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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 经济数学线性代数学习讲义合川电大兰冬生1,矩阵：A =012,称为矩阵；熟悉矩阵第一步：行与列,横为行,竖为列,114210第一行依次 0,1,2 ,其次行 1,1,4 第一列 0,1,2 这是一个三行三列矩阵,再给出一个三行四列矩阵A25231213214612教材概念的 m行 n 列矩阵；a 11 a 12 a 1 na 21 a 22 a 2 n,这个矩阵记作 A m n, 说明这个矩阵有 m 行, n 列 ,留意a m 1 a m 2 a mn行 m 写在前面 ,列 n 写在后面,括号里面的称为元素,记为 ija , i 是行, j 是
2、列,例如：2 5 2 31 2 1 3 是三行四列矩阵,也说成 3 4 矩阵,留意行 3 在前面,列2 14 6 124 在后面,这里 a 11 2（就是指的第一行第一列那个数）a 23 1（就是指的其次行第三列那个数）2,矩阵加法矩阵加法,满意行列相同的矩阵才能相加,对应位置的数相加；010012022例如：101+114=215110210120减法是对应位置的数相减；, 3,矩阵的乘法矩阵乘法参看以下法就：留意字母对应1 / 23 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - a11a12a 13b 11b 12b 13
3、a21a22a23b21b 22b23b32a11b 13a12b23a13b 33a31a32a33b31b 32b33a11b 11a 12b21a 13b 31a 11b 12a 12b 22a13a21b 11a22b21a23b 31a21b 12a22b 22a 23b 32a21b 13a22b23a23b 33a31b 11a 32b21a33b 31a 31b 12a32b 22a33b32a31b 13a32b23a33b 33说明：留意角标,角标是23,就a11a12a 13b 11b 12b 13c11c12c 13是其次行乘以第三列a21a22a23b21b 22b2
4、3=c21c22c23a31a32a33b31b 32b33c31c32c 33a 乘以其次个矩阵的第乘积的结果矩阵c 等于第一个矩阵的第一行元素a 11a 12一列元素b 11b 21b ,留意是对应元素相乘,再求和；a23乘以其次个矩阵的第乘积的结果矩阵c 等于第一个矩阵的其次行元素a 21a22一列元素b 11b 21b ；依次类推, 结果元素ijc 等于第 i 行乘以第 j 列,对应元素相乘,再求和举例：6 31 0 2矩阵 A =,B = 1 2,1 2 04 16 31 0 2 2 1AB = 1 2 =1 2 0 4 14 1第一行乘以第一列,1 6 0 1 2 4 2 第一行乘
5、以其次列,1 3 0 2 2 1 1其次行乘以第一列,1 6 2 1 0 4 4其次行乘以其次列,1 3 2 2 0 1 1可以乘的条件：第一个矩阵的列数和其次个矩阵的行数必需相同,就是 尾首必须相同,A mB w v 可以乘必需是 A矩阵脚标的尾 n 等于 B 矩阵脚标的首 w相等,2 / 23 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - n w例如 :A 23B 33可乘A 2B43不行乘,v矩阵只要尾首相同就可乘,A mnBwv乘积为m例如 :A 23B 33可乘,乘积结果为C23矩阵A 4B 32可乘,乘积结果为C4
6、2矩阵矩阵的数乘 ,一个数乘以一个矩阵,等于这个矩阵的每个元素乘以这个数例： A =102,3A =306. ABBA120360矩阵的乘法可以看出,矩阵的乘法不行交换,一般情形下4,矩阵的转置矩阵 A 转置矩阵记为T A , ！T是 3 2 矩阵（ 3转置就是把矩阵的行列元素对调,也可以看成沿主对角线翻转012012A =114,就AT111210240主对角线主对角线A102, 就AT110212020主对角线主对角线从这里看出,下面一个矩阵A 是 2 3 矩阵（ 2 行 3 列）就 A行 2 列）,2022年 1 月考题：AC TB T 有意义,就C 为设 A 为 3 4 矩阵, B 为
7、 5 2 矩阵,且乘积矩阵（ B ）矩阵；A. 4 2 B. 2 4 C. 3 5 D. 5 3 分析：依据尾首相同法 AC TB T可表示为（ 3 4）（是 4 2,留意是 C T,所以 C 就是 2 4；对称矩阵：对称矩阵的元素依主对角线对称：102）（ 2 5）,中间一个就1设Aa03,当 a0 时, A是对称矩阵2313 / 23 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5,求矩阵的逆预备学问 ：（1）,在数的学习中,数的单位是1,311,0,并且,单位31001 以外,其余全是矩阵的单位是I010,除主对角是0
8、01矩阵全是方阵（行数与列数相等）任何矩阵乘以单位阵不变 AI=A,（可以试一试）1 0 0例, 3 阶单位阵, I = 0 1 0,我们以 3 阶阵来说逆,0 0 10 1 2已知 A = 1 1 42 1 0与前面 3 1 1 类似,能不能找到一个矩阵,使得 A 乘以这个矩阵等于单位3阵？记为 AA 1 I , A 1称为 A 的逆,（2）矩阵的初等变换,将矩阵的任意两行互换,把某一行乘以一个数（指对这一行的每个元素都乘以这个数）,把某一行乘以一个数,然后加到另外一行；求逆求逆原理： A I I A 1 , 0 1 2举例： 设矩阵 A = 1 1 4,求逆矩阵 A 12 1 0分析：第一
9、步：把 A 和单位阵 I 写在一起 ,0 1 2 1 0 0 AI = 1 1 4 0 1 02 1 0 0 0 1其次步：初等变换114010,（由于第一行第一个数是0,要化成前面是单0121002100014 / 23 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 位阵,这里就不能是 0,于是交换 1,2 行,任凭两行都可以交换,由于其次行第一个数是 1,简洁,所以就 1,2 行互换）1 1 4 0 1 00 1 2 1 0 0 第一行乘以 -2 加到第三行,目的是化 0,除0 3 8 0 2 1主对角以外,其他全部化成
10、0 1 1 4 0 1 00 1 2 1 0 0 其次行乘以 3 加到第三行,0 0 2 3 2 11 0 2 1 1 00 1 2 1 0 0 现在开头化上面,其次行乘以-1 加到第一行0 0 2 3 2 11 0 0 2 1 10 1 0 4 2 1 第三行直接加到第一行；加到其次行0 0 2 3 2 1把对角线上的都化成 1,1 0 0 2 1 10 1 0 4 2 1 第三行乘以 1 ,这一步是把前面化成单位阵,20 0 1 3 2 1 1 2这个就是我们要的 I A 1,前半部分是 I ,后半部分就是 A 12 1 1所以 A-1= 4 2 13 2 1 1 2这是个考题,详细运算可
11、以省略些步骤,给出解题答案为：012A12114010设矩阵 A =114,求逆矩阵210001012解由于 AI =114010012100210001038021102110100110121000104210023210023215 / 23 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 100211010421AXXB两边 左乘（ 就是靠在左边）00132112211所以 A-1=42132112另一种题型,解矩阵方程,其原理是对A1,得A1AXA1B, 由于A1AI, 所以A1B,留意任何矩阵乘以单位阵保持不变；例：
12、已知AXB,其中A123,B23,求 X 35758581001分析：先求逆,在运算；解：利用初等行变换得1231001230100335701001231058100010255011231001246即012310010552001121001121100641010552100112164A1552121由矩阵乘法和转置运算得XA1B6412381355258152312101812考题举例：1,6 / 23 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2设矩阵A =102,B =63,运算 AB-11212041解由
13、于 AB =10263=21-1121204141 ABI =2110211041010121201110112 22 1012101所以 AB-1=112 22 1123,运算 BA113设矩阵A =02,B =01220解 由于 BA=12311=53020124220 BAI =53101111420142011111101 23 25 2024501所以 BA-1=13 25 21 224解矩阵方程23X34解由于231011113401340111111043013201327 / 23 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 23 页精选学习资料 - - - - -
14、 - - - - 即231433432所以, X =431 2=223,运算 AB T-13215设矩阵A = 1 102,B =120012解：ABT102102112032741 32 732所以T AB16设矩阵 A1 1222,且有ATAB35,求矩阵 B 342解：AB35AT42T AA13511所以BA135424223A126, 又A1322511所以B3226102811254117. 设矩阵 A =1 35,B = 11,运算 A-I -1B6设矩阵 A=-1-6 ,B=1 解：8 / 23 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 23 页精选学习资料 -
15、- - - - - - - - 123238. 已知AXB,其中A357,B58,求 X 581001解：利用初等行变换得1231001230100335701001231058100010255011231001246即012310010552001121001121100641010552100112164A1552121由矩阵乘法和转置运算得XA1B64121328132,求X.5525815231210181229已知 AXB ,其中A110,B113509 / 23 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 10
16、设矩阵A12,B12,求解矩阵方程XAB3523解：由于121021211010520A 13501013101311即125235131=1252= 112所以, X =233523311111. 设矩阵A013, I 是 3 阶单位矩阵,求I227348解：由矩阵减法运算得IA100013113010227237001348349利用初等行变换得10 / 23 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1131001131002370100011210133349001010301113101102011210,01
17、0301001111001111100132010301320011111即IA 1,求AB3011111112. 设矩阵A02B12112231解：利用初等行变换得111010011101000001210100111102230010432011010011即010111010105310016410016411043101053100164143A1531641由矩阵乘法得A1B43124531166411711 / 23 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 102113. 设矩阵A124,B2,求 2IT
18、AB. 3311302T1001解 由于2IAT= 201012411001311200113 =020021=001002241241113110100所以2IA TB=0012=3241391101,求A1B14设矩阵A121,B22235110110100解：由于1210100111102230010432011101001101000111100105310016410016411004315010531001641431即A15316414311所以A1B53126641591363A115设矩阵 A =421,求21112 / 23 名师归纳总结 - - - - - - -第 12
