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1、第一节第一节 平面向量的概念及其线性运算平面向量的概念及其线性运算根底梳理根底梳理1. 向量的有关概念及表示法名称定义表示法向量既有 又有 的量;向量的大小叫做向量的 (或 )向量 .模 .零向量长度为 的向量;其方向是任意的记作 .单位向量长度等于 个单位长度的向量常用 表示大小方向长度模AB AB 00 01e第一页，编辑于星期五：四点 三十六分。平行向量方向 或 的非零向量a a与b b共线可记为 ;0与任一向量 .共线向量 向量又叫做共线向量相同相反平行abab平行相等向量长度 且方向 的向量 .相反向量长度 且方向 的向量(1)a a的相反向量记作 ;a+0=0+a=aa+0=0+a
2、=aa+(-a)=(-a)+a=a+(-a)=(-a)+a=0 0(2)0 0的相反向量为 .相等相同a=ba=b相等相反-a-a0第二页，编辑于星期五：四点 三十六分。2. 向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义) 运算律加法求两个向量和的运算 法则 法则(1)交换律:a+ba+b= ;(2)结合律:(a+b)+c= :(a+b)+c= . .减法求两个向量差的运算 法则a-ba-b= .b+ab+aa+(b+c).三角形平行四边三角形a+(-b)a+(-b)第三页，编辑于星期五：四点 三十六分。数乘实数与向量a相乘(1)|a a|= .(2)当0时,a a与a a的方向 ;当0时,a
3、a与a a的方向 ;当a a=0时，a a=0;当=0时,a a= .(a a)= ;(+)a a= ;(a+ba+b)= .3. 向量共线定理非零向量a与向量b共线的充要条件:存在唯一一个实数,使 .b=a (a0) 相同相反0 a a+a aa a+b b第四页，编辑于星期五：四点 三十六分。典例分析典例分析题型一题型一 平面向量的有关概念平面向量的有关概念【例1】给出下列五个命题两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;若|a a|=|b b|,则a a=b b;在ABCD中,一定有 ;若m m=n n,n n=p p,则m m=p p;若a ab,bb,bc c,则a ac c.其中正
4、确的序号是_.ABDC 分析 在正确理解有关概念的根底上,注意特殊的情况,是解决此题的关键.第五页，编辑于星期五：四点 三十六分。解 两个向量起点相同,终点相同,那么两向量相等;但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点,所以不正确;|a|=|b|,但a,b方向不确定,所以a,b不一定相等,故不正确;零向量与任一非零向量都平行,当b=0时,a与c不一定平行,故不正确.正确.学后反思 (1)着重理解向量以下几个方面:向量的模;向量的方向;向量的几何表示;向量的起点和终点.(2)判定两个向量的关系时,要特别注意以下两种特别的情况:零向量与任何向量共线；单位向量的长度为1，方向不固定.第六页，编辑于星
5、期五：四点 三十六分。举一反三举一反三1.已知下列命题：如果非零向量a a与b b的方向相同或相反，那么a a+b b的方向必与a,ba,b中的一个方向相同；在ABC中，必有若 ，则A,B,C为一个三角形的三个顶点；若a a与b b均为非零向量，则 一定相等。其中真命题的序号为 。ABBC+0CA ABBC+0CA abab与解析： 错误，a a+b b=0 0时，就不满足结论。正确， . 错误，A,B,C三点还可以共线。错误，只有a a与b b同向时才相等。ABBC+0CAACAC 答案： 第七页，编辑于星期五：四点 三十六分。【例2】 如图,D、E、F分别为ABC的三边BC、AC、AB的中
6、点.求证:AD+BE+CF=0.分析 在三角形中其他向量最好向三条边上的向量靠拢,即用 来分别表示待求的向量.AB,BC,AC 题型二题型二 平面向量的线性运算平面向量的线性运算第八页，编辑于星期五：四点 三十六分。证明 AD=AC+CD,AD=AB+BD,2AD=AC+AB+CD+BD,即2AD=AC+AB.同理2BE=BA+BC,2CF=CA+CB.所以2(AD+BE+CF)=AC+AB+BA+BC+CA+CB=0.故AD+BE+CF=0.学后反思： 平面向量的线性运算常与平面几何图形相结合,求解此类问题应注意:(1)结合图形,选择关系明确的一组不共线向量来表示其他向量,选择恰当的运算关系
7、.第九页，编辑于星期五：四点 三十六分。(2)注意特殊点的应用.如线段AB的中点为P,则有 (其中O为任一点).12OPOAOB 举一反三举一反三2.已知ABCD， ,若用a,a,表示23BPBC ,ABa BCb PD 解析： 如图 13PDPCCDBCCD 11()33bABba 第十页，编辑于星期五：四点 三十六分。题型三题型三 向量的共线问题向量的共线问题【例3】设两非零向量a和b不共线,如果AB=a a+b b,CD=3(a a-b b),BC=2a a+8b b.求证:A、B、D三点共线.分析 用向量法证明A、B、D三点共线,可以利用共线向量定理,得到BD=AB(或AD=AB等),
