(完整word版)必修一函数经典例题.pdf-淘文阁

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1、例 4已知log4log 4mn，比较m，n的大小。解：log4log 4mn，4411loglogmn，当1m，1n时，得44110loglogmn，44loglognm，1mn当01m，01n时，得44110loglogmn，44loglognm，01nm当01m，1n时，得4log0m，40log n，01m，1n，01mn综上所述，m，n的大小关系为1mn或 01nm或01mn例 5求下列函数的值域：（1）2log(3)yx；（2）22log(3)yx；（3）2log(47)ayxx（0a且1a）解：（1）令3tx，则2logyt，0t，yR，即函数值域为R（2）令23tx，则03t，

2、2log 3y，即函数值域为2(,log 3（3）令2247(2)33txxx，当1a时，log 3ay，即值域为log 3,)a，当01a时，log 3ay，即值域为(,log3a例 6判断函数22()log(1)f xxx的奇偶性。解：21xx恒成立，故()f x的定义域为(,)，22()log(1)fxxx221log1xx222221log(1)xxxx22log1()xxf x，所以，()f x为奇函数。例 7求函数2132log(32)yxx的单调区间。解：令223132()24uxxx在3,)2上递增，在3(,2上递减，又2320 xx，2x或1x，故232uxx在(2,)上递增

3、，在(,1)上递减，又132logyu为减函数，所以，函数2132log(32)yxx在(2,)上递增，在(,1)上递减。例 8若函数22log()yxaxa在区间(,13)上是增函数，a的取值范围。解：令2()ug xxaxa，函数2logyu为减函数，2()ug xxaxa在区间(,13)上递减，且满足0u，132(13)0ag，解得22 32a，所以，a的取值范围为22 3,2例 1已知函数2()fxxbxc满足(1)(1)fxfx，且(0)3f，则()xf b与()xf c的大小关系是 _分析：先求bc，的值再比较大小，要注意xxbc，的取值是否在同一单调区间内解：(1)(1)fxfx

4、，函数()f x的对称轴是1x故2b，又(0)3f，3c函数()f x在1，上递减，在1，上递增若0 x，则321xx，(3)(2)xxff；若0 x，则321xx，(3)(2)xxff综上可得(3)(2)xxff，即()()xxf cf b评注：比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论2求解有关指数不等式例 2已知2321(25)(25)xxaaaa，则 x 的取值范围是 _分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围解：2225(1)441aaa，函数2(25)xyaa在()，上是增函数，31xx，解得14x

5、x 的取值范围是14，评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论3求定义域及值域问题例 3求函数216xy的定义域和值域解：由题意可得2160 x，即261x，20 x，故2x函数()f x的定义域是2，令26xt，则1yt，又2x，20 x 2061x，即01t011t，即01y函数的值域是01，评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响4最值问题例 4函数221(01)xxyaaaa且在区间 11，上有最大值 14，则 a 的值是 _分析：令xta可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意

6、换元后t的取值范围解：令xta，则0t，函数221xxyaa可化为2(1)2yt，其对称轴为1t当1a时，11x，1xaaa，即1taa 当ta时，2max(1)214ya解得3a或5a（舍去）；当01a时，11x，1xaaa，即1ata，1ta时，2max11214ya，解得13a或15a（舍去），a 的值是 3 或13评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等5解指数方程例 5解方程223380 xx解：原方程可化为29(3)80390 xx，令3(0)xtt，上述方程可化为298090tt，解得9t或19t（舍去），39x，2x，经检验原方程的解是2x

7、评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根6图象变换及应用问题例 6为了得到函数935xy的图象，可以把函数3xy的图象（）A向左平移9 个单位长度，再向上平移5 个单位长度B向右平移 9 个单位长度，再向下平移5 个单位长度C向左平移 2 个单位长度，再向上平移5 个单位长度D向右平移2 个单位长度，再向下平移5 个单位长度分析：注意先将函数935xy转化为235xt，再利用图象的平移规律进行判断解：293535xxy，把函数3xy的图象向左平移2 个单位长度，再向上平移5 个单位长度，可得到函数935xy的图象，故选（C）评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用

8、其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等习题1、比较下列各组数的大小：（1）若，比较与；（2）若，比较与；（3）若，比较与；（4）若，且，比较a与b；（5）若，且，比较a与b解：（1）由，故，此时函数为减函数由，故（2）由，故又，故从而（3）由，因，故又，故从而（4）应有因若，则又，故，这样又因，故从而，这与已知矛盾（5）应有因若，则又，故，这样有又因，且，故从而，这与已知矛盾小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解2 曲线分别是指数函数,和的图象,则与 1 的大小关系是 ().(分析:首先可以根据指数函数单调性,确定,在

9、轴右侧令,对应的函数值由小到大依次为,故应选.小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.求最值3 求下列函数的定义域与值域.(1)y 231x;(2)y4x+2x+1+1.解：(1)x-3 0，y231x的定义域为 xxR且 x3.又31x0，231x1，y231x的值域为 yy0 且 y1.(2)y 4x+2x+1+1 的定义域为R.2x0,y4x+2x+1+1(2x)2+22x+1(2x+1)21.y4x+2x+1+1 的值域为 yy1.4 已知-1x2,求函数 f(x)=3+23x+1-

10、9x的最大值和最小值解：设 t=3x,因为-1 x2，所以931t，且 f(x)=g(t)=-(t-3)2+12,故当 t=3 即 x=1 时，f(x)取最大值 12，当 t=9 即 x=2 时 f(x)取最小值-24。5、设，求函数的最大值和最小值分析：注意到，设，则原来的函数成为，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值解：设，由知，函数成为，对称轴，故函数最小值为，因端点较距对称轴远，故函数的最大值为6（9 分）已知函数)1(122aaayxx在区间 1,1上的最大值是14，求 a 的值.解：)1(122aaayxx，换元为)1(122atatty，对称轴为1t.当1a，at，

12、讨论 f(x)的单调性.解：(1)易得 f(x)的定义域为 xxR.设 y11xxaa,解得 ax-11yy ax0当且仅当-11yy0时，方程有解.解-11yy0得-1y1 时，ax+1 为增函数，且ax+10.12xa为减函数，从而f(x)1-12xa11xxaa为增函数.2 当 0a1 时，类似地可得f(x)11xxaa为减函数.15、已知函数f（x）=a122x（aR），（1）求证：对任何aR，f（x）为增函数（2）若 f（x）为奇函数时，求a 的值。（1）证明：设x1x2f（x2）f（x1）=)21)(21()22(22112xxxx0 故对任何 aR，f（x）为增函数（2）xR，又

13、 f（x）为奇函数(0)0f得到10a。即1a16、定义在 R 上的奇函数)(xf有最小正周期为2，且)1,0(x时，142)(xxxf（1）求)(xf在1，1上的解析式；（2）判断)(xf在（0，1）上的单调性；（3）当为何值时，方程)(xf=在1,1x上有实数解.解（1）xR 上的奇函数0)0(f又 2 为最小正周期0)1()1()12()1(ffff设 x（1，0），则 x（0，1），)(142142)(xfxfxxxx142)(xxxf（2）设0 x1x21)的图像是()分析本题主要考查指数函数的图像和性质、函数奇偶性的函数图像，以及数形结合思想和分类讨论思想.解法 1：(分类讨论)：去绝对值，可得y).0()1(),0(xaxaxx又 a1，由指数函数图像易知，应选B.解法 2：因为 ya x是偶函数，又a1，所以当 x0 时，yax是增函数；x0 时，ya-x是减函数.应选 B.(0,1)x142-1,0,1 x0(-1,0)x142)(xxxxxf

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