《2019秋高三数学上学期期末试题汇编：27.椭圆 2 .doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019秋高三数学上学期期末试题汇编：27.椭圆 2 .doc（61页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、（北京市海淀区2019届高三4月期中练习（一模）数学文试题）13.已知椭圆和双曲线经过的左顶点和上顶点的直线与的渐近线在第一象限的交点为，且，则椭圆的离心率_；双曲线的离心率_ .【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据椭圆标准方程可得椭圆的离心率，易知直线AB的方程为：，由，可知：B为AP的中点，求出P点坐标代入双曲线渐近线方程得到m值，从而得到双曲线的离心率.【详解】解：椭圆中：a2，b1，所以，c，离心率为： ，A（2,0），B（0,1），直线AB的方程为：，因为，所以B为AP的中点，设P（x，y），则，解得：，即P（2，2）双曲线的渐近线为：，点P在渐近线上，所以，所以，双曲
2、线中：a1，b1，所以，c，离心率为：，【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.（山东省济南市2019届高三3月模拟考试理科数学试题）11.设，分别是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出关系，求出离心率.【详解】设，则由椭圆的定义，可以得到,在中，有，解得在中
3、，有整理得，故选C项.【点睛】本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出关系，得到离心率.属于中档题.（陕西省汉中市略阳天津高级中学、留坝县中学、勉县二中等12校2019届高三下学期校级联考数学（文）试题）7.若二次函数的图象与坐标轴的交点是椭圆：的顶点或焦点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由题意首先确定椭圆的焦点和长轴端点，据此求得b的值，最后求解实数k的值即可.详解：由题意得，椭圆C的一个焦点为，长轴的一个端点为（2，0），所以，由（0，-2k)是椭圆C的一个顶点，得或，所以.本题选择B选项.点睛：本题主要考查椭圆的几何性质，二
4、次函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（四川省绵阳市2019届高三上学期期末数学（文科）试题）12.已知点在离心率为的椭圆上，是椭圆的一个焦点，是以为直径的圆上的动点，是半径为2的圆上的动点，圆与圆相离且圆心距，若的最小值为1，则椭圆的焦距的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由圆与圆相离且圆心距，以及的最小值为1，可得圆的直径，即的长，再由在椭圆上，可得，进而可求出结果.【详解】因为是以为直径的圆上的动点，是半径为2的圆上的动点，圆与圆相离且圆心距，又的最小值为1，所以，解得，又因在椭圆上，所以，因为离心率为，所以,所以，故，所以.故选C【点
5、睛】本题主要考查椭圆的简单性质，做题的关键在于，由两圆相离先确定的长，进而可根据椭圆的性质，即可求出结果，属于常考题型.（四川省绵阳市2019届高三上学期期末数学（文科）试题）16.已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，点为的内心，且、的面积分别为、，若，则的值为_【答案】5【解析】【分析】先根据离心率求得a、c的关系，再根据已知条件用a、c表示出，求得结果.【详解】据题意，因为离心率，设 点为的内心，设半径为r，得 化简得，设 故答案为：5.【点睛】本题目考查了椭圆的离心率、定义以及性质，结合三角形类型的知识的综合问题，属于较难题.三角形的内心：角平分线的交点；三角形的外心：垂
6、直平分线的交点；三角形的重心：中线的交点.（福建省2019届高三毕业班备考关键问题指导适应性练习（四）数学(文)试题）12.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知、是一对相关曲线的焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是( )A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】设， ，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，根据余弦定理可得，利用椭圆和双曲线的定义，结合离心率的公式，求得结果.【详解】设椭圆的长半轴长为，椭圆的离心率为，则，双曲线的实半轴长为，双曲线的离心率为，设， ，则，当点P被看作是椭圆上的点时，有，当点
7、P被看作是双曲线上的点时，有 ，两式联立消去得，即，所以，又，所以，整理得，解得或（舍去），所以，即双曲线的离心率为，故选A【点睛】该题考查的是有关椭圆和双曲的有关问题，涉及到的知识点有椭圆和双曲线的定义，新定义，椭圆和双曲线的离心率，余弦定理，属于中档题目.（甘肃、青海、宁夏2019届高三3月联考数学（理）试题）5.如图，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分析图知2a,2b,则e可求.【详解】由题2b=16.4,2a=20.5,则则离心率e= .故选：B.【点睛】本题考查椭圆的离心率，熟记a,b的几何意义是关键