8、BDAB说明直线BD和AB平行或重合;因为有公共点B,所以只能重合，从而由向量共线推出三点共线.证明BC=2a a+8b b,CB=-2a a-8b b,BD=CD-CB=3a a-3b b+2a a+8b b=5(a a+b b),BD=5AB.由向量共线定理得BDAB,又直线AB和BD有公共点B,因此A、B、D三点共线.第十一页，编辑于星期五：四点 三十六分。学后反思 (1)向量共线的充要条件中要注意当两个向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量;要注意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决;但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线
9、且有公共点时,才能得出三点共线.解题中应强调“直线AB和BD有公共点B这一步骤.举一反三举一反三3. 设两个非零向量设两个非零向量e1,e2不共线不共线,AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2.假设假设A、B、D三点共线三点共线,试求试求k的值的值.解析：解析：BD=CD-CB=2e1-e2-(e1+3e2)=e1-4e2.假设假设A、B、D三点共线三点共线,那么那么ABBD;从而存在唯一实数从而存在唯一实数,使使AB=BD,第十二页，编辑于星期五：四点 三十六分。即k的值为-8时,A、B、D三点共线.即2e1+ke2=(e1-4e2),整理得(2-)e1=-(k+4)e
10、2,e1、e2不共线,-8.k2,04k0,-2解得题型四题型四 向量知识的综合应用向量知识的综合应用【例【例4 4】1414分分) )向量向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,c=2e1-9e2,a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,c=2e1-9e2,其中其中e1,e2e1,e2为两个非零不共线向量为两个非零不共线向量. .问问: :是否存在这样的实数是否存在这样的实数,使向量使向量d=a+bd=a+b与与c c共线共线? ?分析分析 运用向量共线的条件运用向量共线的条件, ,确定是否存在实数确定是否存在实数k,k,使得使得d=kc.d=kc.第十三页，编辑于星期五：四点 三十六分
11、。解 d=a+b=(2e1-3e2)+(2e1+3e2)=(2+2)e1+(3-3)e2 4要使cd,那么应存在实数k,使d=kc, 6即(2+2)e1+(3-3)e2=k(2e1-9e2)=2ke1-9ke2, 8e1,e2不共线,故存在这样的实数,只要满足=-2,就能使d与c共线14 -2-9k,33-2k,2211k22k学后反思 设 不共线,若则有 ,本题正是利用这一结论构造方程组来求解的.12e ,e1 12 21 12 2eek ek e第十四页，编辑于星期五：四点 三十六分。举一反三举一反三4. ABC的三个顶点的三个顶点A、B、C及平面内一点及平面内一点P满足满足PA+PB+P
12、C=0,假设实数假设实数满足满足AB+AC=AP,求求的值的值.解析：解析：AB+AC=AP,PB-PA+PC-PA=AP,即即PB+PC-2PA=AP.又又PA+PB+PC=0,PB+PC=-PA,-3PA=AP=-PA,=3.第十五页，编辑于星期五：四点 三十六分。考点演练考点演练10.已知直线x=x=a与圆 交与A,B两点，且 ， 其中O为坐标原点，求实数a的值。22xyaOAOB OAOB 解析： 如图所示，以OA.OB为边作OABC，则由 得： OABC为矩形。 由图像得，直线y=-x+a在轴上的截距为2. a=2OAOBOAOB OAOB 第十六页，编辑于星期五：四点 三十六分。1
13、1.在四边形ABCD中，E,F分别是AD和BC的中点，求证：1()2EFABDC 方法二：取BD的中点O,则12EOAB 12OFDC 1()2EFEOOFABDC 证明: 方法一：如图，连接EC，EB，则而11()()22EFECEBEDDCEAAB 10,()2EDEAEFABDC 第十七页，编辑于星期五：四点 三十六分。12.(2009江苏模拟)已知O为坐标原点，A（0，2），B（4，6），（1）求证：当时，不论为何实数，A,B,M三点共线；（2）若 ，求当 且ABM的面积为12时a的值12OMt OAt AB 21taOMAB 11t 解析： （1）当 时，A,M,B三点共线。(4,4)ABOBOA 1212212(0,2)(4,4)(4 ,24 )OMt OAt ABttttt 22(4 ,42)OMtt 2222(4 ,4 )(4,4)AMOMOAtttt AB 第十八页，编辑于星期五：四点 三十六分。(2)当 时，故点M 到直线AB:x-y+2=0的距离为解得a=2 ，故所求a的值为2.21ta2224 ,42OMtta 4,4 ,ABOMAB 又22222144(42) 44tta =0, t =-a22,AB4 2OMaa 又，2222212aada21112,4 22122ABCSAB da=12第十九页，编辑于星期五：四点 三十六分。