、幂函数yx（R ）,其中 x是自变量；要求把握,11,1,23,这五种情形 如下图 229、幂函数yx的性质及图象变化规律：,1,1）；1 y2x3x1（）全部幂函数在（0,+）都有定义,并且图象都过点（）当0 时,幂函数的图象都通过原点,并且在区间0上是增函数（）当0 时,幂函数的图象在区间0,上是减函数3yx3yx222y1 2-21 1 21 yx-1-2-1-2-21 2-2-1-3必修 230、边长为
14、a 的等边三角形面积S正3 a 42锥1S底h（上述四个公式不要求记忆）31、柱体体积：V柱S 底h,锥体体积：V3球表面积公式：S球2 4 R,球体积公式：V4 R 3332、四个公理：假如一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内；3 过不在一条直线上的三点,有且仅有一个平面；假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且仅有一条过该点的公共直线；平行于同始终线的两条直线平行（平行的传递性）；33、等角定理：如图 1 2 空间中假如两个角的两边对应平行,那么这两个角相等或互补34、两条直线的位置关系：共面直线平行：（在同一平面内,没有公共点）相交：（在同一平面内,有一个公共点）异
15、面直线：（不同在任何一个平面内的两条直线,没有公共点）直线与平面的位置关系：（1）直线在平面上； （2）直线在平面外（包括直线与平面平行,直线与平面相交）两个平面的位置关系： （1）两个平面平行； （2）两个平面相交35、直线与平面平行：定义 一条直线与一个平面没有公共点,就这条直线与这个平面平行；判定 平面外一条直线与此平面内的始终线平行,就该直线与此平面平行；性质 一条直线与一个平面平行,就过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行；36、平面与平面平行：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 19 页 - - - - -
16、 - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -定义 两个平面没有公共点,就这两平面平行；判定 如一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,就这两个平面平 行；性质 假如两个平面平行,就其中一个面内的任始终线与另一个平面平行； 假如两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们交线平行；37、直线与平面垂直：定义 假如一条直线与一个平面内的任始终线都垂直,就这条直线与这个平面垂直；判定 一条直线与一个平面内的两相交直线垂直,就这条直线与这个平面垂直；性质 垂直于同一平面的两条直线平行；两平行直线中的一条与一个平面垂直,就另一条也与这个平面垂直
17、；38、平面与平面垂直：定义 两个平行相交,假如它们所成的二面角是直二面角,就这两个平面垂直；判定 一个平面过另一个平面的垂线,就这两个平面垂直；性质 两个平面垂直,就一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直；39、三角形的五“ 心”（1） O 为 ABC 的外心（各边垂直平分线的交点）. 外心到三个顶点的距离相等（2） O 为 ABC 的重心（各边中线的交点）. 重心将中线分成 2：1 的两段（3） O 为 ABC 的垂心（各边高的交点）. （4） O 为 ABC 的内心（各内角平分线的交点）. 内心到三边的距离相等（5） O 为 ABC 的 A 的旁心（各外角平分线的交点）. 40、直线
18、的斜率：1 过Ax 1,y 1,Bx 2,y 2两点的直线,斜率ky2y 1,（x 1x 2）l 1l2x 2x 1（2）已知倾斜角为的直线,斜率ktan（0 900时,（3）曲线yfx在点（x0y 0处的切线,其斜率kfx041、直线位置关系：已知两直线l1:yk1xb 1,l2:yk2xb 2,就l1/l2k1k2且b 1b 2l1l2k 1k 21特别情形：（1）当k 1,k2都不存在时,l 1/ l2；（2）当1k 不存在而k 242、直线的五种方程：点斜式yy 1k xx 1 直线 l 过点x 1y 1,斜率为 k 斜截式ykxb 直线 l 在 y 轴上的截距为b ,斜率为 k .
