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1、例 4已知log4log 4mn，比较m，n的大小。解：log4log 4mn，4411loglogmn，当1m，1n时，得44110loglogmn，44loglognm， 1mn当01m，01n时，得44110loglogmn，44loglognm， 01nm当01m，1n时，得4log0m，40log n，01m，1n， 01mn综上所述，m，n的大小关系为1mn或 01nm或01mn例 5求下列函数的值域：（1）2log (3)yx； （2）22log (3)yx； （3）2log (47)ayxx（0a且1a） 解： （1）令3tx，则2logyt，0t， yR，即函数值域为R（2）
2、令23tx，则03t，2log 3y， 即函数值域为2(,log3（3）令2247(2)33txxx，当1a时，log 3ay， 即值域为log3,)a，当01a时，log 3ay， 即值域为(,log3a例 6判断函数22( )log (1)f xxx的奇偶性。解：21xx恒成立，故( )f x的定义域为(,)，22()log (1)fxxx221log1xx222221log(1)xxxx22log1( )xxf x，所以，( )f x为奇函数。例 7求函数2132log (32)yxx的单调区间。解：令223132()24uxxx在3,)2上递增，在3(,2上递减，又2320 xx，2x
3、或1x，故232uxx在(2,)上递增， 在(,1)上递减，又132logyu为减函数，所以，函数2132log (32)yxx在(2,)上递增，在(,1)上递减。例 8若函数22log ()yxaxa在区间(,13)上是增函数，a的取值范围。解：令2( )ug xxaxa，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 函数2logyu为减函数，2( )ug xxaxa在区间(,13)上递减，且满足0u，132(13)0ag，
4、解得22 32a，所以，a的取值范围为22 3, 2例 1已知函数2( )fxxbxc满足(1)(1)fxfx，且(0)3f，则()xf b与()xf c的大小关系是 _分析：先求bc，的值再比较大小，要注意xxbc，的取值是否在同一单调区间内解：(1)(1)fxfx，函数( )f x的对称轴是1x故2b，又(0)3f，3c函数( )f x在1，上递减，在1 ， 上递增若0 x，则321xx，(3 )(2 )xxff；若0 x，则321xx，(3 )(2 )xxff综上可得(3 )(2 )xxff，即()()xxf cf b评注：比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等
5、对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论2求解有关指数不等式例 2已知2321(25)(25)xxaaaa，则 x 的取值范围是 _分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围解：2225(1)441aaa，函数2(25)xyaa在()，上是增函数，31xx，解得14x x 的取值范围是14， 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论3求定义域及值域问题例 3求函数216xy的定义域和值域解：由题意可得2160 x，即261x，20 x，故2x函数( )f x的定义域是2，名师资料总结 -
6、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 令26xt，则1yt，又2x，20 x 2061x，即01t011t，即01y函数的值域是01，评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响4最值问题例 4函数221(01)xxyaaaa且在区间 11，上有最大值 14，则 a 的值是 _分析：令xta可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后t的取值范围解：令xta，则0t，函数221xxyaa可化为2(1)2yt，其对称轴为
7、1t当1a时，11x，1xaaa，即1taa 当ta时，2max(1)214ya解得3a或5a（舍去）；当01a时，11x，1xaaa，即1ata ，1ta时，2max11214ya，解得13a或15a（舍去）， a 的值是 3 或13评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等5解指数方程例 5解方程223380 xx解：原方程可化为29(3 )80390 xx，令3 (0)xtt，上述方程可化为298090tt，解得9t或19t（舍去），39x，2x，经检验原方程的解是2x评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根6图象变换及应用问题例
8、6为了得到函数935xy的图象，可以把函数3xy的图象（） A向左平移9 个单位长度，再向上平移5 个单位长度B向右平移 9 个单位长度，再向下平移5 个单位长度C向左平移 2 个单位长度，再向上平移5 个单位长度名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - D向右平移2 个单位长度，再向下平移5 个单位长度分析：注意先将函数935xy转化为235xt，再利用图象的平移规律进行判断解：293535xxy，把函数3xy的图象向左
9、平移2 个单位长度，再向上平移5 个单位长度，可得到函数935xy的图象，故选（ C） 评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等习题1、比较下列各组数的大小：（1）若，比较与；（2）若，比较与；（3）若，比较与；（4）若，且，比较a与b；（5）若，且，比较a与b解：（ 1）由，故，此时函数为减函数由，故（2）由，故又，故从而（3）由，因，故又，故从而（4）应有因若，则又，故，这样又因，故从而，这与已知矛盾（5）应有因若，则又，故，这样有又因，且，故从而，这与已知矛盾小结：比较通常借助相应
10、函数的单调性、奇偶性、图象来求解名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 2 曲线分别是指数函数 ,和的图象 , 则与 1 的大小关系是 ( ). (分析 : 首先可以根据指数函数单调性, 确定 , 在轴右侧令 , 对应的函数值由小到大依次为 , 故应选 . 小结 : 这种类型题目是比较典型的数形结合的题目, 第(1) 题是由数到形的转化, 第(2)题则是由图到数的翻译, 它的主要目的是提高学生识图, 用图的意识 . 求最
11、值3 求下列函数的定义域与值域. (1)y 231x; (2)y4x+2x+1+1. 解： (1) x-3 0， y231x的定义域为 xxR且 x3. 又31x0， 231x1，y231x的值域为 yy0 且 y1. (2)y 4x+2x+1+1 的定义域为R.2x0,y4x+2x+1+1(2x)2+22x+1(2x+1)21. y4x+2x+1+1 的值域为 yy1. 4 已知 -1x2, 求函数 f(x)=3+23x+1-9x的最大值和最小值解：设 t=3x, 因为 -1 x2，所以931t，且 f(x)=g(t)=-(t-3)2+12, 故当 t=3 即 x=1 时， f(x) 取最大
12、值 12，当 t=9 即 x=2 时 f(x)取最小值 -24 。5、设，求函数的最大值和最小值分析：注意到，设，则原来的函数成为，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值解：设，由知，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - ，函数成为，对称轴，故函数最小值为，因端点较距对称轴远，故函数的最大值为6（9 分）已知函数)1(122aaayxx在区间 1,1上的最大值是14，求 a 的值 . 解：)1(122aaa
13、yxx，换元为)1(122atatty，对称轴为1t. 当1a，at，即 x=1 时取最大值，略解得 a=3 (a= 5舍去 ) 7已知函数（且）（1）求的最小值；（2）若，求的取值范围 解： （1），当即时，有最小值为（2），解得当时，；当时，8（10分） （1）已知mxfx132)(是奇函数，求常数m的值；（2）画出函数|13|xy的图象，并利用图象回答：k为何值时，方程 |3 k无解？有一解？有两解？解： （1）常数 m=1 （2）当 k0时，直线 y=k与函数|13|xy的图象无交点 ,即方程无解 ; 当k=0或k1时, 直线 y=k与函数|13|xy的图象有唯一的交点，所以方程有一解
14、; 当 0k0 且 a1). (1) 求 f(x) 的定义域和值域；(2) 讨论 f(x)的奇偶性； (3) 讨论 f(x) 的单调性 . 解： (1) 易得 f(x) 的定义域为 xxR. 设 y11xxaa, 解得 ax-11yy ax0当且仅当 -11yy0时， 方程有解 . 解-11yy0得-1y1 时， ax+1 为增函数，且ax+10. 12xa为减函数，从而f(x)1-12xa11xxaa为增函数 .2 当 0a1 时，类似地可得f(x) 11xxaa为减函数 . 15、已知函数f（x）=a122x（aR） ，（1）求证：对任何aR，f（x）为增函数（2）若 f（x）为奇函数时，
15、求a 的值。（1）证明：设x1x2f（x2） f（x1）=)21)(21()22(22112xxxx0 故对任何 aR，f（x）为增函数（2）xR，又 f（x）为奇函数(0)0f得到10a。即1a16、定义在 R 上的奇函数)(xf有最小正周期为2，且)1 ,0(x时，142)(xxxf（1）求)(xf在1，1上的解析式；（2）判断)(xf在（ 0，1）上的单调性；（3）当为何值时，方程)(xf=在1 , 1x上有实数解 . 解（ 1） xR 上的奇函数0)0(f又 2 为最小正周期0) 1()1()12()1(ffff设 x（ 1，0） ，则 x（ 0，1） ，)(142142)(xfxfx
16、xxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 142)(xxxf（2）设0 x1x21) 的图像是 ( ) 分析本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想 . 解法 1：( 分类讨论 ) ：去绝对值，可得y).0()1(),0(xaxaxx又 a1，由指数函数图像易知，应选B. 解法 2：因为 ya x是偶函数，又a1，所以当 x0 时， yax是增函数； x0 时， ya-x是减函数 . 应选 B. (0,1) x142-1,0,1 x0(-1,0) x142)(xxxxxf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -