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1、讲课人：郑雨生讲课人：郑雨生内蒙古卓资县职业中学内蒙古卓资县职业中学2022-7-262 1、对数函数、对数函数 y = log a x ( a0 且且 a 1 ) 是是指数函数指数函数 y = a x ( a0 且且 a 1 ) 的反函数。的反函数。2022-7-2632、对数函数的图象与性质：、对数函数的图象与性质：函数函数y = log a x ( a0 且且 a1 )底数底数a 10 a 1图象图象定义域定义域( 0 , + )值域值域R定点定点( 1 , 0 ) 即即 x = 1 时，时，y = 0值分布值分布当当 x1 时，时，y0当当 0 x 1 时，时， y0当当 x1 时，时
2、，y0当当 0 x1 时，时，y0单调性单调性在在 ( 0 , + ) 上是增函数上是增函数在在( 0 , + )上是减函数上是减函数趋势趋势底数越大，图象越靠近底数越大，图象越靠近 x 轴轴底数越小，图象越靠近底数越小，图象越靠近 x 轴轴1xyo1xyo中另一个在中一个在或), 1 (),1 , 0(,010), 1 (,) 1 , 0(,0logNaNNaNaNa2022-7-264例例1、比较下列各组数中两个数的大小：、比较下列各组数中两个数的大小：（2）log 0 . 3 1 . 8 与与 log 0 . 3 2 . 7解：解： y = log 0 . 3 x 在在 ( 0 , +
3、) 上是减函数上是减函数且且 1 . 8 2 . 7 log 0 . 3 1 . 8 log 0 . 3 2 . 7 1.41.210.80.60.40.2-0.2-0.4-0.6-0.8-1-1.2-1.4-0.50.511.522.533.5y=log0.3x1.41.210.80.60.40.2-0.2-0.4-0.6-0.8-1-1.2-1.4-0.50.511.522.533.5y=log0.3x1.82.72022-7-2652.521.510.5-0.5-1-1.51234567y=logax2.521.510.5-0.5-1-1.51234567y=logax5.1 5.9例例
4、1、比较下列各组数中两个数的大小：、比较下列各组数中两个数的大小：（3）log a 5 . 1 与与 log a 5 . 9 ( 0a1 )解：解： y = log a x ( 0a1 ) 在在 ( 0 , + ) 上是减函数上是减函数且且 5 . 1 5 . 9 log a 5 . 1 log a 5 . 9 2022-7-266例例2：比较下列各组数中两个值的大小：比较下列各组数中两个值的大小：（1）log 6 7 与与 log 7 6解：解： log 6 7 log 6 6 = 1 且且 log 7 6 log 7 7 = 1 log 6 7 log 7 6（2） log 3 与与 lo
5、g 2 0 . 8解：解： log 3 log 3 1 = 0 且且 log 2 0 . 8 log 2 1 = 0 log 3 log 2 0 . 82022-7-267例例2：比较下列各组数中两个值的大小：比较下列各组数中两个值的大小：（3） log 2 7 与与 log 3 7解：解： log 7 3 log 7 2 03log12log177 log 2 7 log 3 7（4） log 0 . 2 0 . 8 与与 log 0 . 3 0 . 8解：解： log 0 . 8 0 . 2 log 0 . 8 0 . 3且且 log 0 . 8 0 . 2 、 log 0 . 8 0 .
6、 3 03.0log12.0log18.08.0 log 0 . 2 0 . 8 log 0 . 3 0 . 82022-7-268例例3、设、设 0 x1，a0 且且 a1，试比较，试比较 | log a ( 1x ) | 与与 | log a ( 1 + x ) | 的大小。的大小。| log a ( 1x ) | | log a ( 1 + x ) | 0 x1 01x11 + x 2即即 | log a ( 1x ) | | log a ( 1 + x ) | 0 | log a ( 1x ) | | log a ( 1 + x ) |11)1)(1(02 xxx解：解：当当0a1时时
7、,则有则有=log a ( 1x ) log a ( 1 + x ) =log a ( 1x ) ( 1 + x ) 0)1 (log2xa2022-7-2610例例3、设、设 0 x1，a0 且且 a1，试比较，试比较 | log a ( 1x ) | 与与 | log a ( 1 + x ) | 的大小。的大小。 | log a ( 1x ) | | log a ( 1 + x ) |当当a1时时,有有当当0a1时时,有有 | log a ( 1x ) | | log a ( 1 + x ) | | log a ( 1x ) | | log a ( 1 + x ) |.综上所述综上所述,对
8、于对于0 x1，a0 且且 a1的一切值总有的一切值总有从以上分类讨论从以上分类讨论,得得2022-7-2611例例4、求函数、求函数 y = log 2 ( 1x 2 ) 的值域和单调区间。的值域和单调区间。解：解： 1x 2 0 且且 1x 2 1即即 0 1x 2 1 y 0故故 函数的值域为函数的值域为 (，0 )由于此函数的定义域为由于此函数的定义域为 (1 , 1 ) 且且 y = log 2 t 在在 ( 0 , 1 ) 上是增函数上是增函数又又 t = 1x 2 (1 x1 )的单调递增区间为的单调递增区间为 (1，0 , 单调递减区间为单调递减区间为 0 ，1 )故此函数的单
9、调递增区间为故此函数的单调递增区间为 (1，0 单调递减区间为单调递减区间为 0 ，1 )2022-7-2612例例5、已知、已知 f ( x ) = lg ( a x b x ) ( a1b0 )（1）求）求 f ( x ) 的定义域；的定义域；解：由题解：由题 a x b x 0 得得 a x b x a1b00)(1)(babax x 0故故 f ( x ) 的定义域为的定义域为 ( 0 , + ) 1ba2022-7-2613例例5、已知、已知 f ( x ) = lg ( a x b x ) ( a1b0 )(2)判断判断 f ( x ) 的单调性。的单调性。解：设解：设 0 x 1
10、x 2 + ,则则 f ( x 1 ) f ( x 2 ) =2211lgxxxxbaba a1b02121,xxxxbbaa 2121,xxxxbbaa 即即22110 xxxxbaba 102211 xxxxbaba即即 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 故故 f ( x ) 在在( 0 , + ) 上是增函数上是增函数2022-7-2614（3）此函数的图象上不存在不同两点，使过两点直线平行）此函数的图象上不存在不同两点，使过两点直线平行 于于 x 轴。轴。证：设证：设 A ( x 1 , y 1 )、B ( x 2 , y 2 ) 且且
11、 x 1 x 2 f ( x ) 在在( 0 , + ) 上是增函数上是增函数 y 1 y 2故故 过这两点的直线不平行于过这两点的直线不平行于 x 轴。轴。例例5、已知、已知 f ( x ) = lg ( a x b x ) ( a1b0 ) 当当x 1 x 2时时,则则y 1 y 2 当当x 1 x 2时时,2022-7-2615例例5、已知、已知 f ( x ) = lg ( a x b x ) ( a1b0 )（4）当）当 a、b 满足什么条件时，满足什么条件时，f ( x ) 在区间在区间 1 , + ) 上恒上恒 为正。为正。解：解： f ( x ) 在在( 0 , + ) 上是增函数上是增函数 f ( x ) min = f ( 1 ) = lg ( a b )只要使只要使 lg ( a b ) 0就可以了就可以了,故满足故满足 a b 1 要使要使f ( x ) 在区间在区间 1 , + ) 上恒为正。上恒为正。2022-7-26162022-7-2617同学们同学们 再见！再见！