19、两点式yy 1xx 1 直线过两点x 1y 1与x 2y2. y2y 1x 2x 10） 第 6 页,共 19 页 截距式xy1（a,b分别是直线在x 轴和 y 轴上的截距,均不为ab细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -一般式AxByC0其中 A、B 不同时为 0；可化为斜截式：yAxCBB43、（1）平面上两点A x 1,y 1,Bx2,y2间的距离公式：|AB|=x 1x22y1y22z 22（ 2）空间两点A x 1
20、,y 1,z 1,B x 2,y 2,z 2距离公式 |AB|=x 1x22y 1y22z 1（ 3）点到直线的距离d|Ax0ABy02C|点P x 0,y 0,直线l：AxByC0. 2B44、两条平行直线AxByC 10与AxByC20间的距离公式：dC12C22AB20 0注：求直线AxByC0的平行线,可设平行线为AxBym0,求出 m 即得；45、求两相交直线A1xB 1yC 10与A2xB2yC20的交点：解方程组A A1 x2 xB 1 yB 2 yC 1C46、圆的方程：圆的标准方程xa 2yb 2r2. 其中圆心为a,b,半径为 r; ; 圆的一般方程2 xy2DxEyF0.
21、 其中圆心为D,E,半径为rD2E24F,其中D2E24F 0 22247、直线AxByC0与圆的xa2yb 2r2位置关系（1）dr相离0; 其中 d 是圆心到直线的距离,且dAaA2BbBC（2）dr相切0; 2（3）dr相交0. 48、直线与圆相交于A x 1,y 1,Bx2,y2两点,求弦AB长度的公式： （1）|AB|2r2d2（2）|AB|1k2x1x224x 1x2（结合韦达定理使用） ,其中 k 是直线的斜率49、两个圆的位置关系：设两圆的圆心分别为O1, O2,半径分别为r1,r2,O 1 O 2d1）dr 1r2外离4 条公切线; 2）dr 1r 2外切3 条公切线3）r
22、1r2dr 1r 2相交2 条公切线; 4）dr 1r 2内切1 条公切线5）0dr 1r2内含无公切线必修公式表50、算法： 是指可以用运算机来解决的某一类问题是程序或步骤,有效的,而且能够在有限步之内完成 . 51、程序框图及结构这些程序或步骤必需是明确和细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 19 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -程序框名称功能起止框输入、输出框处理框表示一个算法的起始和终止,是任何流程图不可少的；表示一个算法输入和
23、输出的信息,可用在算法中任何需要输入、输出的位置；赋值、 运算, 算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内；52、算法的三种基本规律结构判定框判定某一条件是否成立,成立时在出口处标明“ 是” 或“Y” ；不成立时标明“ 否” 或“N” ；：次序结构、条件结构、循环结构；53、三种抽样方法的区分与联系类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范畴简洁随机抽从总体中逐个抽取 总体中个体数较少样各层抽样可采纳分层 抽取过程 将总体分成几层 总体有差异明显的几部简洁随机抽样或抽样 中每个个体 进行抽取 分组成系统抽样被抽取的概将总体平均分成率相等 在起始部分抽样几部分,按事先确
24、系统抽样 时采纳简洁随机 总体中的个体较多定的规章分别在各抽样部分抽取54、（1）频率分布直方图（留意其纵坐标是“ 频率 /组距）极差 频数 频率组数,频率,小矩形面积 组距 频率；组距 样本容量 组距（ 2）数字特点 众数：一组数据中,显现次数最多的数；中位数：一组数从小到大排列,最中间的那个数（如最中间有两个数,就取其平均数）；平均数：x 1 x 1 x 2 x n 方差 : s = 2 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 3 x 2 x n x 2n n标准差：s 1x 1 x 2x 2 x 2x n x 2注：通过标准差或方差可以判定一组数n据的分散程度；其值越小,数据越集中；其值
25、越大,数据越分散；回来直线方程：y.bxa,其中binxiiyinxy,ayb x 第 8 页,共 19 页 1x2n x2n细心整理归纳 精选学习资料 i1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -55、大事的分类：（1）必定大事： 必定大事 是每次试验都肯定显现的大事；P（必定大事） =1 （2）不行能大事：任何一次试验都不行能显现的大事称为 不行能大事 ；P（不行能大事）=0 （3）随机大事：随机试验的每一种结果或随机现象的每一种表现称作 随机大事
26、 ,简称为 大事基本领件：一个大事假如不能再被分解为两个或两个以上大事,称作 基本领件 ；56、在 n 次重复试验中,大事 A 发生的次数为 m,就大事 A 发生的频率为 m/n,当 n 很大时, m总是在某个常数值邻近摇摆,就把这个常数叫做大事 A 的概率；（概率范畴：0 P A 1）57、互斥大事概念：在一次随机大事中,不行能同时发生的两个大事,叫做互斥大事（如图 1）；假如大事 A 、B 是互斥大事,就 P（A+B ）=P（A）+P（ B）58、对立大事（如图 2）：指两个大事不行能同时发生,但必有一个发生；A B 图 1 对立大事性质：P（A）+P（ A ）=1,其中 A 表示大事 A
27、 的对立大事；59、古典概型是最简洁的随机试验模型,古典概型有两个特点：A B （ 1）基本领件个数是有限的；图（ 2）（ 2）各基本领件的显现是等可能的,即它们发生的概率相同60、设一试验有 n 个等可能的基本领件,而大事 A 恰包含其中的 m 个基本领件,就大事 A 的概率 PA 公式为A 包含的基本领件的个数 mP A = 基本领件的总数 n运用互斥大事的概率加法公式时,第一要判定它们是否互斥,再由随机大事的概率公式分别求它们的概率,然后运算；在运算某些大事的概率较复杂时,可转而先示对立大事的概率；61、几何概型的概率公式：P A 构成大事 A 的区域长度 面积或体积 试验的全部结果构成
28、的 区域长度 面积或体积 必修公式表 r62、终边相同角构成的集合：| 2 k , k Z63、弧度运算公式：l lr1 1 264、扇形面积公式：S lr r 为弧度 2 265、三角函数的定义：已知 P x , y 是 的终边上除原点外的任一点 Px,y 就 sinr y,cos xr,tan yx , 其中 r 2x 2y 2 r x y 66、三角函数值的符号+ + + + + + sin cos tan细心整理归纳 精选学习资料 第 9 页,共 19 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - -
29、 - - - - - - - - - - - - -67、特别角的三角函数值：2 3 5 30 6 4 3 2 3 4 6 2sin 0 1 2 3 1 3 2 10 -1 2 2 2 2 2 2cos 1 3 2 10 -1-2-3-1 0 2 2 2 2 2 2tan 0 3 3 1 3 不存在-3-1 -3 3 0 不存在68、同角三角函数的关系：sin 2cos 2,1 tan sincos69、和角与差角公式：二倍角公式：sin sin cos cos sin ; sin 2 2 sin cos2 2 2cos cos cos sin sin ; cos 2 cos sin 1 2
30、sin2tan tan 2tan 2 cos 1tan . tan 2 21 tan tan 1 tan70、诱导公式 记忆口诀：奇变偶不变 ,符号看象限；其中,奇偶是指 的个数 ,符号参考第 66 条. 2sin 2 k sin sin sin sin sin sin sincos 2 k cos cos cos cos cos cos costan 2 k tan tan tan tan tan tan tansin cos cos sin sin cos cos sin2 2 2 271、帮助角公式：a sin b cos = a 2b 2 sin 帮助角 所在象限与点 , a b 的象
31、限相同 , 且 tan b . 主要在求周期、单调性、最值时运用；如 y 3 sin x cos x 2 sin x a 672、半角公式 降幂公式 ：sin 2 1 cos,cos 2 1 cos2 2 2 273、三角函数 y A sin x 的性质（A 0 , 0）2 1（ 1）最小正周期 T；振幅为 A；频率 f；相位：x；初相：；值域： A , A ；T对称轴：由 x k 解得 x；对称中心：由 x k 解得 x 组成的点 x , 0 2（ 2）图象平移：x 左加右减、y 上加下减；例如：向左平移 1 个单位,解析式变为 y A sin x 1 细心整理归纳 精选学习资料 第 10
32、页,共 19 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -向下平移 3 个单位,解析式变为yAsin x3（ 3）函数ytanx的最小正周期T. 74、正弦定理：在一个三角形中,各边与对应角正弦的比相等；abcC2 RR 是三角形外接圆半径 B x sinAsinBsin75、余弦定理：c o s Ab2c2a2,A bC aa2b2c22 bccosA ,2bcc o s Bc2a2b2,cb2c2a22 cacos B,推论2ca2 ca2b22abcos C.c o s Ca2b2c2.2ab76、三角形的面积公式：S ABC1absinC1acsinB1bcsinA .222x77、三角函数的图象与性质和性质ycosxytan三角函数ysinxx y 1 x y y 图象-1 20 -1 2- 20 -1 22- 20 23 2定义域,k2,k2值域-1 ,1 -1,1 ,最大值x22k,ymax1x2k,ymax12k1x2k,y min1最小值x22k,ymin2周期2奇偶性奇函数偶函数奇函数在22k,22k在2k,2k在2k,2单调性上是增函数上是增函