《2019秋高三数学上学期期末试题汇编：27.椭圆 1 .doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019秋高三数学上学期期末试题汇编：27.椭圆 1 .doc（97页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）12.已知动点P在椭圆上,若点A的坐标为(3,0),点M满足,则的最小值是A. 4 B. C. 15 D. 16【答案】B【解析】设P(x,y),A(3,0)为焦点，所以=，而焦半径，所以 ，选B.【点睛】切线长的平方=半径平方+点到圆心距离平方，同时焦半径范围，是解本题的关键。20.设椭圆的左焦点为，离心率为，为圆的圆心（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（）由题意求得a，b的值即可确定椭圆方程；（）分类讨论
2、，设直线l代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|AB|，根据点到直线的距离公式可求出|CD|，再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质，即可得到所求范围试题解析：（1）由题意知，则， 圆的标准方程为，从而椭圆的左焦点为，即，所以，又，得 所以椭圆的方程为：. （2）可知椭圆右焦点 （）当l与x轴垂直时，此时不存在，直线l：，直线，可得：，四边形面积为12. （）当l与x轴平行时，此时，直线，直线，可得：，四边形面积为. （iii）当l与x轴不垂直时，设l的方程为 ，并设，.由得. 显然，且， . 所以. 过且与l垂直的直线，则圆心到的距离为，所以. 故四边形面积：.可得当l与x轴
3、不垂直时，四边形面积的取值范围为(12,). 综上，四边形面积的取值范围为（湖北省2019届高三1月联考测试数学（理）试题）20.已知椭圆的右焦点为，上顶点为，过且垂直于轴的直线交椭圆于、两点，若.（1）求椭圆的方程；（2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，且分别交直线和直线于、两点，试求的值.【答案】（1）（2） 为定值【解析】【分析】（1）由通径公式得出，结合已知条件得出，再由c1，可求出a、b的值，从而得出椭圆的方程；（2）设切点为（x0，y0），从而可写出切线m的方程为，进而求出点M、N的坐标，将切点坐标代入椭圆方程得出x0与y0之间的关系，最后利用两点间的距离公式可求出答案【详解】（1
4、）由题得 解得椭圆的方程为（2）设切点为 则令得即令得即 为定值【点睛】本题考查直线与椭圆的综合，考查计算能力与推理能力，属于中等题（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（文科）试题）19.已知椭圆： 的左、右焦点分别为，椭圆的长轴长与焦距之比为，过且斜率不为的直线与交于，两点.（1）当的斜率为时，求的面积；（2）若在轴上存在一点，使是以为顶点的等腰三角形，求直线的方程.【答案】（1）12（2）【解析】【分析】(1)结合椭圆的基本性质,分别计算a,b,c的值，代入直线方程，即可。（2）代入直线方程，结合等腰三角形底边和高相互垂直，建立等式，计算k，得到直线l的方程，即可。【详解】解：（
5、1）依题意，因，又，得，所以椭圆的方程为，设、，当时，直线：将直线与椭圆方程联立，消去得，解得，所以 .（2）设直线的斜率为，由题意可知，由，消去得，恒成立，线段的中点，则，若是以为顶点的等腰三角形，则，得，整理得：.故直线的方程为.【点睛】本道题考查了直线与椭圆的位置关系以及椭圆的基本性质，难度偏难。（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）19.已知椭圆： 的左、右焦点分别为，椭圆的长轴长与焦距之比为，过的直线与交于，两点.（1）当的斜率为时，求的面积；（2）当线段的垂直平分线在轴上的截距最小时，求直线的方程.【答案】（1）12（2）【解析】【分析】（1）结合椭圆性质，得
6、到椭圆方程，联解直线与椭圆方程，结合，计算面积，即可。（2）设出直线l的方程，代入椭圆方程，利用，建立关于k，m的式子，计算最值，即可。【详解】解：（1）依题意，因，又，得，所以椭圆的方程为，设、，当时，直线：将直线与椭圆方程联立，消去得，解得，所以 .（2）设直线的斜率为，由题意可知，由，消去得，恒成立，设线段的中点，设线段的中点，则，设线段的垂直平分线与轴的交点为，则，得.，整理得：， ，等号成立时.故当截距最小为时，此时直线的方程为.【点睛】本道题注意考查了直线与椭圆位置关系等综合性问题，难度较大。（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）19.已知椭圆，点在椭圆上，椭圆的离
7、心率是.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点为椭圆长轴的左端点，为椭圆上异于椭圆长轴端点的两点，记直线斜率分别为，若，请判断直线是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由.【答案】（1）（2）过定点【解析】【分析】（1）由点M（1，）在椭圆C上，且椭圆C的离心率是，列方程组求出a2，b，由此能求出椭圆C的标准方程（2）设点P，Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为ykx+m，联立，得：（4k2+3）x2+8kmx+（4m212）0，利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件得直线PQ的方程过定点（1，0）；再验证直线PQ的斜率不存在时
8、，同样推导出x01，从而直线PQ过（1，0）由此能求出直线PQ过定点（1，0）【详解】（1）由点在椭圆上，且椭圆的离心率是，可得，可解得：故椭圆的标准方程为.（2）设点的坐标分别为，（）当直线斜率不存在时，由题意知，直线方程和曲线方程联立得：，（）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，消去得：，由，有，由韦达定理得：，故，可得：，可得：，整理为：，故有，化简整理得：，解得：或，当时直线的方程为，即，过定点不合题意，当时直线的方程为，即，过定点，综上，由（）（）知，直线过定点.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程是否过定点的判断与求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理等基础知
9、识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题（四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学理试题）16.已知椭圆C：的右焦点为F，点A（一2，2)为椭圆C内一点。若椭圆C上存在一点P，使得PAPF8，则m的最大值是_【答案】25【解析】【分析】设椭圆的左焦点为F（2，0），由椭圆的定义可得2|PF|+|PF|，即|PF|2|PF|，可得|PA|PF|82，运用三点共线取得最值，解不等式可得m的范围，再由点在椭圆内部，可得所求范围【详解】椭圆C：的右焦点F（2，0），左焦点为F（2，0），由椭圆的定义可得2|PF|+|PF|，即|PF|2|PF|，可得|PA|PF|82，由|PA|PF
10、|AF|2，可得2822，解得，所以,又A在椭圆内，所以,所以8m-163, , 故选：A.【点睛】本题考查椭圆的几何性质，离心率范围，明确P在短轴端点处的面积最大是关键.（河南省部分省示范性高中2018-2019学年高三数学试卷（理科）1月份联考试题）11.已知椭圆，设过点的直线与椭圆交于不同的，两点，且为钝角（其中为坐标原点），则直线斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设直线，代入，得，利用韦达定理表示，结合即可得到直线斜率的取值范围.【详解】设直线，代入，得，因为直线与椭圆交于不同的，两点，所以，解得且.设，则，因为为钝角，所以，解得，.综上所述：.故
11、选：B【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系以及直线的斜率，考查运算求解能力.（河北省唐山市2019届高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题）11.已知,为椭圆的左右焦点，过原点且倾斜角为30的直线与椭圆的一个交点为，若,，则椭圆的方程为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意，过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，可知，求得,代入椭圆的方程，再由和，即可求解的值，得到椭圆的方程.【详解】由题意，过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，且，且，则可知，设，则，即,代入椭圆的方程可得 又由，则 ，解答，且，解得，所以椭圆的方程为，故选A.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及
12、其简单的几何性质的应用，其中根据题设条件，设出点A的坐标，代入椭圆的方程，以合理运用椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.（河南省九师联盟2019届高三2月质量检测数学文试题）11.设椭圆：的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设椭圆的左焦点为，则即，又椭圆E上存在一点P使得，即，即，解得，本题选择C选项.（安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测数学（文）试题）15.已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心作半经为1的圆，为椭圆上一点，为圆上一点，则的取值范围为_.【答案】【解析】【
13、分析】根据椭圆的定义，将问题转化为求解的最值问题，通过三角形三边关系可知，可得最大值和最小值.【详解】由椭圆方程可知：由椭圆定义得： 又且本题正确结果：【点睛】本题考查利用椭圆定义求解最值问题，关键在于能够通过定义将问题转化为三角形三边关系，确定当三点共线的时候取得最值.（陕西省咸阳市2019届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题）13.椭圆的焦距为_.【答案】【解析】【分析】直接利用椭圆的方程求出，然后求出，即可得结果.【详解】因为椭圆：，所以，所以，所以，所以椭圆的焦距为2，故答案为：2.【点睛】该题考查的是有关椭圆的焦距的求解问题，涉及到的知识点有已知椭圆的方程求，椭圆中三者之间的关系，
14、属于简单题目.（安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）7.已知椭圆的左右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，以线段为直径的圆交线段的延长线于点，若，则该椭圆离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由点在以线段为直径的圆上，可知，再由，可得 ，且是等腰直角三角形，结合，所以，可求出离心率。【详解】因为点在以线段为 直径的圆上，所以，又因为，所以，又因为，所以是等腰直角三角形，因为，所以， 所以该椭圆的离心率【点睛】本题考查了双曲线的性质，考查了离心率的求法，考查了学生的计算求解能力，属于基础题。（安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学（文）试题
15、）16.已知椭圆：的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则该椭圆的离心率为_【答案】【解析】【分析】根据椭圆的定义与几何性质判断为正三角形，且轴，设，可得，从而可得结果.【详解】因为关于的对称点在椭圆上，则，为正三角形，又，所以轴，设，则，即，故答案为.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出;构造的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解（安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考数学（文）试题）21.如图，C、D是离心
16、率为的椭圆的左、右顶点，、是该椭圆的左、右焦点， A、B是直线4上两个动点，连接AD和BD，它们分别与椭圆交于点E、F两点，且线段EF恰好过椭圆的左焦点. 当时，点E恰为线段AD的中点（）求椭圆的方程；（）求证：以AB为直径的圆始终与直线EF相切【答案】（） （）见证明【解析】【分析】（）由题意可得，结合可求出，进而可求得椭圆的方程；（）设EF的方程为：，E（）、F（），与椭圆联立，运用韦达定理得，又设，由三点共线得，求出中点坐标，求出点M到直线EF的距离，进而证得结果.【详解】（）当时，点E恰为线段AD的中点，又，联立解得：， 椭圆的方程为.（）设EF的方程为：，E（）、F（），联立得： ，
17、（*）又设，由A、E、D三点共线得，同理可得.，. 设AB中点为M，则M坐标为（）即（ ），点M到直线EF的距离.故以AB为直径的圆始终与直线EF相切.【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，韦达定理的运用，考查了学生的计算能力，计算量较大，“设而不求，整体代换”的思想，直线与圆相切即圆心到直线的距离等于圆的半径，有一定难度.（四川省成都市实验外国语学校2019届高三二诊模拟考试理科数学）20.已知椭圆: 的左右焦点分别是，抛物线与椭圆有相同的焦点，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且满足（1）求椭圆的方程；（2）与抛物线相切于第一象限的直线，与椭圆交于两点，与轴交于点，线
18、段的垂直平分线与轴交于点，求直线斜率的最小值.【答案】（）；（）.【解析】【分析】(1)首先可以通过抛物线与椭圆有相同的焦点得出椭圆的焦点坐标，然后通过列出等式并解出的值，最后带入抛物线方程中即可得出结果；(2)首先可以设出切点坐标并写出切线方程，然后将切线方程与椭圆方程联立，设两点坐标为并根据切线方程与椭圆交于两点并求出的值，然后根据的值写出的中点坐标以及的垂直平分线方程，最后写出并得出结果。【详解】(1)因为抛物线与椭圆有相同的焦点，所以椭圆的焦点，设点P的坐标为则，解得（舍去），将点坐标代入抛物线方程式可得，又，联立可解得，所以椭圆的方程为；(2)设与抛物线相切的切点坐标为，则，整理得直
19、线，与椭圆方程联立可得，设，所以，的中点坐标为，所以的垂直平分线方程为，即，因为所以，最小值为。【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了椭圆的相关性质、抛物线的相关性质、两点间距离公式、抛物线与直线的相关性质，考查了推理能力与计算能力，考查了化归与转化思想，体现了综合性，提高了学生对于圆锥曲线综合的理解，是难题。（陕西省2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）20.已知、为椭圆（）的左右焦点，点为其上一点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线交椭圆于、两点，且原点在以线段为直径的圆的外部，试求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由椭圆的定义及点在椭圆上，代
20、入椭圆方程可求得a、b，进而得椭圆的标准方程。（2）设出A、B的坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出，代入得到关于k的不等式，解不等式即可得k的取值范围。【详解】解：（1）由题可知，解得，所以椭圆的标准方程为：.（2）设，由，得，由韦达定理得：，由 得或.又因为原点在线段为直径的圆外部，则， ，即，综上所述：实数的取值范围为【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆位置关系的综合应用，属于中档题。（江西省红色七校2019届高三第二次联考数学（理）试题）20.已知椭圆的离心率，且椭圆过点.（I）求椭圆的标准方程；（II）已知点为椭圆的下顶点，为椭圆上与不重合的两点，若直线与直线
21、的斜率之和为，试判断是否存在定点，使得直线恒过点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1) (2) 存在定点，使得直线恒过点【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接根据已知条件得到关于a,b的一个方程组，再解方程组即可. (2)第（2）问，对直线的斜率分两种情况讨论.每一种情况都要先根据已知条件求直线DE的方程，再判断其方程是否过定点.试题解析：（1）因为椭圆的离心率，所以，即，因为椭圆与圆的4个交点恰为一个正方形的4个顶点，所以直线与圆的一个交点在椭圆上，所以，由解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）知，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入得，所以，即.设，则，因为直
22、线与直线的斜率之和为，所以 ， 整理得，所以直线的方程为，显然直线经过定点.当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，因为直线与直线的斜率之和为，设，则，所以，解得，此时直线的方程为，显然直线经过定点.综上，存在定点，使得直线恒过点.点睛：本题的关键是计算，先要把直线DE的方程和椭圆的方程联立，得到比较复杂的韦达定理，再把韦达定理代入=，化简得到,计算量比较大，如果计算出错，则结果出错.所以我们在计算时要认真细心.（广东省汕尾市2019届高三普通高中3月教学质量检测理科数学试题）19.已知P（0，2）是椭圆的一个顶点，C的离心率（1）求椭圆的方程；（2）过点P的两条直线l1，l2分别与C相交于不同
23、于点P的A，B两点，若l1与l2的斜率之和为-4，则直线AB是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意可得，解得a=，b=2，c=，即可求出，（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+t，根据韦达定理和斜率公式，即可求出y=kx-k-2=k（x-1）-2，可得直线过定点，当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=m，易求出直线AB经过定点，定点为（1，-2）【详解】（1） 由题意可得，解得a=，b=2，c=，椭圆的方程为+=1，（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+t，A（x1，y1
24、），B（x2，y2），联立，消去y并整理，可得（3k2+2）x2+6ktx+3t2-12=0，=36（kt）2-4（3k2+2）（3t2-12）=00，即6k2+4-t20，则x1+x2=-，x1x2=，由l1与l2的斜率之和为-4，可得+=-4，又y1=kx1+t，y2=kx2+t，+=-+=2k+=2k+=-4，化简可得t=-k-2，y=kx-k-2=k（x-1）-2，直线AB经过定点（1，-2），当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=m，A（m，y1），B（m，y2），+=，又y1，y2互为反函数，y1+y2=0，故x=1，也过点（1，-2），综上直线AB经过定点，定点为（1，
25、-2）【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查根的判断式、韦达定理、斜率公式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题（广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学（文）试题）20.设椭圆，右顶点是，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点(不同于点)，若，求证:直线过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）由椭圆右顶点的坐标为A（2，0），离心率，可得a，c的值，由此可得椭圆C的方程；（2）当直线斜率不存在时，设，易得，当直线斜率存在时，直线，与椭圆方程联立，得，由可得，从而得证.【详解】（1）右顶点是，离心率为，所以，则，椭圆
26、的标准方程为.（2）当直线斜率不存在时，设，与椭圆方程联立得：，设直线与轴交于点，即，或 (舍），直线过定点；当直线斜率存在时，设直线斜率为，则直线，与椭圆方程联立，得，则，即，或，直线或，直线过定点或舍去；综上知直线过定点.【点睛】圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意（山东省泰安市2019届3月高三第一轮复习质量检测数学文科试题）20.已知椭圆的离心率，且经过点求椭圆C的方程；过点且不与x轴重合的
27、直线l与椭圆C交于不同的两点，过右焦点F的直线AF，BF分别交椭圆C于点M、N，设，的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】由题意可得，解得，即可求出椭圆方程，设直线l的斜率为k，则，分两种情况，求出直线AG的方程，联立直线与椭圆的方程，由根与系数的关系的分析可得范围，即可得答案【详解】解：由题意可得，解得，则椭圆方程为，设直线l的斜率为k，则，由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，由，可得，则，当AM与x轴不垂直时，直线AM的方程为，即，代入曲线C的方程又，整理可得，当AM与x轴垂直时，A点横坐标为，显然也成立，同理可得，设直线l的方程为，联立，消去y整理得，由，解得，又，即的取值范围
28、是【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键依据向量关系找出坐标之间的关系.（晋冀鲁豫名校2018-2019年度高三上学期期末联考数学(理)试题）20.已知椭圆的离心率为，短轴长为（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆的左焦点为，过点的直线与椭圆交于两点，则在轴上是否存在一个定点使得直线的斜率互为相反数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，也请说明理由【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）据题意，得 ，求解方程组确定a,b的值即可求得椭圆方程；（2）据题设知点，当直线的斜率存在时，设直线的方程为与椭圆方程联立，结合韦达定理有 假设存在点M满足题意，则，结合韦达定理求
29、解实数m的值即可；然后讨论斜率不存在的情况即可确定定点M存在.【详解】（1）据题意，得 解得， 所以椭圆的标准方程为（2）据题设知点，当直线的斜率存在时，设直线的方程为由，得设，则 设，则直线的斜率分别满足又因为直线的斜率互为相反数，所以，所以，所以，所以，所以，所以 若对任意恒成立，则，当直线的斜率不存在时，若，则点满足直线的斜率互为相反数 综上，在轴上存在一个定点，使得直线的斜率互为相反数【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三
30、角形的面积等问题（江西省临川一中，南昌二中，九江一中，新余一中等九校重点中学协作体2019届高三第一次联考数学（理）试题）20.已知椭圆的右焦点，是椭圆上任意三点，关于原点对称且满足.（1）求椭圆的方程.（2）若斜率为的直线与圆：相切，与椭圆相交于不同的两点、，求时，求的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）由题意设出，的坐标，代入椭圆方程作差可得a与b的关系，结合右焦点坐标解得a，b即可.（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式及根与系数的关系将用k与m表示，再利用直线与圆相切得到k，m的关系，代入表达式，得到关于k的不等式，解得k的范围即可【详解】（1）由题可设，所以两式相减得，.即，所以，又，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）设直线方程为，交椭圆于点，.联立方程，得，.所以 =，因为直线与圆相切，所以，即，代入，得.所以 因为，所以，化简得，或（舍）.所以或，故k的取值范围为.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，弦长公式，涉及直线与