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1、1 1 2013 年上海市春季高考数学试卷.已知椭圆C的两个焦点分别为1( 1 0)F，、2(1 0)F，, 短轴的两个端点分别为12BB、(1) 假设112F B B为等边三角形, 求椭圆C的方程 ;(2) 假设椭圆C的短轴长为2, 过点2F的直线l与椭圆C相交于P Q、两点 , 且11F PFQ, 求直线l的方程 . 2 2013 年高考四川卷理 已知椭圆C:22221,(0)xyabab的两个焦点分别为12( 1,0),(1,0)FF,且椭圆C经过点4 1(, )3 3P.( ) 求椭圆C的离心率;( ) 设过点(0, 2)A的直线l与椭圆C交于M、N两点 , 点Q是线段MN上的点 ,
2、且222211|AQAMAN, 求点Q的轨迹方程 . 3 2013年普通高等学校招生统一考试山东数学理试题含答案椭圆2222:1xyCab(0)ab的左、右焦点分别是12,FF, 离心率为32, 过1F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. ( ) 求椭圆C的方程 ; ( ) 点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点, 连接12,PFPF, 设12F PF的角平分线PM交C的长轴于点(,0)M m, 求m的取值范围 ;( ) 在( ) 的条件下, 过P点作斜率为k的直线l, 使得l与椭圆C有且只有一个公共点, 设直线12,PF PF的斜率分别为12,k k, 假设0k, 试证明1211kkkk
3、为定值 , 并求出这个定值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页2 4 2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学理试题纯WORD版如图 , 点)1,0(P是椭圆)0(1:22221babyaxC的一个顶点 ,1C的长轴是圆4:222yxC的直径 .21,ll是过点P且互相垂直的两条直线, 其中1l交圆2C于两点 ,2l交椭圆1C于另一点D(1) 求椭圆1C的方程 ; (2)求ABD面积取最大值时直线1l的方程 . 5 2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学理试题含答案如题 (21) 图, 椭圆的中心为原点O,
4、长轴在x轴上 , 离心率22e,过左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于,A A两点 ,4AA. (1) 求该椭圆的标准方程;(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点,P P, 过,P P作圆心为Q的圆 ,使椭圆上的其余点均在圆Q外. 假设PQP Q, 求圆Q的标准方程 . xOyBl1l2PDA第 21 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页3 6 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学理试题纯WORD版 设椭圆2222:11xyEaa的焦点在x轴上( ) 假设椭圆E的焦距为1, 求椭圆E的方程 ; ( )
5、设12,F F分别是椭圆的左、右焦点,P为椭圆E上的第一象限内的点, 直线2F P交y轴与点Q, 并且11F PF Q, 证明 : 当a变化时 , 点p在某定直线上.解: 7 2013 年高考新课标1理已知圆M:22(1)1xy, 圆N:22(1)9xy, 动圆P与M外切并且与圆N内切 , 圆心P的轨迹为曲线 C. ( ) 求 C的方程 ;( )l是与圆P, 圆M都相切的一条直线,l与曲线 C交于 A,B 两点 , 当圆 P的半径最长时 , 求|AB|. 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径1r=1, 圆N的圆心为N(1,0),半径2r=3. 设动圆P的圆心为P(x,y), 半径为 R.
