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1、题1.1 路灯离地面高度为H，一个身高h的人，在灯下水平路面上以匀速步行，步行速度值为v0H0h人x解：建坐标如图。任意解：建坐标如图。任意时刻影子长为时刻影子长为l，影子移，影子移动的速度为动的速度为xol求：当人与灯距离为 x人时,头顶在地面的影子移动的速度v。第1页/共36页dxudt影()dxldt人dxdldtdt人H0人xxol由图可得由图可得Hhxll人hxlH h人0hdldtHh 00hHh 0HH h 则则第2页/共36页题1.2 如图所示，椭圆规的AB杆上A、B两点分别沿oy槽、ox槽移动，且A点以匀速v0运动。试求杆上C点的运动轨迹，速度和加速度。第3页/共36页l1l
2、2ABCOyx1.2题图题图第4页/共36页【解解】求轨迹 设设t时刻时刻AB杆与杆与x轴的夹角为轴的夹角为，则，则C点坐标点坐标为为在以上两式中消去在以上两式中消去得得C点轨迹为椭圆点轨迹为椭圆12122coscos()cos ,sinccxllllyl (1)22221221()ccxylll (2)第5页/共36页n求速度和加速度C点得速度分量为点得速度分量为122()(sin)cosCCxCCydxdvlldtdtdydvldtdt (3)110,sin,0,cosAAA xA yxyldvvldt (4)第6页/共36页按题意按题意 vAv0，由，由(4)式得式得代入代入 (3)式得
3、式得C点的速率点的速率01cosvddtl (5)12120011201() sin()tan,cosC xC yllllvvvlllvvl (6)2222220121() tan CCxCxvvvvllll (7)第7页/共36页将将(3)式对时间求导，得式对时间求导，得C点的加速度点的加速度由于杆的由于杆的A端作匀速直线运动，端作匀速直线运动，aA0 或或 aAy0，而，而221212222222()cos()sinsincosCxCxCyCydvddalllldtdtdtdvddalldtdtdt (8)22112sincos0AyAydvddalldxdtdt (9)第8页/共36页由
4、此得由此得222212tan()0c s,o,CxCydddtdtlldaadt (10)(11)222122120231()()()cos()1cosCCxCylldaaadtllvl (12)对（对（6）式可直接求导得到以上结果）式可直接求导得到以上结果第9页/共36页题1.3 以速度V和地平面成角发射一火箭，在驱动力、空气阻力、重力三者作用下使火箭作恒定速率的曲线运动。已知驱动力和空气阻力所产生的加速度仅有切向分量。求火箭的运动轨迹。第10页/共36页xogav0v0ydydxds题题1.3图图第11页/共36页【解】设驱动力与阻力所产生的加速度为设驱动力与阻力所产生的加速度为a，火箭的
5、，火箭的加速度为加速度为aag其切向分量和法向分量分别为其切向分量和法向分量分别为sin,cosnaagag 因为火箭的速率恒定，故有因为火箭的速率恒定，故有0dvadt（1）即有即有2sin0,cosnvaagag（2）第12页/共36页式中式中是火箭所在处的曲率半径。是火箭所在处的曲率半径。,cos1cosdsdxddsdddsdxds dx 代入（代入（2）式得）式得2dgdxv （3）将（将（3）式积分，考虑初始条件，当）式积分，考虑初始条件，当t0时，时，x0， 0。可得。可得02gxv 第13页/共36页又因为又因为02tan,tan()dydygxdxdxv （4）对上式两边积分
6、，并考虑当对上式两边积分，并考虑当 x 0时时 y0，可得，可得2002coslncos()vygxgv 第14页/共36页题1.4 一气球以v0速率自地面开始上升，由于风的影响，气球的水平速度以vx=by的规律变化，其中b为常量，y是气球离地面的高度（x轴取地平面向右的方向） 。试求（1）气球的运动轨迹方程（2）气球沿运动轨迹的切向加速度和曲率半径与y的关系第15页/共36页xyo气球气球题题1.4图图第16页/共36页【解】（1）取直角坐标系）取直角坐标系oxy。设。设t0时，气球位时，气球位于地面坐标原点处。于地面坐标原点处。 已知已知 vy= v0 , vx = by 即有即有 y =
