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1、 第 1 页 共 14 页 1 第三章 三角函数 章节结构图 三角函数是高中数学的一个重要知识板块，也是高考的热点和重点内容在考察中，以容易题和中档题为主 在复习本部分内容时，应该充分利用数形结合的思想，把图象和性质有机结合利用图象的直观性得出函数的性质，同时也要学会利用函数的性质来描绘函数的图象 而在三角变换中，角的变换，三角函数名称的改变，三角函数次数的变换，三角函数表达形式的变换，频繁出现因此，在训练中，要清楚各种公式，以及它们之间的联系，注意总结规律，并在应用中注意分析比较，提高能力 31 三角函数的概念(一)复习指导 1了解任意角的概念，了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化 2理解
2、任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，掌握任意角的三角函数在各个象限的符号 3会应用三角函数线解决与三角函数有关的简单问题(二)解题方法指导 例 1 写出与60终边相同的角的集合 S，并把 S 中满足2 4 的元素 写出来 例 2已知角 终边上有一点 P(x，1)，且21cos，求 sin，tan 例 3求函数21sin)(xxf的定义域 例 4已知(0，)，比较2tan,2sin的大小 (三)体会与感受 1 重点知识_ _ 2 问题与困惑_ _ 3 经验问题梳理_ _ 第 2 页 共 14 页 2 32 同角三角函数关系及诱导公式(一)复习指导 1理解同角三角函数的基本关系式：.tanc
3、ossin,1cossin22xxxxx 2能利用单位圆中的三角函数线推导出,2的正弦、余弦、正切的诱导公式 3能综合运用诱导公式和同角关系式对代数式进行化简(二)解题方法指导 例 1已知 tanx=2，求 sinx，cosx 的值 例 2求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(的值 例 3若,2cossincossinxxxx，求 sinxcosx 的值 例 4求证：tan2xsin2x=tan2xsin2x (三)体会与感受 1重点知识_ _ 2问题与困惑_ _ 3经验问题梳理_ _ 33 三角函数的图象与性质(一)(一)复习指导
4、1能画出 y=sinx，y=cosx，y=tanx 的图象，了解三角函数的周期性 2理解正弦函数、余弦函数在区间0，2 的性质(如单调性、最大和最小值、图象与 x轴交点等)第 3 页 共 14 页 3 3理解正切函数在区间)2,2(的单调性(二)解题方法指导 函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 图象 定义域 值域 周期 奇偶性 单调性 增区间 减区间 增区间 减区间 增区间 减区间 对称性 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 例 1用五点法画出函数)3sin(xy草图，并求出函数的周期，单调区间，对称轴，对称中心 例 2求函数)62sin(2xy在区间0，2 上的值域 例 3
5、求下列函数的值域(1)ysin2xcosx+2；(2)y2sinxcosx(sinxcosx)例 4求函数xxycos3sin1的值域 (三)体会与感受 1 重点知识_ _ 2 问题与困惑_ _ 3 经验问题梳理_ _ 第 4 页 共 14 页 4 34 三角函数的图象与性质(二)(一)复习指导 1了解函数 y=Asin(x+)的物理意义；能画出 y=Asin(x+)的图象，了解参数 A，对函数图象变化的影响 2了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题(二)解题方法指导 例 1在同一个坐标系中，用五点法画出下列函数的草图(1);3sin(,sinxyxy(
6、2).32sin(,2sinxyxy 例 2已知函数)62sin()(xxf，该函数的图象可以由 y=sinx 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到 例 3若函数 y=Asin(x+)(0，0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与 x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式 例 4已知函数 f(x)=cos4x2sinxcosxsin4x()求 f(x)的最小正周期；()若,2,0 x求 f(x)的最大值、最小值 (三)体会与感受 1 重点知识_ _ 2 问题与困惑_ _ 3 经验问题梳理_ _ 35 和、差、倍角的三角函数(一)(一)复习指导 1掌握两角差的余弦公式
7、，能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式 2能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系 3能用上述公式解决一些化简和求值问题 第 5 页 共 14 页 5(二)解题方法指导 例 1若5tan1tan1xx，则)4tan(x的值为 ()(A)5(B)5(C)55(D)55 例 2)4(sin2)cos(sin22xxx_ 例 3已知21)4tan(x求xxx2cos1cos22sin2的值 例 4已知 f(cosx)=cos2x.()求)16(cos(f的值；()求 f(sinx)(三)体会与感受 1 重点知识_ _ 2
8、 问题与困惑_ _ 3 经验问题梳理_ _ 36 和、差、倍角的三角函数(二)(一)复习指导 1能利用三角函数公式对一些代数式进行化简和求值 2掌握 Asinx+Bcosx 型代数式变形方法(二)解题方法指导 例 1已知),2(,54cos，则)4cos()(A)102(B)102(C)1027(D)1027 例 2xxxxfcossin322cos)(的最小值为_ 例 3已知：53cos,20 xx，且2 y，且135)sin(yx，求 cosy 的值 第 6 页 共 14 页 6 例 4已知54)cos(,53sin,20，求 sin (三)体会与感受 1 重点知识_ _ 2 问题与困惑_
9、 _ 3 经验问题梳理_ _ 37 正弦定理和余弦定理(一)复习指导 1掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 2能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题(二)解题方法指导 例 1在ABC 中，abc357，则其最大角为_ 例 2在ABC 中，有 acosA=bcosB，判断ABC 的形状 例 3在ABC 中，A=60，面积为310，周长为 20，求三条边的长 例 4在一条河的对岸有两个目标物 A，B，但不能到达在岸边选取相距32里的 C，D 两点，并测得ACB=75，BCD=45，ADC=30，ADB=45，且 A，B，C，D 在同一个平
10、面内，求 A，B 之间的距离 (三)体会与感受 1 重点知识_ _ 2 问题与困惑_ _ 3 经验问题梳理_ _ 第 7 页 共 14 页 7 例 题 解 析 第三章 三角函数 31 三角函数的概念 例 1 分析：先把角转化成弧度制，然后写出与其终边相同角的集合 解：因为360o，所以,32|ZkkS S 中满足24 的元素有311,35,3 例 2 分析：已知一个角的一个函数值，可以利用三角函数定义求其它三角函数值，也可以利用同角关系直接求得 解：因为 P(x，1)在角 的终边上，所以，,211cos,422xxxr 解得,33x又因为 x0，所以,33x所以.3tan,23sin 小结：知
11、道一个角某个三角函数值，求其它的函数值，是三角函数求值问题中典型问题之一 例 3 解：因为021sinx，所以,21sinx 当21sinx时，62 kx或,652Zkkx利用三角形函数线得到，.,652,62Zkkkx 例 4 分析：比较不同三角函数值的大小，可以充分利用三角函数线 解：因为(0，)，所以)2,0(2，如图 312，在单位圆中，作出2的正弦线MP 和正切线 AT，因为 SOAPSOAT，所以|,|21|21ATOAMPOA 即MPAT，所以2tan2sin 小结：例 3 和例 4 都是三角形函数线的应用，其中例 4 还可以利用比较法来解决，实际 第 8 页 共 14 页 8
12、上有)2,0(x时，sinxxtanx 32 同角三角函数关系及诱导公式 例 1 分析：知道一个角某个三角函数值，求其它函数值，方程思想是通法 解：因为2cossintanxxx，又 sin2xcos2x=1，联立得，1cossincos2sin22xxxx 解这个方程组得.55cos552sin,55cos552sinxxxx 小结：这道题和 3.1.1 中的例 2 属于同一类型问题 例 2 分析：这种代数式化简，一般要用到诱导公式和同角函数关系，要注意公式的正确使用，特别是函数名称和符号的变化方法 解：原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30
