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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第三章 三角函数章节结构图三角函数是高中数学的一个重要学问板块,也是高考的热点和重点内容在考察中, 以简洁题和中档题为主在复习本部分内容时,应当充分利用数形结合的思想,把图象和性质有机结合利用图 象的直观性得出函数的性质,同时也要学会利用函数的性质来描画函数的图象而在三角变 换中,角的变换,三角函数名称的转变,三角函数次数的变换,三角函数表达形式的变换,频繁显现因此,在训练中,要清晰各种公式,以及它们之间的联系,留意总结规律,并在 应用中留意分析比较,提高才能31 三角函数的概念 一复习指导 1明白任意角的概念,明白弧度制概念,能进行弧度与角度
2、的互化2懂得任意角三角函数正弦、余弦、正切的定义,把握任意角的三角函数在各个象限的符号3会应用三角函数线解决与三角函数有关的简洁问题二解题方法指导 例 1写出与 60终边相同的角的集合 S,并把 S 中满意 2 4 的元素 写出来例 2已知角 终边上有一点 Px,1,且 cos 1,求 sin,tan2例 3求函数fx sinx1的定义域2例 4已知 0,比较sin2,tan2的大小三体会与感受 1重点学问 _ _ 2问题与困惑 _ _ 3体会问题梳理 _ _ 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3 2 同角三角函数
3、关系及诱导公式 一复习指导1懂得同角三角函数的基本关系式：sin2x,cos2x,1sinxtanx .cosx2能利用单位圆中的三角函数线推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式23能综合运用诱导公式和同角关系式对代数式进行化简二解题方法指导 例 1已知 tanx=2,求 sinx,cosx 的值例 2求tan120cos 210sin480的值tan690sin150cos 330例 3如sinxcosx,2,求 sinxcosx 的值sinxcosx例 4求证： tan2x sin 2x=tan2xsin2x三体会与感受 1重点学问 _ _ 2问题与困惑 _ _ 3体会问题梳理 _ _ 3 3
4、 三角函数的图象与性质 一 一复习指导 1能画出 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象,明白三角函数的周期性2懂得正弦函数、余弦函数在区间0,2的性质 如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3懂得正切函数在区间,的单调性22二解题方法指导函数正弦函数余弦函数正切函数图象定义域 值域 周期 奇偶性单调性增区间 减区间ysin x增区间增区间减区间减区间对称性对称轴 对称中心对称轴对称轴对称中心对称中心例 1用五点法画出函数草图,并求出函数的周期,单调区间,对称轴,3对
5、称中心例 2求函数y2sinx在区间 0,2上的值域62例 3求以下函数的值域1y sin 2xcosx+2；2 y2sinxcosxsinxcosx例 4求函数y1sinx的值域3cosx三体会与感受 1重点学问 _ _ 2问题与困惑 _ _ 3体会问题梳理 _ _ 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3 4 三角函数的图象与性质 二 一复习指导1明白函数y=Asin x+的物理意义；能画出y=Asinx+的图象,明白参数A, 对函数图象变化的影响2明白三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些
6、简洁实 际问题二解题方法指导 例 1在同一个坐标系中,用五点法画出以下函数的草图1ysinx,yfsinx 3;x2ysin2x,ysin2x.3例 2已知函数x sin2,该函数的图象可以由y=sinx 的图象经过怎样的平6移和伸缩变换得到例 3如函数y=Asin x+0,0的图象的一个最高点为 2 ,2,它到其相邻的最低点之间的图象与 x 轴交于 6,0,求这个函数的一个解析式例 4已知函数 fx=cos4x2sinxcosxsin 4x求 fx的最小正周期； 如x,0,求 fx的最大值、最小值2三体会与感受1重点学问 _ _ 2问题与困惑 _ _ 3体会问题梳理 _ _ 35和、差、倍角
7、的三角函数一 一复习指导1把握两角差的余弦公式,能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式2能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,明白它们的内在联系3能用上述公式解决一些化简和求值问题名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二解题方法指导例 1如1 1tanxx5,就tan x 4的值为 D5 5tanxA5xcos2B5C5 5x2sin2例 2sin_4例 3已知tan 4x 1求sin2x22 cosx的值21cos2x例 4已知 fcosx=cos2x.
8、求fcos的值；求 fsinx16三体会与感受 1重点学问 _ _ 2问题与困惑 _ _ 3体会问题梳理 _ _ 36和、差、倍角的三角函数二 一复习指导 1能利用三角函数公式对一些代数式进行化简和求值2把握 Asinx+Bcosx 型代数式变形方法二解题方法指导名师归纳总结 例 1已知cos4 5,就cos yD72第 5 页,共 14 页24A2 102C72B101010例 2fxcos2 x23sinxcosx的最小值为 _x5 13,求 cosy 的值,cos3,且y,且sin例 3已知：0xx225- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 4已
9、知0,sin3,cos4,求 sin255三体会与感受 1重点学问 _ _ 2问题与困惑 _ _ 3体会问题梳理 _ _ 正弦定理和余弦定理 37 一复习指导 1把握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简洁的三角形度量问题2能够运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些与测量和几何运算有关的实际 问题二解题方法指导 例 1在 ABC 中, a bc3 57,就其最大角为 _例 2在 ABC 中,有 acosA=bcosB,判定ABC 的外形例 3在 ABC 中, A=60,面积为 10 3,周长为 20,求三条边的长例 4在一条河的对岸有两个目标物A,B,但不能到达在岸边选取相距23里的 C,D
10、两点,并测得ACB=75, BCD =45, ADC =30, ADB=45,且 A,B,C,D 在同 一个平面内,求 A,B 之间的距离三体会与感受 1重点学问 _ _ 2问题与困惑 _ _ 3体会问题梳理 _ _ 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 题 解 析第三章 三角函数31 三角函数的概念例 1 分析：先把角转化成弧度制,然后写出与其终边相同角的集合解： 由于60o,所以S|2 k,kZ,也可33S中满意 24 的元素有,5 ,11333例 2 分析： 已知一个角的一个函数值,可以利用三角函数定义求其它
11、三角函数值,以利用同角关系直接求得解： 由于 Px,1在角 的终边上,所以,rxx24,cosxx11,3,所以sin3,tan3 .22解得3,又由于 x0,所以x332小结： 知道一个角某个三角函数值,之一求其它的函数值, 是三角函数求值问题中典型问题例 3 解：由于sin x10,所以sin x1 2,kZ,利用三角形函数线得到,2当sin x1时,x或x2k52k 266x2k ,2k5 6,kZ.6例 4 分析：比较不同三角函数值的大小,可以充分利用三角函数线名师归纳总结 解： 由于 0, ,所以20 ,如图 31 2,在单位圆中,作出2的正弦线第 7 页,共 14 页2MP 和正切
12、线 AT,由于 SOAPSOAT,所以1|OA|MP|1|OA|AT|,22即 MP AT,所以sin2tan2小结： 例 3 和例 4 都是三角形函数线的应用,其中例 4 仍可以利用比较法来解决,实际- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 上有x0 ,时, sinx xtanx232 同角三角函数关系及诱导公式例 1 分析：知道一个角某个三角函数值,求其它函数值,方程思想是通法解： 由于tanxsinx2,又 sin 2x cos 2x=1,cosx联立得sinxx2cosx,1sin22 cosx解这个方程组得sinx25,sinx25.55cosx5c
13、osx555小结： 这道题和 3.1.1 中的例 2 属于同一类型问题例 2 分析： 这种代数式化简, 一般要用到诱导公式和同角函数关系,要留意公式的正确使用,特殊是函数名称和符号的变化方法解： 原式tan120180cos 18030sin360120tan720o 30sin150cos 36030tan60cos30sin12033 .tan30sin150cos 30例 3 分析：这种代数式求值,可以利用方程组的思想,求出每个函数值,也可以利用sinxcosx 与 sinxcosx 的关系,整体求值解： 法一：由于sinxcosx2 ,sinxcosx所以 sinxcosx=2sinx
14、cosx,得到 sinx=3cosx,又 sin 2xcos 2x=1,联立方程组,解得名师归纳总结 sinx310sin,x310,第 8 页,共 14 页1010cosx1010cosx1010所以sinxcosx3 10- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 法二：由于 sin x cos x 2 ,sin x cos x所以 sinxcosx=2sinxcosx,所以 sinxcosx 2=4sin xcosx 2,所以 12sinxcosx=48sinxcosx,所以有sinxcosx310小结： 这两种方法中,第一种是通法,其次种利用了整体求值例
15、 4 分析：这种证明问题,可以从左边开头变形,向右边看齐,也可以反过来,仍有的时候是两边同时变形在变形的时候, 要留意公式的正确使用,同时要时刻留意目标是什么证明： 法一：右边tan 2xsin 2x=tan 2xtan 2xcos 2x=tan 2x1cos 2x=tan 2xsin 2x,问题得证法二：左边 =tan2xsin 2x=tan2x1cos 2x=tan2xtan 2xcos 2x=tan2xsin 2x,问题得证33 三角函数的图象与性质一 例 1 解：xx 0 3 23222 7 5 36363y 0 1 0 1 0 周期为 T=2,单调增区间为2k 5,2k 6,kZ,6
16、单调减区间为2k ,2 k7,kZ,66对称轴为xk,kZ,6对称中心为k 3,0 ,kZ.小结： 画图的时候,要留意五个点的选取例 2 分析：在求这样函数值域的时候,最好是把括号中与x 有关的代数式的取值范畴求出来,然后利用三角函数图象求其值域解： 由于 0x2,所以0x ,x7,由正弦函数的图象,26266得到sin x 211, ,62所以 y1,2名师归纳总结 例 3 解： 1y=sin2xcosx21cos 2xcosx2=cos2xcosx3,第 9 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 令 t=cosx,就t1,1 ,yt2t
17、3t1213t1213,2424利用二次函数的图象得到 y ,1 13 .42y 2sinxcosxsinx cosx=sinxcosx 21sinxcosx,令 t=sinxcosx 2 , 2sin x ,就 t 2 , 2 就,y t t ,14利用二次函数的图象得到 y 5 1, 2 .4小结： 利用三角函数关系把代数式转化成一个二次函数形式,利用图象,求其值域, 要留意转化后自变量的取值范畴例 4 解： 设 A3,1, Pcosx,sinx,把 y 看成定点 A 与动点 P 所在直线的斜率,由于动点 Pcosx,sinx在单位圆上,所以只要求经过点 A3,1与单位圆相切的两条直线的斜
18、率,两条切线的斜率分别为 0 和 3 ,4所以 y 0 , 3 .4小结： 这是数形结合解题的一个典型问题34三角函数的图象与性质二例 1 解： 1 名师归纳总结 xx 0 3 2第 10 页,共 14 页22y 0 1 01 0 3 0 2322x 2 7 536363y 0 1 01 0 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 2x2x0 0 3 222x 0 3 424y 0 1 0 1 0 3 2322x 7 5 6123126y 0 1 01 0 例 2 分析：这种问题的难点在于确定变换的先后次序函数解： 法一：将函数y=sinx 依次作如下变
19、换：ysin x的图象；1把函数 y=sinx 的图象向左平移 个单位,得到函数 662把函数ysin x图象上各点的横坐标缩小到原先的1 ,纵坐标保持不变,得到 26ysin x的图象6法二：将函数y=sinx 依次作如下变换：1把函数 y=sinx 的图象上各点的横坐标缩小到原先的 y=sin2x 的图象1 ,纵坐标保持不变,得到函数 22把函数 y=sin2x 向左平移 个单位,得到函数 12ysin2 x,即ysin x的126图象小结： 在进行图象变换的时候,应留意平移变换和压缩变换的次序,y次序不一样,就平移的单位不一样如y=sin2x 的图象向左平移 个单位,得到函数 12sin
20、2 x,即12ysin x的图象6例 3 分析：这样的问题,第一要清晰几个参数 一个草图来分析问题A, 对函数图象的影响,可以画出名师归纳总结 解： 由最高点为2 ,2,得到A2,最高点和最低点间隔是半个周期,从而与x 轴第 11 页,共 14 页T4,T=16,所以交点的间隔是1 个周期,这样求得 448- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又由 2 2 sin 2 ,得到可以取 . y 2 sin x .8 4 8 4例 4 分析：这个函数的解析式比较复杂,我们先对其进行化简,这包括削减函数名称,降低次数,然后再求相应的问题当x解： 由于 fx=cos
21、4x2sinxcosxsin4xcos2xsin2xcos2xsin 2xsin2x 41;1cos2xsin2xsin2xcos2xsin2x2sin2x 2sin2x44所以最小正周期为如x0 ,就 x,3 ,所以当 x=0 时,fx取最大值为2sin24443时, fx取最小值为.2,835 和、差、倍角的三角函数一 例 1 解：1tanxtan 4tanxtanx5,所以tanx tan1x 1tanxtanx4451tan44选 C小结： 此题仍可以 tanx 把的值求出来,然后使用两角和的正切公式求值例 2 解：sin x cos x 22 sin 2 x 41 sin 2 x 1
22、 cos 2 x 1 sin 2 x 1 sin 2 x 2 .4例 3 解： 由于 tan x 1 tan x 1,所以 tan x 1 ,4 1 tan x 2 32 2sin 2 x 2 cos x 2 sin x cos x 2 cos x 41 cos 2 x 2 cos 2x tan x 13小结： 在求值问题中, 应当先对代数式进行化简,导出结果例 4 解： 由于fcoscos,168在化简的过程中分析如何利用条件推名师归纳总结 而2 cos1cos122242且cos0,所以cos222;,所以其最第 12 页,共 14 页428288由于fsinxfcos2x.cosx co
23、s2xcos 2x2236 和、差、倍角的三角函数二 例 1 解： 由于cos4,所以sin3,25,所以选 B5又coscoscossinsin,代入求得结果为2 10444例 2 解： 由于fxcos2x23sinxcosxcosx3sin2 x2sin2x6- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 小值为 2例 3 分析：在知值求值问题中,要留意角之间的关系解： 由于0x,cosx3,sin3,25就sinx1cos2 x45由于0x,y,所以xy3 ,2222所以cosxy12,13所以 cosy=cosxyx=cosxycosxsinxysinx 1
24、23541613513565例 4 解： 由于0 ,2所以3 ,22又cos4,所以sin3,或sin555如sin3,就由sin3,得到 =,冲突,5524所以sin3,5所以sinsinsincoscos2537 正弦定理和余弦定理例 1 解：由于三条边中 c 边最大,就角 C 最大,依据余弦定理,cosC 1,所以 C 2 2 3例 2 解： 由正弦定理,a=2RsinA, b 2RsinB,代入有 2RsinAcosA=2RsinBcosB,即sin2A=sin2B,所以 2A=2B 或 2A=2B即 A=B 或 A B,所以 ABC 为等腰三角形或2直角三角形例 3 解：由于S ABC1bcsinA103,所以 bc=40,又 ab c=20,a2=b2c22bccosA,2解得三条边为5,7,8都离不开解三角形,依据相关条件画一张比较清晰例 4 分析： 在许多实际测量问题中,的直观图,可以帮我们找到解题的思路要求 AB,可以把 AB 放到一个三角形中,看看这个三角形中仍有哪些条件,然后可以依据正余弦定理求值解： 中 ACD 中, ACD =120, ADC=30所以 DAC =30 ,所以 AC=CD=2 3 ,在 BCD 中, BCD =45 , CDB 75,名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页精选学习资料 - -