6、8 2013年普通高等学校招生统一考试天津数学理试题含答案设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F, 离心率为33, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. ( ) 求椭圆的方程; ( ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点 . 假设8AC DBAD CB, 求k的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页4 9 2013年高考江西卷理 如图 , 椭圆2222+=1( 0)xyCa bab：经过点3(1, ),2P离心率1=2e, 直线l的方程为=4x
7、.(1) 求椭圆C的方程 ;(2) AB是经过右焦点F的任一弦 ( 不经过点P), 设直线AB与直线l相交于点M, 记,PA PB PM的斜率分别为123,.k k k问: 是否存在常数, 使得123+=.kkk?假设存在求的值 ; 假设不存在 , 说明理由 . 10 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学理纯 WORD版含答案平面直角坐标系xOy中, 过椭圆2222:1(0)xyMabab的右焦点F作直30 xy交M于,A B两点 ,P为AB的中点 ,且OP的斜率为12. ( ) 求M的方程 ;( ),C D为M上的两点 , 假设四边形ABCD的对角线CDAB, 求四边形ABCD面
8、积的最大值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页5 11 2013年上海市春季高考数学试卷. 已知椭圆C的两个焦点分别为1( 1 0)F，、2(1 0)F，, 短轴的两个端点分别为12BB、(1) 假设112F B B为等边三角形, 求椭圆C的方程 ;(2) 假设椭圆C的短轴长为2, 过点2F的直线l与椭圆C相交于P Q、两点 , 且11F PFQ, 求直线l的方程 . 解(1)设椭圆C的方程为22221(0)xyabab. 根据题意知2221abab, 解得243a,213b故椭圆C的方程为2214133xy.
9、(2) 容易求得椭圆C的方程为2212xy. 当直线l的斜率不存在时, 其方程为1x, 不符合题意 ; 当直线的斜率存在时, 设直线l的方程为(1)yk x. 由22(1)12yk xxy得2222(21)42(1)0kxk xk. 设1122()()P x yQ xy，, 则2212121111222242(1)(1)(1)2121kkxxx xF PxyFQxykk，因为11F PFQ, 所以110F P FQ, 即21212121212(1)(1)()1(1)(1)xxy yx xxxkxx2221212(1)(1)()1kx xkxxk2271021kk, 解得217k, 即77k.
10、故直线l的方程为710 xy或710 xy. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页6 12 2013 年高考四川卷 理已知椭圆C:22221,(0)xyabab的两个焦点分别为12( 1,0),(1,0)FF,且椭圆C经过点4 1(, )3 3P.( ) 求椭圆C的离心率;( ) 设过点(0, 2)A的直线l与椭圆C交于M、N两点 , 点Q是线段MN上的点 , 且222211|AQAMAN, 求点Q的轨迹方程 . 解:22221241412112 23333aPFPF所以 ,2a. 又由已知 ,1c, 所以椭圆C的离
11、心率1222cea由知椭圆 C的方程为2212xy. 设点 Q的坐标为 (x,y). (1) 当直线l与x轴垂直时 , 直线l与椭圆C交于0,1 , 0, 1两点 , 此时Q点坐标为3 50,25(2) 当直线l与x轴不垂直时 , 设直线l的方程为2ykx. 因为,M N在直线l上, 可设点,M N的坐标分别为1122(,2),(,2)x kxx kx, 则22222212(1),(1)AMkxANkx. 又222222(1).AQxykx由222211AQAMAN, 得22222212211111kxkxkx, 即212122222212122211xxxxxxxx x 将2ykx代入221
12、2xy中, 得2221860kxkx 由22842160,kk得232k. 由可知12122286,2121kxxxxkk代入中并化简, 得2218103xk因为点Q在直线2ykx上, 所以2ykx, 代入中并化简, 得22102318yx. 由及232k, 可知2302x, 即66,00,22x. 又3 50,25满足22102318yx, 故66,22x. 由题意 ,Q x y在椭圆C内部 , 所以11y, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页7 又由22102183yx有29 92,5 4y且11y, 则13
13、5,225y. 所以点Q的轨迹方程是22102318yx, 其中 ,66,22x,13 5,225y13 2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学理试题含答案椭圆2222:1xyCab(0)ab的左、右焦点分别是12,FF, 离心率为32, 过1F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. ( ) 求椭圆C的方程 ; ( ) 点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点, 连接12,PFPF, 设12F PF的角平分线PM交C的长轴于点(,0)M m, 求m的取值范围 ;( ) 在( ) 的条件下, 过P点作斜率为k的直线l, 使得l与椭圆C有且只有一个公共点, 设直线12,PF PF的斜率分别为
14、12,k k, 假设0k, 试证明1211kkkk为定值 , 并求出这个定值. 解:( ) 由于222cab,将xc代入椭圆方程22221xyab得2bya由题意知221ba, 即22ab又cea32所以2a,1b所以椭圆方程为2214xy( ) 由题意可知:11|PFPMPFPM=22|PFPMPFPM,11|PFPMPF=22|PFPMPF, 设00(,)P xy其中204x, 将向量坐标代入并化简得:m(23000416)312xxx, 因为204x, 所以034mx, 而0( 2,2)x, 所以3 3(,)2 2m(3) 由题意可知 ,l为椭圆的在p 点处的切线 , 由导数法可求得,
15、切线方程为 : 0014x xy y, 所以004xky, 而0012,33yykkxx, 代入1211kkkk中得00120033114()8xxkkkkxx为定值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页8 14 2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学理试题纯WORD版如图 , 点)1, 0(P是椭圆)0(1:22221babyaxC的一个顶点 ,1C的长轴是圆4:222yxC的直径 .21,ll是过点P且互相垂直的两条直线, 其中1l交圆2C于两点 ,2l交椭圆1C于另一点D(1) 求椭圆1C的方程 ; (
16、2)求ABD面积取最大值时直线1l的方程 . 解:( ) 由已知得到1b, 且242aa, 所以椭圆的方程是2214xy; ( )因 为 直 线12ll, 且 都 过 点(0,1)P, 所 以 设 直 线1:110lykxkxy, 直 线21:10lyxxkykk, 所以圆心(0,0)到直线1:110lykxkxy的距离为211dk, 所以直线1l被圆224xy所截的弦2222 342 41kABdk; 由22222048014xkykk xxkxxy, 所以2222222816481|(1)4(4)4DPkkkxxDPkkkk,所以22222222112 34818 4348 43|2244
17、43131ABDkkkkSABDPkkkk222223232321613131343132 1343434343kkkkk, xOyBl1l2PDA第 21 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页9 当22213510432243kkkk时等号成立 , 此时直线110:12lyx15 2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学理试题含答案如题 (21) 图, 椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上 , 离心率22e,过左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于,A A两点 ,4AA. (1) 求该椭圆的标准方程;(2)取垂直于x轴
18、的直线与椭圆相交于不同的两点,P P, 过,P P作圆心为Q的圆 ,使椭圆上的其余点均在圆Q外. 假设PQP Q, 求圆Q的标准方程 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页10 16 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学理试题纯WORD版 设椭圆2222:11xyEaa的焦点在x轴上( ) 假设椭圆E的焦距为1, 求椭圆E的方程 ; ( ) 设12,F F分别是椭圆的左、右焦点,P为椭圆E上的第一象限内的点, 直线2F P交y轴与点Q, 并且11F PF Q, 证明 : 当a变化时 , 点p在某定直线上.解
19、: ( )13858851, 12 ,122222222xxacaacaa，椭圆方程为：. ( ) ),(),),0(),(),0 ,(),0,(2221mcQFycxPFmQyxPcFcF（则设. 由)1 , 0(),1 ,0()1 ,0(012yxaa. 0)()(,/).,(),(112211mycxcycxcmQFPFQFPFmcQFycxPF得：由解得联立22222222222222111.)(caacyxayaxcyxycxcxyxyxyxyxyyxx1) 1 ,0(),1 , 0(.) 1(1121222222222所以动点P过定直线01yx. 精选学习资料 - - - - -
20、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页11 17 2013 年高考新课标1理 已知圆M:22(1)1xy, 圆N:22(1)9xy, 动圆P与M外切并且与圆N内切 , 圆心P的轨迹为曲线 C. ( ) 求 C的方程 ;( )l是与圆P, 圆M都相切的一条直线,l与曲线 C交于 A,B 两点 , 当圆 P的半径最长时 , 求|AB|. 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径1r=1, 圆N的圆心为N(1,0),半径2r=3. 设动圆P的圆心为P(x,y), 半径为 R. ( ) 圆P与圆M外切且与圆N内切, |PM|+|PN|=12()()RrrR=
21、12rr=4, 由椭圆的定义可知, 曲线 C 是以 M,N 为左右焦点 , 场半轴长为2, 短半轴长为3的椭圆 ( 左顶点除外 ),其 方 程 为221(2)43xyx. ( ) 对 于 曲 线C上 任 意 一 点P(x,y),由 于|PM|-|PN|=22R2, R2,当且仅当圆P的圆心为 (2,0) 时,R=2. 当圆 P的半径最长时 , 其方程为22(2)4xy, 当l的倾斜角为090时, 则l与y轴重合 , 可得 |AB|=2 3. 当l的倾斜角不为090时 , 由1rR知l不平行x轴 , 设l与x轴的交点为Q,则|QPQM=1Rr, 可求得Q(- 4,0), 设l:(4)yk x,
22、由l于圆 M相切得2| 3 |11kk, 解得24k. 当k=24时 , 将224yx代 入221(2)43xyx并 整 理 得27880 xx, 解 得1,2x=4627, |AB|=2121|kxx=187. 当k=-24时, 由图形的对称性可知|AB|=187, 综上 ,|AB|=187或 |AB|=2 3. 18 2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学理试题含答案设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F, 离心率为33, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433. ( ) 求椭圆的方程; ( ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C
23、, D两点 . 假设8AC DBAD CB, 求k的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页12 19 2013 年高考江西卷理 如图 , 椭圆2222+=1( 0)xyCa bab：经过点3(1, ),2P离心率1=2e, 直线l的方程为=4x.(1) 求椭圆C的方程 ;(2) AB是经过右焦点F的任一弦 ( 不经过点P), 设直线AB与直线l相交于点M, 记,PA PB PM的斜率分别为123,.k k k问: 是否存在常数, 使得123+=.kkk?假设存在求的值 ; 假设不存在 , 说明理由 . 精选学
24、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页13 解:(1) 由3(1, )2P在椭圆上得 ,221914ab 依题设知2ac, 则223bc代入解得2221,4,3cab. 故椭圆C的方程为22143xy. (2) 方法一 : 由题意可设AB的斜率为k, 则直线AB的方程为(1)yk x代入椭圆方程223412xy并整理 , 得2222(43)84(3)0kxk xk, 设1122(,),(,)A x yB xy, 则有2212122284(3),4343kkxxx xkk在方程中令4x得,M的坐标为(4,3 )k. 从而12
25、1231233331222,11412yykkkkkxx. 注意到,A F B共线 , 则有AFBFkkk, 即有121211yykxx. 所以1212121212123331122()1111212yyyykkxxxxxx1212122322()1xxkx xxx代入得22122222823432214(3)8214343kkkkkkkkkk, 又312kk, 所以1232kkk. 故存在常数2符合题意 . 方法二 : 设000(,)(1)B xyx, 则直线FB的方程为 :00(1)1yyxx, 令4x, 求得003(4,)1yMx, 从而直线PM的斜率为0030212(1)yxkx, 联
26、立0022(1)1143yyxxxy ,得0000583(,)25 25xyAxx, 则直线PA的斜率为 :00102252(1)yxkx, 直线PB的斜率为 :020232(1)ykx, 所以00000123000225232122(1)2(1)1yxyyxkkkxxx, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页14 故存在常数2符合题意 . 20 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学理纯 WORD版含答案平面直角坐标系xOy中, 过椭圆2222:1(0)xyMabab的右焦点F作直30 xy交M于,A B两点 ,P为AB的中点 ,且OP的斜率为12. ( ) 求M的方程 ;( ),C D为M上的两点, 假设四边形ABCD的对角线CDAB, 求四边形ABCD面积的最大值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页