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1、文数 课标版,第一节平面向量的概念及其线性运算,1.向量的有关概念,教材研读,2.向量的线性运算,3.共线向量定理 向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数,使得b=a.,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.() (2)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量.() (3)=-.() (4)若ab,bc,则ac.() (5)向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.() (6)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=a(R).(),1.下列说法正确的是() A.就是所在的直线平行于所在的直线 B.长
2、度相等的向量叫相等向量 C.零向量长度等于0 D.共线向量是在同一条直线上的向量 答案C包含所在的直线与所在的直线平行和重合两 种情况,故A错;相等向量不仅要求长度相等,还要求方向相同,故B错;零向量长度为0,故C正确;共线向量可以是在同一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,故D错.,2.在四边形ABCD中,=,且|=|,那么四边形ABCD为() A.平行四边形B.菱形C.长方形D.正方形 答案B=,则四边形ABCD为平行四边形.又|=|,则四边 形ABCD为菱形,故选B.,3.在ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则= (用a,b表示). 答案-a+b 解析由=3,得=
3、(a+b),又=a+b,所以=- =(a+b)-=-a+b.,4.已知a与b是两个不共线向量,且向量a+b与-(b-3a)共线,则=. 答案- 解析由题意知存在kR,使得a+b=k-(b-3a), 所以解得,考点一向量的有关概念 典例1给出下列命题: (1)若|a|=|b|,则a=b; (2)若A、B、C、D是不共线的四点,则=是四边形ABCD为平行四 边形的充要条件; (3)若a=b,b=c,则a=c; (4)两向量a、b相等的充要条件是|a|=|b|且ab; (5)如果ab,bc,那么ac. 其中假命题的个数为() A.2B.3C.4D.5 答案B,考点突破,解析(1)不正确.两个向量的模
4、相等,但它们的方向不一定相同,因此由 |a|=|b|推不出a=b. (2)正确.若=,则|=|且. 又A、B、C、D是不共线的四点, 四边形ABCD是平行四边形. 反之,若四边形ABCD是平行四边形,则AB DC且与方向相同,因 此=. (3)正确.a=b,a、b的长度相等且方向相同. b=c,b、c的长度相等且方向相同. a、c的长度相等且方向相同,a=c. (4)不正确.当ab,但方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故,不是a=b的充要条件. (5)不正确.若b=0,则a与c不一定共线.,易错警示 (1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. (2)共线向量即为平行
5、向量,它们均与起点无关. (3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图象的移动混为一谈. (4)非零向量a与的关系:是a方向上的单位向量.,1-1设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使=成立的充分条件 是() A.a=-bB.ab C.a=2bD.ab且|a|=|b| 答案C因为向量的方向与向量a相同,向量的方向与向量b相 同,且=,所以向量a与向量b方向相同,故可排除选项A,B,D. 当a=2b时,=,故a=2b是=成立的充分条件.,1-2给出下列命题: 两个具有公共终点的向量一定是共线向量. 两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小. 若a=0(为实数)
6、,则必为零. 若a=b(,为实数),则a与b共线. 其中错误命题的个数为() A.1B.2C.3D.4 答案C错误,两向量是否共线要看其方向,而不是起点或终点.正确,因为向量既有大小,又有方向,故两个向量不能比较大小,但两个向量的模均为实数,故可以比较大小.错误,当a=0时,无论为何值,均有a=0.错误,当=0时,a=b=0,此时,a与b可以是任意向量.故选C.,1-3如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,则图中与相等的向量有 . 答案,考点二向量的线性运算 典例2(1)(2015课标,7,5分)设D为ABC所在平面内一点,=3, 则() A.=-+B.=- C.=+D.=- (2)如图所示
7、,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的三等分点,=a, =b,则=(),A.a-bB.a-bC.a+bD.a+b,答案(1)A(2)D 解析(1)=+=+=+=+(-)=-+ .故选A. (2)连接CD,由点C,D是半圆弧的三等分点,得CDAB且=a, 所以=+=b+a.,2-1在ABC中,=c,=b.若点D满足=2,则=() A.b+cB.c-b C.b-cD.b+c 答案D由题意可知=-=b-c,=2,=(b -c),则=+=+=c+(b-c)=b+c.故选D.,2-2在ABC中,N是AC边上一点且=,P是BN上一点,若=m + , 则实数m的值是. 答案 解析因为=,所以=,所以=m
8、+=m+, 因为P是BN上一点,所以B,P,N三点共线,所以m+=1,则m=.,k2-1=0. k=1.,1.共线向量定理的应用 (1)可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共线求参数的值. (2)若a,b不共线,则a+b=0的充要条件是=0,这一结论结合待定系数法应用非常广泛.,方法技巧,2.证明三点共线的方法 若=,则A、B、C三点共线.,变式3-1若将本例(1)中“=2a+8b”改为“=a+mb”,则m为何值 时,A、B、D三点共线? 解析+=(a+mb)+3(a-b)=4a+(m-3)b, 即=4a+(m-3)b. 若A、B、D三点共线,则存在实数,使=, 即4a+(m-3)b=(a+b), 解得m=7. 故当m=7时,A、B、D三点共线.,变式3-2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值? 解析因为ka+b与a+kb反向共线, 所以存在实数,使ka+b=(a+kb)(0), 所以所以k=1. 又0,k=,所以k=-1. 故当k=-1时,两向量反向共线.,3-3设两个非零向量a与b不共线,若a与b的起点相同,且a,tb,(a+b)的 终点在同一条直线上,求实数t的值. 解析a,tb,(a+b)三个向量的终点在同一条直线上,且a与b的起点相 同, a-tb与a-(a+b)共线,即a-tb与a-b共线, 存在实数,使a-tb=, 解得=,t=.,