19、 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1363100114107解由于 AI =42101000101230：32110012110011141071101410010120010120172013010271100130100130010271010271001012001012130所以 A-1 =27101216A113,求（I1151 A）121解100113110101IA0101150111 051050011210102 01 1200131001050105IAI1050100131001200011200011050101050100131000
20、131000250110012111001065106010533（IA）1533001211211100117设矩阵A01 ,B01,求T B A 1；121213 / 23 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 11218设矩阵A104,运算IA 1；21114 / 23 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 矩阵求秩 秩就是通过初等变换后,剩下的不全是1110 行数！表示为 rA例：矩阵2011的秩是 2 1.,2 行不是 0,秩是
21、2 1111111341201023023134023000考题举例：111,就r A _1_；61,运算rBATC1设A2223302,B212312设矩阵A010,C2212000242解：由于BAT2121161C=0100222 =0100220426061010222 =2040420220且BATC=2001020015 / 23 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解方程组：这是每年必考题目！就是把方程组的系数写成对应的矩阵,通过初等变换,求出方程组的解；例如：求以下线性方程组的一般解：2x15x22
22、x331 1 0x 12x2x 33这种非齐次型常常考,要求必需把握2x 114x26x312解由于增广矩阵系数252312131019A121309490149214612018818000（仍原成解的形式：应当是x11x31,x24x31）99所以一般解为x 11x31（其中3x 是自由未知量）9x24x319增广矩阵就是系数和等号后面的数一起构成的矩阵,2x15x22x3322,记为 A,仅仅是系数构成的矩阵；x 12x2x 332x 114x26x31225的系数矩阵是121增广矩阵是32146251213,记为 A ,加了后面一列；214612就是多了等号后面一列方程组有解的条件：线
23、性方程组 AX b 有解的条件是,他的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩即秩（ A）=秩（ A ）,也可以写成 r A r A 留意书上的定理,简洁拿来考考填空：如线性方程组AXb满意秩（ A）=秩（ A ）=r ,就当rn时,线性方程组有解且只有惟一解；当rn时,线性方程组有无穷多解；16 / 23 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 通俗说法线性方程组AXb有唯独解的条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩等于未知量个数,解的步骤：写出增广矩阵,进行初等变换,要求主对角全是1 或 0,主对角是1 的那一列其余元素全是0,依
24、据矩阵结果写出解组；（留意说明自由未知量）自由未知量可以懂得为参数,例如：上题的解是1x 1 x 3 19（其中 x 是自由未知量）x 2 4 x 3 191x 1 c 19也可以写成,设 x3 c,解就可以写成 x 2 4c 1,其中 c 是任意常数；9x 3 c（这里说明这个方程组的有许多解,不仅仅是一组数解,写成没有 c 的形式更简洁；）再看例子例： 求以下线性方程组的一般解：x 1x2x43243x 12x 2x4x42x 13x 2x 35x5解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形17 / 23 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 23 页精选学习资料 - - - -
25、 - - - - - 故方程组的一般解为 : 留意懂得最终的矩阵仍原；齐次型线性方程组有非 0 解（就是全部都不是0）的条件是秩（ A）n ,也就是系数矩阵A 的秩小于行数（未知量的个数）15. 设齐次线性方程组x 13x222x30,2x 15x3x303x 18x2x30为何值时,方程组有非零解？在有非零解时求其一般解解：由于13213225301138016132101011011005005所以,当5时方程组有非零解一般解为x 1x3（其中3x 为自由未知量）50！x2x3有解的条件是最下面一行必需全为0,所以考题举例1. 求当 取何值时,线性方程组18 / 23 名师归纳总结 - -
26、 - - - - -第 18 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2x 1x2x 3x41xx 12x24x34x44217x2x311x有解,并求出一般解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形2111111214212142053731741105372x121420537300005当5时,方程组有解,且方程组的一般解为41x36x4其中x 3,x4为自由未知量555x233x37x45552. 求线性方程组x 13x 22x3x4413x 18x24x3x402x 1x24x 32x1x 12x26x 3x42的一般解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形113211113021138410012232142105803126120580332110151601223010890021012001560000000000此时齐次方程组化为x 1x 2x315x416此题给出了矩阵仍原,把矩