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1、类型一：正比例函数与一次函数定义1、当 m为何值时，函数y=- （m-2） x+（m-4）是一次函数？思路点拨：某函数是一次函数，除应符合y=kx+b 外，还要注意条件k0解：函数 y=- （m-2） x+（m-4）是一次函数， m=-2. 当 m=-2 时，函数y=- （m-2） x+（m-4）是一次函数举一反三：【变式 1】如果函数是正比例函数，那么（）. Am=2或 m=0 Bm=2 Cm=0 Dm=1 【答案】 ：考虑到x 的指数为1，正比例系数k0，即 |m-1|=1 ；m-20，求得m=0 ，选 C 【变式 2】已知 y-3 与 x 成正比例，且x=2 时， y=7. （1）写出
2、y 与 x 之间的函数关系式；（2）当 x=4 时，求 y 的值；（3）当 y=4 时，求 x 的值解析：（ 1）由于 y-3 与 x 成正比例，所以设y-3=kx 把 x=2 ，y=7 代入 y-3=kx 中，得7-32k， k 2 y 与 x 之间的函数关系式为y-3=2x ，即 y=2x+3（2）当 x=4 时，y=24+3=11（3）当 y 4 时， 4=2x+3，x=.类型二：待定系数法求函数解析式2、求图象经过点（2，-1 ） ，且与直线y=2x+1 平行的一次函数的表达式思路点拨：图象与y=2x+1 平行的函数的表达式的一次项系数为2，则可设此表达式为精品资料 - - - 欢迎下
3、载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - y=2x+b，再将点（ 2，-1 ）代入，求出b 即可解析：由题意可设所求函数表达式为y=2x+b，图象经过点（ 2 ，-1 ） ， - l=2 2+b b= -5，所求一次函数的表达式为 y=2x-5. 总结升华：求函数的解析式常用的方法是待定系数法，具体怎样求出其中的待定系数的值，要根据具体的题设条件求出。举一反三：【变式 1】已知弹簧的长度y（cm）在一定的弹性限度内是所挂重物的质量x（kg）的一次函数，现已测得不挂重物
4、时，弹簧的长度为6cm，挂 4kg 的重物时，弹簧的长度是7.2cm，求这个一次函数的表达式分析 :题中并没给出一次函数的表达式，因此应先设一次函数的表达式y=kx+b，再由已知条件可知，当x=0 时， y=6；当 x=4 时， y=求出 k，b 即可解：设这个一次函数的表达式为y=kx+b由题意可知，当 x=0 时， y=6；当 x=4 时， y=. 把它们代入y=kx+b 中得这个一次函数的表达式为y=+6【变式 2】已知直线y=2x+1（1）求已知直线与y 轴交点 M的坐标；（2）若直线y=kx+b 与已知直线关于y 轴对称，求k，b 的值解析：直线 y=kx+b 与 y=2x+l 关于
5、 y 轴对称，两直线上的点关于 y 轴对称精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 又直线 y 2x+1 与 x 轴、 y 轴的交点分别为A（ - ，0） ， B（0，1）, A（ - ，0） ， B （0，1）关于 y 轴的对称点为A（， 0） ，B（ 0，1） 直线 y=kx+b 必经过点A（， 0） ，B（ 0，1） 把 A（， 0） ，B（ 0，1）代入 y=kx+b 中得k -2 ，b 1所以（ 1）点 M （0， 1） （2）
6、k=-2,b=1 【变式 3】判断三点A （ 3，1） ，B（0，-2） ，C（ 4，2）是否在同一条直线上分析：由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立， 说明第三点在此直线上；若不成立， 说明不在此直线上解：设过 A ，B两点的直线的表达式为y=kx+b由题意可知，过 A，B两点的直线的表达式为y=x-2 当 x=4 时， y=4-2=2 点 C（ 4，2）在直线y=x-2 上三点 A （3，1） ， B（0，-2） ， C（4，2）在同一条直线上类型三：函数图象的应用3、图中的图象（折线ABCDE ）描述了一汽车在某一直线上的