8、，是基础题.（安徽省蚌埠市2019届高三第一次教学质量检查考试数学（文）试题）10.已知，是椭圆的左右焦点，点的坐标为，则的角平分线所在直线的斜率为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先推导出轴，从而，点关于的角平分线对称的点在线段的延长线上，求得，可得的坐标，由此能求出线段的中点,进而可得结果【详解】，是椭圆的左右焦点，轴，点关于的角平分线对称的点在线段的延长线上，又，线段的中点，的角平分线的斜率故选A【点睛】本题主要考查椭圆的方程、椭圆的定义以及椭圆的简单性质，考查了斜率公式的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，是中档题（广东省潮州市2019届高三上学期期末教学质量
9、检测数学（文）试题）20.已知椭圆：与抛物线：相交于，两点的顶点是的一个焦点，过点B且斜率为的直线l与、分别交于点M、均异于点A、求的方程若点A在以线段MN为直径的圆外，求k的取值范围【答案】（）；（）.【解析】【分析】由抛物线的顶点，可得椭圆下焦点为即得c值，由，可得，代入抛物线得b，再利用，可得椭圆的方程依题意知直线l的方程为，分别与椭圆、抛物线的方程联立得点M，N的坐标，再利用数量积的运算性质及其根与系数的关系即可得出【详解】解：抛物线的顶点为，即椭圆的下焦点为，由，知，代入抛物线得，得，的方程为依题意知直线l的方程为，与联立消去y得：，则，得，由，得，由，得，则，得，点A在以MN为直径
10、的圆外，又，解得，综上知【点睛】本题考查椭圆与抛物线的方程及其性质、数量积运算性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查推理能力与计算能力，属于中档题（广西梧州市、桂林市、贵港市等2019届高三（上）期末数学试题（文科）11.设P为椭圆C：上一动点，分别为左、右焦点，延长至点Q，使得，则动点Q的轨迹方程为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】推导出，从而，进而得到Q的轨迹为圆，由此能求出动点Q的轨迹方程【详解】为椭圆C：上一动点，分别为左、右焦点，延长至点Q，使得，的轨迹是以为圆心，为半径的圆，动点Q的轨迹方程为故选：C【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查椭圆的定义、圆的标准方
11、程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题（广西梧州市、桂林市、贵港市等2019届高三上学期期末理科数学试题）12.设，分别是椭圆的左、右、上顶点，为坐标原点，为线段的中点，过作直线的垂线，垂足为.若到轴的距离为，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合草图，利用相似求得OG，写出H坐标，利用计算从而求得值.【详解】如图示过H作轴于点G，则相似， ,即 故 即 ，即 故选：C.【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，利用相似是关键，属于基础题.（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试（一）文科数学试题）12.直线与椭圆相交于两点，设是坐标原点，则的面积为（ ）A. B
12、. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求得弦长，然后求得到直线的距离，再求得三角形的面积.【详解】由解得，所以.到直线的距离为.故三角形的面积为.故选D.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆交点坐标，直线和椭圆相交所得弦长公式，考查点到直线距离公式，考查三角形的面积公式，考查运算求解能力，属于中档题.解题过程中联立直线的方程椭圆的方程，解出交点的坐标，再用两点间距离公式求得弦长.（山东省济南市2019届高三3月模拟考试数学（文）试题）16.设，分别是椭圆的左右焦点，为椭圆的下顶点，为过点，的圆与椭圆的一个交点，且，则的值为_.【答案】【解析】【分析】根据对称性可以找到圆心的坐标，利用，构造方
13、程，得到的值.【详解】设过三点的圆的圆心为 是通径的一半， 是圆中的一条弦，根据圆的对称性可知的坐标，整理得 整理得解得，舍去负根【点睛】本题考查椭圆的几何关系与圆的几何关系.综合程度较大，属于难题.（陕西省咸阳市2019届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题）13.椭圆的焦距为_.【答案】【解析】【分析】直接利用椭圆的方程求出，然后求出，即可得结果.【详解】因为椭圆：，所以，所以，所以，所以椭圆的焦距为2，故答案为：2.【点睛】该题考查的是有关椭圆的焦距的求解问题，涉及到的知识点有已知椭圆的方程求，椭圆中三者之间的关系，属于简单题目.（四川省南充市高三2019届第二次高考适应性考试高三数学（
14、理）试题）12.已知直线与椭圆交于两点，且（其中为坐标原点），若椭圆的离心率满足，则椭圆长轴的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】联立直线方程与椭圆方程得（a2+b2）x22a2x+a2a2b20，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由OPOQ，得0，由根与系数的关系可得：a2+b22a2b2由椭圆的离心率e满足e，化为，即可得出【详解】联立 得：（a2+b2）x22a2x+a2a2b20，设P（x1，y1），Q（x2，y2）4a44（a2+b2）（a2a2b2）0，化为：a2+b21x1+x2 ，x1x2OPOQ，x1x2+y1y2x1x2+（x11）（x21
15、）2x1x2（x1+x2）+10，2+10化为a2+b22a2b2b2椭圆的离心率e满足e，化为54a26解得： 2a 满足0椭圆长轴的取值范围是，故选：A【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（河北省省级示范性高中联合体2019届高三3月联考数学（文）试题）5.如图，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分析图知2a,2b,则e可求.【详解】由题2b=16.4,2a=20.5,则则离心率e= .故选：B.【点
16、睛】本题考查椭圆的离心率，熟记a,b的几何意义是关键，是基础题.（陕西省四校联考2019届高三12月模拟数学试卷（文科）试题）11.设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，则C的离心率为A. B. C. D. 【答案】A【解析】设 又 的离心率为 故选A.（四川省成都市实验外国语学校2019届高三二诊模拟考试理科数学试题）20.已知椭圆: 的左右焦点分别是，抛物线与椭圆有相同的焦点，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且满足（1）求椭圆的方程；（2）与抛物线相切于第一象限的直线，与椭圆交于两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与轴交于点，求直线斜率的最小值.【答案】（）；（）.【解析】【分析】
17、(1)首先可以通过抛物线与椭圆有相同的焦点得出椭圆的焦点坐标，然后通过列出等式并解出的值，最后带入抛物线方程中即可得出结果；(2)首先可以设出切点坐标并写出切线方程，然后将切线方程与椭圆方程联立，设两点坐标为并根据切线方程与椭圆交于两点并求出的值，然后根据的值写出的中点坐标以及的垂直平分线方程，最后写出并得出结果。【详解】(1)因为抛物线与椭圆有相同的焦点，所以椭圆的焦点，设点P的坐标为则，解得（舍去），将点坐标代入抛物线方程式可得，又，联立可解得，所以椭圆的方程为；(2)设与抛物线相切的切点坐标为，则，整理得直线，与椭圆方程联立可得，设，所以，的中点坐标为，所以的垂直平分线方程为，即，因为所
18、以，最小值为。【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了椭圆的相关性质、抛物线的相关性质、两点间距离公式、抛物线与直线的相关性质，考查了推理能力与计算能力，考查了化归与转化思想，体现了综合性，提高了学生对于圆锥曲线综合的理解，是难题。（四川省泸州市2019届高三第二次教学质量诊断性考试数学（理）试题）20.已知椭圆，点，中恰有三点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的动点，由原点向圆引两条切线，分别交椭圆于点，若直线的斜率存在，并记为，试问的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据对称性可知椭圆C经过P3，P4两点，则图
19、象不经过点P1，故P2在椭圆上，代入点坐标可求出椭圆方程;（2）由直线OP：yk1x，OQ：yk2x与圆M相切，运用圆心到直线的距离为半径，即可得到k1，k2为方程（x022）k22x0y0k+y0220的两个不等的实根，运用韦达定理和点M在椭圆上，满足椭圆方程，化简即可得到k1k2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），表示出OPQ的面积S|x1x2|k1k2|，代值计算即可求出.【详解】解：（1）由于P3，P4两点关于原点对称，故由题设可知C经过P3，P4两点，则图象不经过点P1，故P2在椭圆上，b，解得a26，b23，故椭圆C的方程为.（2）直线OP：yk1x，OQ：yk2x，与圆M相切
20、，由直线和圆相切的条件：dr，可得，即有（x022）k122x0y0k1+y0220，同理：直线OQ：yk2x与圆M相切，可得（x022）k222x0y0k2+y0220，即k1，k2为方程（x022）k22x0y0k+y0220的两个不等的实根，可得k1k2，点R（x0，y0）在椭圆C上，k1k2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），|OP|x1|点Q到直线OP的距离d，|x1|，|x2|，OPQ的面积S|x1x2|k1k2| ，【点睛】本题考查了椭圆的简单性质、点与圆的位置关系等基础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于难题（江西省上饶市2019届高三第二次模拟考试
21、数学（文）试题）20.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）过轴上一点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，设直线，（为坐标原点）的斜率分别为，若对任意实数，存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据条件列方程组，解得，（2）利用坐标表示，设直线的方程，并与椭圆方程联立，由韦达定理代入化简可得，最后根据，解得的取值范围【详解】（1）椭圆的离心率，又点在椭圆上，得，椭圆的标准方程为.（2）由题意得，直线的方程为，由，消元可得，设，则， ，由，得，即，又，.【点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达
22、定理或求根公式进行转化，通常抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数性质的探求来使问题得以解决.（江西省上饶市2019届高三第二次模拟考试数学（理）试题）19.已知圆的方程为，点，点为圆上的任意一点，线段的垂直平分线与线段相交于点.（1）求点的轨迹的方程；（2）已知点，过点且斜率为的直线交轨迹于、两点，以、为邻边作平行四边形，是否存在常数，使得点在轨迹上，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）由椭圆的定义，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，进而求得N的轨迹方程；（2）设直线,与椭圆联立，得韦达定理，以、为邻边作平行四边形
23、的顶点在椭圆上，转化为坐标化后B点在椭圆上，得k的方程求解即可【详解】（1）知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，则a=,（2）设直线,与椭圆联立设，消去，得 点代入椭圆方程：得 又满足 存在常数，使得平行四边形的顶点在椭圆上【点睛】本题考查椭圆与直线的位置关系，定义法求轨迹方程，平行四边形的转化，点在曲线上的应用，熟练转化条件，准确计算是关键，是中档题（湖南师大附中2019届高三月考试题（七） 数学（理）20.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，为椭圆短轴的一个端点，为椭圆的右焦点，线段的延长线与椭圆相交于点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，若直线与的斜率之积为
24、，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意得b=2，由，得到，代入椭圆方程，结合a2b2+c2，联立解出即可（2）解法一：先考虑斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，将条件坐标化，把根与系数的关系代入可得：，代入中，化简得，又，可得所求范围，再考虑斜率不存在时，求得点A，B坐标，计算数量积，与k存在时的范围取并集即可.解法二：设直线OA斜率为k，将直线OA的方程与椭圆联立，求得A的坐标，利用写出B的坐标，代入化简后，利用基本不等式求得最值.【详解】（1）设椭圆的方程为，右焦点，因为为椭圆短轴的一个端点，则.因为，则点.因为点在椭圆上，则，即.又，则，得，所以椭圆
25、的标准方程是.（2）解法一：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程，得，即.设点，则，.因为，则，即，即，即，所以，即，化简得.所以 .因为 ，则，所以.又，则，即，则，所以.当直线的斜率不存在时，点，关于轴对称，则.因为，不妨设，则.联立与，得点，或点，此时.综上分析，的取值范围是.解法二：因为，设，则.设点，则，即，所以.由，得，即，所以.同理，.所以 .因为，当且仅当，即时取等号，则.即，且，所以的取值范围是.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了向量数量积的运算，涉及基本不等式的性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题（陕
26、西省西安地区陕师大附中、西安高级中学、高新一中、铁一中学、西工大附中等八校2019届高三3月联考数学（文）试题）20.已知椭圆C过点，两个焦点求椭圆C的标准方程；设直线l交椭圆C于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为3，求面积的最大值【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】由题意可设椭圆方程为：，半焦距可得，联立解出即可得出直线l与x轴平行时，把代入椭圆方程可得：，解得x，可得面积直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：，设，原点到直线AB的距离，化为：直线方程与椭圆方程联立化为：，利用根与系数的关系可得，令，可得面积【详解】由题意可设椭圆方程为：，半焦距c则，联立解得：，椭圆C的标准方程
27、为：直线l与x轴平行时，把代入椭圆方程可得：，解得，可得面积直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：，设，原点到直线AB的距离，化为：联立，化为：，则，令，则面积，当且仅当，时，面积取得最大值【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题（江西省红色七校2019届高三第一次联考数学（文）试题）22.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，原点到过点，的直线的距离是1求椭圆的方程；2设动直线与椭圆有且只有一个公共点，过作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程【答案】（1）；（2）证明见解析，.【
28、解析】【分析】1由抛物线的焦点坐标求得，结合隐含条件得到，再由点到直线的距离公式得到关于a，b的另一关系式，联立方程组求得a，b的值，则椭圆方程可求；2联立直线方程和椭圆方程，消去y得到，由判别式等于0整理得到，代入求得P的坐标，然后写出直线方程为，联立方程组，求得，即说明点Q在定直线上【详解】1由抛物线的焦点坐标为，得，因此，直线AB：，即原点O到直线AB的距离为，联立，解得：，椭圆C的方程为；2由，得方程，由直线与椭圆相切，得且，整理得：，将，即代入式，得，即，解得，又，则，直线方程为，联立方程组，得，点Q在定直线上【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，考查了点到直线距离公式的应用，考查了直线
29、和圆锥曲线的关系，训练了两直线交点坐标的求法，是中档题圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.（广东省揭阳市2019届高三一模数学（理科）试题）20.已知点在椭圆:上，椭圆的焦距为2. （1）求椭圆的方程；（2）斜率为定值k的直线与椭圆交于A、B两点，且满足的值为常数，（其中O为坐标原点）（i）求k的值以及这个常数；（ii）写出一般性结论（不用证
30、明）：斜率为定值k的直线与椭圆交于A、B两点，且满足的值为常数，则k的值以及这个常数是多少？【答案】（1）； （2）见解析.【解析】【分析】（1）先根据条件列方程组，解得，（2）（i）先代入坐标化简，联立直线方程与椭圆方程，再利用韦达定理代入化简得关于的关系式，最后根据的值为常数解得k的值以及这个常数；（ii）根据（i）的推理过程，可得一般性结论.【详解】（1）由点P在椭圆上得， ，又，解得，得，椭圆的方程为； （2）（i）设直线的方程为，联立，得， 又， 要使为常数，只需，得， ， ，这个常数为5； （ii），这个常数为【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“
31、定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.（广东省揭阳市2019届高三一模数学（文科）试题）20.已知椭圆:，直线（）与椭圆交于不同的两点、. （1）若，求的值；（2）试求（其中O为坐标原点）的最大值.【答案】（1）； （2）1 .【解析】【分析】（1）联立直线方程与椭圆方程，利用弦长公式以及韦达定理求弦长，解方程得结果，（2）先代入坐标化简，再利用韦达定理代入化简得关于的函数关系式，最后根据基本不等式求最值.【详解】（1）由
32、 消去y并整理得， 直线与椭圆交于不同的两点、，即，设，则， 即，解得.（2） 又 ， =，即的最大值为1.（当且仅当时，取得最大值）【点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.（河南省十所名校2019届高三尖子生第二次联合考试数学（理）试题）20.椭圆的离心率为且四个顶点构成面积为的菱形.（）求椭圆的标准方程；（）过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，记中点为，坐标原点为，直线交椭圆于，两点，当四边形的面积为时，求
33、直线的方程.【答案】（）；（）或.【解析】【分析】（）由离心率为结合得到，结合四个顶点构成面积为的菱形列方程即可求解.（）设点，的坐标分别为，点坐标为，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程可得：，即可求得直线的方程为，联立直线与椭圆方程即可求得，求出两点到直线的距离，结合四边形的面积为列方程即可求得，问题得解。【详解】解：（）设椭圆的焦距为，则，又，所以.因为，所以，故所求椭圆的标准方程为.（）设点，的坐标分别为，直线的方程为，与椭圆方程联立，得 .设点坐标为，则有，因此.所以直线的方程为，与椭圆方程联立，得.所以弦长.不妨设点在直线：上方，则点在直线：下方.点到直线的距离为，点到直线的距离为.
34、所以.所以面积 .因此直线的方程为或.【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及韦达定理，考查中点坐标公式及点到直线距离公式，考查方程思想及计算能力，属于难题。（广东省六校2019届高三第三次联考理科数学试题）20.如图，设点A，B的坐标分别为（-，0），()，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为-（1）求P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为C，点M、N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足APOM，BPON，求证：MON的面积为定值【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）直接法求动点轨迹方程：先设动点坐标，根据条件斜率之积为列方程：，化简整理得标准方程，注意变形过程中的等价性，即纯粹性
35、（2）解决解析几何中定值问题，一般方法为以算代证，即计算出的面积，由平行条件得斜率关系：由得，即得坐标关系；设直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，代入可得，而三角形面积可表示为，将代入化简得试题解析：（1）由已知设点的坐标为，由题意知，化简得的轨迹方程为5分（2）证明：由题意是椭圆上非顶点的两点，且，则直线斜率必存在且不为0，又由已知因为，所以6分设直线的方程为，代入椭圆方程，得，7分设的坐标分别为，则8分又，9分所以，得 10分又，所以，即的面积为定值12分考点：直接法求动点轨迹方程，圆锥曲线中定值问题【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值
36、”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.（四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试文科数学试题）20.已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为.求椭圆的方程；设为椭圆上的两动点，为线段的中点，直线（为坐标原点）的斜率都存在且分别记为，试问的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）为定值，此定值为【解析】【分析】（1）根据已知条件列方程组，解方程组求得的值，进而
37、求得椭圆方程.（2）利用点差法求得为定值.【详解】由题意得，解得.所以椭圆的方程为：设的坐标分别为，点的坐标为，即由已知，所以，即则，于是.所以为定值，此定值为【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查利用点差法求解有关中点弦的问题，属于中档题.（四川省凉山州市2019届高三第二次诊断性检测数学（理科）试题）20.椭圆长轴右端点为，上顶点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线交椭圆于、两点，判断是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在直线：满足要求.【解析】【分析】（1）由条件布列关于a
38、，b的方程组，即可得到椭圆的标准方程；（2）由为的垂心可知，利用韦达定理表示此条件即可得到结果.【详解】解：（1）设椭圆的方程为，半焦距为.则、由，即，又，解得，椭圆的方程为（2）为的垂心，又，设直线：，将直线方程代入，得，且又，即由韦达定理得：解之得：或（舍去）存在直线：使为的垂心.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、三角形垂心的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题（山东省泰安市2019届高三一轮复习质量检测数学（理）试题）19.已知椭圆的离心率，且经过点求椭圆的方程；过点且不与轴重合的直线与椭圆交于
39、不同的两点，过右焦点的直线分别交椭圆于点，设， ,求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】由题意可得，解得，即可求出椭圆方程，设直线l的斜率为k，则，分两种情况，求出直线AG的方程，联立直线与椭圆的方程，由根与系数的关系的分析可得范围，即可得答案【详解】解：由题意可得，解得，则椭圆方程为，设直线l的斜率为k，则，由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，由，可得，则，当AM与x轴不垂直时，直线AM的方程为，即，代入曲线C的方程又，整理可得，当AM与x轴垂直时，A点横坐标为，显然也成立，同理可得，设直线l的方程为，联立，消去y整理得，由，解得，又，即的取值范围是【点睛】本题考查椭圆的几何性质
40、，涉及直线与椭圆的位置关系，关键依据向量关系找出坐标之间的关系.（山东省泰安市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）20.已知椭圆的离心率为，抛物线的准线被椭圆截得的线段长为（1）求椭圆的方程；（2）如图，点分别是椭圆的左顶点、左焦点直线与椭圆交于不同的两点（都在轴上方）且证明：直线过定点，并求出该定点的坐标【答案】（1）；（2）直线过定点【解析】【分析】（1）根据题意可得1，a22b2，求解即可.（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式将条件转化，即可求k，m的关系式，代入直线方程即可求出定点.【详解】（1）由题意可知，抛物线的准线方程为，又椭圆被准线截得弦长为
41、，点在椭圆上， 又，由联立，解得，椭圆的标准方程为：，（2）设直线，设，把直线代入椭圆方程，整理可得，即，都在轴上方且，即，整理可得，即，整理可得，直线为，直线过定点.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式的应用，考查计算能力，属于中档题（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）19.已知椭圆，点在椭圆上，椭圆的离心率是.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点为椭圆长轴的左端点，为椭圆上异于椭圆长轴端点的两点，记直线斜率分别为，若，请判断直线是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由.【答案】（1）（2）过定点【解析】【分析】
42、（1）由点M（1，）在椭圆C上，且椭圆C的离心率是，列方程组求出a2，b，由此能求出椭圆C的标准方程（2）设点P，Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为ykx+m，联立，得：（4k2+3）x2+8kmx+（4m212）0，利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件得直线PQ的方程过定点（1，0）；再验证直线PQ的斜率不存在时，同样推导出x01，从而直线PQ过（1，0）由此能求出直线PQ过定点（1，0）【详解】（1）由点在椭圆上，且椭圆的离心率是，可得，可解得：故椭圆的标准方程为.（2）设点的坐标分别为，（）当直线斜率不存在时，由题意知，直线方程和曲
43、线方程联立得：，（）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，消去得：，由，有，由韦达定理得：，故，可得：，可得：，整理为：，故有，化简整理得：，解得：或，当时直线的方程为，即，过定点不合题意，当时直线的方程为，即，过定点，综上，由（）（）知，直线过定点.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程是否过定点的判断与求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题（江苏省七市2019届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三第二次调研考试数学试题）18.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：，椭圆C2：，C2与C1的长轴长之比为1，离心率相同（1）求椭圆C2的标准方程；（2）设点为椭圆C2上一点 射线与椭圆C1依次交于点，求证：为定值； 过点作两条斜率分别为