7、 v0t (1) 00 xdxvbybv tdxbv tdtdt则则由由积分可得积分可得202bvxt(2)气球的运动方程气球的运动方程2002bvrt iv tj(3)消去消去t可得轨迹方程可得轨迹方程20y2bxv(4)第17页/共36页（2）气球的速率）气球的速率2222222000()xyvvvbv tvb yv加速度加速度(5)22002222201b v tb v ydvadtb tb yv(6)222xyaaa222000 xxydvabvaab vdt,22naaa 切向加速度切向加速度(7)法向加速度法向加速度第18页/共36页得到得到202220322222020()nnb
8、vab yvb yvvabv (8)(9)第19页/共36页题1.5 一细杆绕o端点在平面内以匀角速旋转，角速度为。在杆上套有一小环（可看作质点）相对于杆作匀速运动，速率为u。时间t0时小环位于端点o处。求小环的运动轨迹及在任意时刻小环的速度和加速度。第20页/共36页【解】取平面极坐标系。设取平面极坐标系。设t0时，杆与极轴重合。时，杆与极轴重合。任意任意t时刻时刻,rutturt =消去消去t小环的轨迹是阿基米德螺旋线径向速度径向速度rvruvrru t横向速度横向速度22222 2()1rvvvuu tut速率速率第21页/共36页小环的加速度小环的加速度200()(2)dvarrrrr
9、dt 2000,02rarrr 22222 20,0224rrarutraruaaaut 径向加速度径向加速度横向加速度横向加速度加速度加速度第22页/共36页题题1.5图图第23页/共36页题1.6 一条笔直的河流，宽为d，河水以恒定速度u流动。小船从河岸A点出发，为了到达对岸的O点，它相对于河水以匀速率v（vu）运动，无论在何处，小船的运动方 向 始 终 指 向 O 点 。 已 知 A O = r0，AOP=0。求小船的运动轨迹。若O点刚好在A点的正对面（即AO=d）结果又如何？第24页/共36页题1.6图 第25页/共36页【解】取平面极坐标系。极点与取平面极坐标系。极点与O重合，极轴与
10、河岸重合，极轴与河岸OP重合。小船的位置由重合。小船的位置由r、确定。确定。径向速度与横向速度分别为径向速度与横向速度分别为rcos ,sindrdvvuvrudtdt 两式相除得两式相除得sincosdrdudtrdrdrvudt 第26页/共36页分离变量分离变量0000000cos()sinsin()sinln(ln tanln tan)(lnsinlnsin)22tansin2lnsintan2rrvudrvuvdctgdruudrvctgdrurvru 积分积分第27页/共36页小船的运动轨迹方程小船的运动轨迹方程000tansin2sintan2vurr 若若O点在点在A点正对面，
11、则点正对面，则r0d，0/2。则有。则有0tansin2vudrr 第28页/共36页题1.7 质点在有心力的作用之下运动，此力的量值为质点到力心距离r的函数，而质点的速率与此距离成反比，即 v = a/r。如果 ，求质点的轨迹方程。假设当 r = r0时，=0= 0。222a h (h=r)第29页/共36页解题思路：解题思路：要求质点的轨迹方程，即求要求质点的轨迹方程，即求 r 关于关于的函数，的函数，利用速率的平方等于径向速度和横向速度的平方之和，利用速率的平方等于径向速度和横向速度的平方之和，求得关于求得关于 的一阶微分方程。的一阶微分方程。 drd而而即即第30页/共36页两边积分得两边积分得 第31页/共36页q=+rrroovcrrrb22()2q=-+rrrooacbrrbc第32页/共36页第33页/共36页第34页/共36页第1次习题 教材第一章练习（P46）1-6、1-8、1-10、1-12 、 1-13、1-14、1-15 、1-16第35页/共36页感谢您的观看。第36页/共36页