13、180cos()180120tan(o.3330cos)150sin(30tan)120sin)(30cos(60tan 例 3 分析：这种代数式求值，可以利用方程组的思想，求出每个函数值，也可以利用sinxcosx 与 sinxcosx 的关系，整体求值 解：法一：因为,2cossincossinxxxx 所以 sinxcosx=2(sinxcosx)，得到 sinx=3cosx，又 sin2xcos2x=1，联立方程组，解得，1010cos10103sin1010cos10103sinxxxx 所以103cossinxx 第 9 页 共 14 页 9 法二：因为,2cossincossin
14、xxxx 所以 sinxcosx=2(sinxcosx)，所以(sinxcosx)2=4(sinxcosx)2，所以 12sinxcosx=48sinxcosx，所以有103cossinxx 小结：这两种方法中，第一种是通法，第二种利用了整体求值 例 4 分析：这种证明问题，可以从左边开始变形，向右边看齐，也可以反过来，还有的时候是两边同时变形 在变形的时候，要注意公式的正确使用，同时要时刻注意目标是什么 证明：法一：右边tan2xsin2x=tan2x(tan2xcos2x)=tan2x(1cos2x)=tan2xsin2x，问题得证 法二：左边=tan2xsin2x=tan2x(1cos2
15、x)=tan2xtan2xcos2x=tan2xsin2x，问题得证 33 三角函数的图象与性质(一)例 1 解：3x 0 2 23 2 x 3 6 32 67 35 y 0 1 0 1 0 周期为 T=2，单调增区间为,),62,652(Zkkk 单调减区间为,),672,62(Zkkk 对称轴为,6Zkkx 对称中心为.),0,3(Zkk 小结：画图的时候，要注意五个点的选取 例 2 分析：在求这样函数值域的时候，最好是把括号中与 x 有关的代数式的取值范围求出来，然后利用三角函数图象求其值域 解：因为 0 x2，所以,67626,20 xx由正弦函数的图象，得到,1,21)62sin(x
16、 所以 y1，2 例 3 解：(1)y=sin2xcosx21cos2xcosx2=(cos2xcosx)3，第 10 页 共 14 页 10 令 t=cosx，则,413)21(413)21(3)(,1,1222ttttyt 利用二次函数的图象得到.413,1 y(2)y2sinxcosx(sinxcosx)=(sinxcosx)21(sinxcosx)，令 t=sinxcosx2，)4sin(x，则2,2t则，,12tty 利用二次函数的图象得到.21,45y 小结：利用三角函数关系把代数式转化成一个二次函数形式，利用图象，求其值域，要注意转化后自变量的取值范围 例 4 解：设 A(3，1
17、)，P(cosx，sinx)，把 y 看成定点 A 与动点 P 所在直线的斜率，因为动点 P(cosx，sinx)在单位圆上，所以只要求经过点 A(3，1)与单位圆相切的两条直线的斜率，两条切线的斜率分别为 0 和,43 所以.43,0y 小结：这是数形结合解题的一个典型问题 34 三角函数的图象与性质(二)例 1 解：(1)x 0 2 23 2 y 0 1 0 1 0 3x 0 2 23 2 x 3 6 32 67 35 y 0 1 0 1 0 第 11 页 共 14 页 11 (2)2x 0 2 23 2 x 0 4 2 43 y 0 1 0 1 0 32 x 0 2 23 2 x 6 1
18、2 3 127 65 y 0 1 0 1 0 例 2 分析：这种问题的难点在于确定变换的先后顺序 解：法一：将函数 y=sinx 依次作如下变换：(1)把函数 y=sinx 的图象向左平移6个单位，得到函数)6sin(xy的图象；(2)把函数)6sin(xy图象上各点的横坐标缩小到原来的21，纵坐标保持不变，得到函数)62sin(xy的图象 法二：将函数 y=sinx 依次作如下变换：(1)把函数 y=sinx 的图象上各点的横坐标缩小到原来的21，纵坐标保持不变，得到函数y=sin2x 的图象(2)把函数 y=sin2x 向左平移12个单位，得到函数)12(2sinxy，即)62sin(xy
19、的图象 小结：在进行图象变换的时候，应注意平移变换和压缩变换的顺序，顺序不一样，则平移的单位不一样如 y=sin2x 的图象向左平移12个单位，得到函数)12(2sinxy，即)62sin(xy的图象 例 3 分析：这样的问题，首先要清楚几个参数 A，对函数图象的影响，可以画出一个草图来分析问题 解：由最高点为)2,2(，得到2A，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与 x 轴交点的间隔是41个周期，这样求得44T，T=16，所以8 第 12 页 共 14 页 12 又由)28sin(22，得到可以取).48sin(2.4xy 例 4 分析：这个函数的解析式比较复杂，我们先对其进行化简，这包括减
20、少函数名称，降低次数，然后再求相应的问题 解：()因为 f(x)=cos4x2sinxcosxsin4x(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)sin2x)42sin(2)24sin(22sin2cos2sin)sin(cos22xxxxxxx 所以最小正周期为 ()若2,0 x，则43,4)42(x，所以当 x=0 时，f(x)取最大值为;1)4sin(2当83x时，f(x)取最小值为.2 35 和、差、倍角的三角函数(一)例 1 解：5)4tan(tan4tan1tan4tantan1tan1xxxxx，所以,51)4tan(1)4tan(xx 选 C 小结：本题还可以 tanx
21、把的值求出来，然后使用两角和的正切公式求值 例 2 解：)4(sin2)cos(sin22xxx.22sin12sin1)4(2cos12sin1xxxx 例 3 解：因为21tan1tan1)4tan(xxx，所以,31tanx 341tancos2cos2cossin22cos1cos22sin222xxxxxxxx 小结：在求值问题中，应该先对代数式进行化简，在化简的过程中分析如何利用条件推导出结果 例 4 解：()因为,8cos)16(cos(f 而422222124cos18cos2且08cos，所以;2228cos()因为.2cos)2cos()2(2cos()2(cos()(si
22、nxxxxfxf 36 和、差、倍角的三角函数(二)例 1 解：因为),2(,54cos，所以,53sin 又sin4sincos4cos)4cos(，代入求得结果为,102所以选 B 例 2 解：因为)26sin(22sin3coscossin322cos)(xxxxxxxf，所以其最 第 13 页 共 14 页 13 小值为2 例 3 分析：在知值求值问题中，要注意角之间的关系 解：因为,53cos,20 xx 则54cos1sin2xx 因为2,20yx，所以,232yx 所以,1312)cos(yx 所以 cosy=cos(xy)x=cos(xy)cosxsin(xy)sinx 651
23、654135531312 例 4 解：因为,20 所以,232 又54)cos(，所以53)sin(，或,53)sin(若53)sin(,则由53sin，得到=，矛盾，所以,53)sin(所以2524sin)cos(cos)sin()sin(sin 37 正弦定理和余弦定理 例 1 解：因为三条边中 c 边最大，则角 C 最大，根据余弦定理，21cosC，所以32C 例 2 解：由正弦定理，a=2RsinA，b2RsinB，代入有 2RsinAcosA=2RsinBcosB，即sin2A=sin2B，所以 2A=2B 或 2A=2B即 A=B 或2 BA，所以ABC 为等腰三角形或直角三角形
24、例 3 解：因为310sin21AbcSABC，所以 bc=40，又 abc=20，a2=b2c22bccosA，解得三条边为 5，7，8 例 4 分析：在很多实际测量问题中，都离不开解三角形，根据相关条件画一张比较清晰的直观图，可以帮我们找到解题的思路 要求 AB，可以把 AB 放到一个三角形中，看看这个三角形中还有哪些条件，然后可以根据正余弦定理求值 解：中ACD 中，ACD=120，ADC=30 所以DAC=30，所以AC=CD=23，在BCD 中，BCD=45，CDB75，第 14 页 共 14 页 14 所以CBD=60，由正弦定理,60sin|75sin|,ooCDBC 所以,2660sin75sin|ooCDBC 在ABC 中，BCA=75，根据余弦定理，AB2=AC2BC22ACBCcos75，求得 AB2=20，52|AB