7、行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km) 和行驶时间t(h) 之间的函数关系，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1) 汽车共行驶了 _ km；(2) 汽车在行驶途中停留了_ h ；(3) 汽车在整个行驶过程中的平均速度为_ km/h ；(4) 汽车自出发后3h 至之间行驶的方向是_. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 思路点拨：读懂图象所表达的信息，弄懂并熟悉图象语言. 图中给出的信息反映了行驶过程中时间和汽车位置的变化过程，横轴
8、代表行驶时间，纵轴代表汽车的位置. 图象上的最高点就是汽车离出发点最远的距离. 汽车来回一次，共行驶了1202=240(千米 ) ，整个过程用时小时，平均速度为240= ( 千米 / 时 )，行驶途中时2 时之间汽车没有行驶. 解析：(1)240 ； (2) ； (3) ； (4) 从目的地返回出发点. 总结升华：这类题是课本例题的变式，来源于生活，贴近实际，是中考中常见题型，应注意行驶路程与两地之间的距离之间的区别. 本题图象上点的纵坐标表示的是汽车离出发地的距离，横坐标表示汽车的行驶时间. 举一反三：【变式 1】图中，射线l甲、 l乙分别表示甲、乙两运动员在自行车比赛中所走的路程s 与时间
9、 t 的函数关系，求它们行进的速度关系。解析：比较相同时间内， 路程 s 的大小 . 在横轴的正方向上任取一点, 过该点作纵轴的平行线, 比较该平行线与两直线的交点的纵坐标的大小. 所以 . 甲比乙快【变式 2】小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校，所用的时间与路程的关系如图所示。放学后，如果他沿原路返回，且走平路、 上坡路、 下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是( ) 分钟分钟分钟分钟【答案】:D 分析：由图象可知，上坡速度为80 米/ 分；下坡速度为200 米/ 分；走平路速度为 100 米/ 分。原路返回， 走
10、平路需要8 分钟，上坡路需要10 分钟，下坡路需要2 分钟，一共 20 分钟。【变式3】某种洗衣机在洗涤衣服时, 经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如图所示：根据图象解答下列问题：（1）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？（2）已知洗衣机的排水速度为每分钟19 升. 求排水时y 与 x 之间的关系式
11、；如果排水时间为 2 分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量. 分析：依题意解读图象可知：从0 4 分钟在进水， 415 分钟在清洗，此时，洗衣机内有水 40 升， 15 分钟后开始放水. 解：（1）洗衣机的进水时间是4 分钟；清洗时洗衣机中的水量是40 升；（2）排水时y 与 x 之间的关系式为：y=40-19(x-15) 即 y=-19x+325 如果排水时间为2 分钟，则x-15=2 即 x=17，此时， y=40- 192=2.所以，排水结束时洗衣机中剩下的水量为2 升. 类型四：一次函数的性质4、己知一次函数y=kx 十 b 的图象交x 轴于点 A（一 6，0） ，交 y 轴于点 B，
12、且 AOB的面积为12，y 随 x 的增大而增大，求k，b 的值思路点拨：设函数的图象与y 轴交于点 B（0，b） ，则 OB=,由AOB 的面积，可求出b，又由点 A在直线上，可求出k 并由函数的性质确定k 的取值解析：直线 y=kx 十 b 与 y 轴交于点B（0，b） ，点 A在直线上，则，由，即，解得代入，可得，由于 y 随 x 的增大而增大，则k0, 取则总结升华：该题考查的是待定系数法和函数值，仔细观察所画图象，找出隐含条件。举一反三：【变式 1】已知关于x 的一次函数精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - -
13、 - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - （1）m为何值时，函数的图象经过原点? （2）m为何值时，函数的图象经过点（0， 2）? （3）m为何值时，函数的图象和直线y=x 平行 ? （4）m为何值时， y 随 x 的增大而减小？解析：（1）由题意， m需满足，故 m= 3时，函数的图象经过原点；（2）由题意得： m需满足，故 时，函数的图象经过点（0， 2） ；（3）由题意， m需满足，故 m=4 时，函数的图象平行于直线y= x；（4）当 3 m 0 时，即 m 3 时， y 随 x 的增大而减小【变式 2】 若直线（）不经过第一象限，则k、b的取
14、值范围是 _，_【答案】 ：(k0 ；b0)；分析：直线不经过第一象限，有可能是经过二、四象限或经过二、三、四象限，注意不要漏掉经过原点的情况。【变式 3】直线 l1：与直线l2：在同一坐标系中的大致位置是（） ABC D【答案】 ：C；分析：对于A，从 l1看 k 0，b0，从 l2看 b0，k0，所以 k，b 的取值自相矛盾，排除掉A。对于 B，从 l1看 k 0，b0，从 l2看 b0，k0，所以 k，b 的取值自相矛盾，排除掉B。 D答案同样是矛盾的，只有C答案才符合要求。【变式 4】函数在直角坐标系中的图象可能是（） 【答案】 ：B；分析：不论k 为正还是为负，都大于0，图象应该交于
15、x 轴上方。故选B 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 类型五：一次函数综合5、已知：如图，平面直角坐标系中，A（ 1 ， 0） ，B（0，1） ，C（-1 ， 0） ，过点 C的直线绕 C旋转，交y 轴于点 D，交线段AB于点 E。（1）求 OAB的度数及直线AB的解析式；（2）若 OCD与BDE的面积相等，求直线CE的解析式；若y 轴上的一点P满足APE=45 ，请直接写出点 P的坐标。思路点拨：（1）由 A，B两点的坐标知， A
16、OB 为等腰直角三角形，所以OAB=45 （2）OCD与BDE的面积相等，等价于 ACE 与AOB面积相等，故可求E点坐标，从而得到CE的解析式；因为E为 AB中点，故P为（ 0,0 ）时， APE=45 .解析：（ 1）A（ 1，0） ，B（0，1） ，OA=OB=1，AOB 为等腰直角三角形OAB=45 设直线 AB的解析式为： y=kx+b, 将 A（ 1 ，0） ，B （0，1）代入，解得 k=-1 ，b=1 直线 AB的解析式为： y=-x+1 （2）即，将其代入y=-x+1 ，得 E点坐标（）设直线 CE为 y=kx+b，将点 C （ -1 ，0） ，点 E（）代入，解得 k=b=
17、 直线 CE的解析式：点 E为等腰直角三角形斜边的中点精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 当点 P（0,0 ）时， APE=45 .总结升华：考虑面积相等这个条件时，直接算比较困难，往往采取补全成一个容易计算的面积来解决问题。举一反三：【变式 1】在长方形ABCD 中， AB=3cm ，BC=4cm ，点 P沿边按 ABCD 的方向向点D运动（但不与A，D两点重合）。求APD 的面积 y() 与点 P 所行的路程x（ cm ）之间的函
18、数关系式及自变量的取值范围。【答案】 ：当 P点在 AB上运动时，当 P点在 BC上运动时，当 P点在 CD上运动是，【变式 2】如图，直线与x 轴 y 轴分别交于点E、 F，点 E 的坐标为（ -8 ，0） ，点 A的坐标为（ -6 ，0） 。（1）求的值；（2）若点 P （， ） 是第二象限内的直线上的一个动点，在点 P的运动过程中， 试写出 OPA的面积 S与 x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）探究：在（ 2）的条件下，当点P运动到什么位置时， OPA 的面积为，并说明理由。解：(1) 将 E（-8,0 ）代入，得 ; (2) 设 P点坐标为（） S= （ -8x0 ）(3) 令，解得，代入，算出P点纵坐标为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 当 P点的坐标为时 , OPA 的面积为精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -