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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本应用二次函数求实际问题的最值运用二次函数解决实际问题中的最大（小）值问题是近几年来各地中考命题的一个热点,解决这类问题的关键是从实际问题中抽象出二次函数的模型,然后再应用二次函数的有关性 质去查找实际问题的正确答案,请看几个典型的例子例 1. 张大爷要围成一个矩形花圃花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为 32 米的篱笆恰好围成围成的花圃是如下列图的矩形 ABCD 设 AB 边的长为 x 米矩形 ABCD 的面积为 S 平方米（ 1）求 S 与 x 之间的函数关系式（不要求写出自变量 x 的取值范畴） （ 2）当
2、x 为何值时, S 有最大值？并求出最大值（参考公式：二次函数yax2bxc （a0）,当xb时,y 最大 小 值4acab2 2a4解. 分析：（1）由矩形的面积公式建立函数关系式；（2）利用二次函数的顶点坐标公式求2解：（1）由题意得 S AB BC x 32 2 x ,S 2 x 32 x ；（2）a 2 0,S 有最大值x b 3282 a 2 2S 最大值4acab24322128,x8时, S 有最大值是128. 4 2说明：解决几何类问题时,图形的有关公式是查找解题思路的有效途径例 2为了扩大内需,让惠于农夫,丰富农夫的业余生活,勉励送彩电下乡,国家决定对购买彩电的农户实行政府补
3、贴规定每购买一台彩电,政府补贴如干元, 经调查某商场销售彩电台数 y （台）与补贴款额 x （元）之间大致满意如图所示的一次函数关系随着补贴款额 x 的不断增大, 销售量也不断增加,但每台彩电的收益 Z（元） 会相应降低且 Z 与x 之间也大致满意如图所示的一次函数关系名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本（1）在政府未出台补贴措施前,该商场销售彩电的总收益额为多少元？（2）在政府补贴政策实施后,分别求出该商场销售彩电台数 y 和每台家电的收益 Z 与政府补贴款额 x 之间的函数关系式；（3
4、）要使该商场销售彩电的总收益 w（元）最大,政府应将每台补贴款额 x 定为多少？并求出总收益 w 的最大值分析：（ 1）政府未出台补贴措施前,商场销售彩电台数为 200 元；（2）利用两个图像中供应的点的坐标求各自的解析式；800 台,每台彩电的收益为（ 3）商场销售彩电的总收益商场销售彩电台数 每台家电的收益,将（2）中的关系式代入得到二次函数,再求二次函数的最大值 . 解：（1）该商场销售家电的总收益为 800 200 160000（元）；（ 2 ） 依 题 意 可 设 y k x 800,Z k x 200,有 400 k 1 800 1200,200 k 2 200 160,解得 k
5、1 1,k 2 1所以 y x 800,Z 1 x 2005 5（3）W yZ x 800 1x 200 1 x 100 2162000,政府应将每台补5 5贴款额 x 定为 100 元,总收益有最大值,其最大值为 162000元说明：此题中有两个函数图像,在解题时要结合起来摸索,不行顾此失彼 . 例 3凯里市某大型酒店有包房 100 间,在每天晚餐营业时间,每间包房收包房费 100元时,包房便可全部租出；如每间包房收费提高 20 元,就削减 10 间包房租出,如每间包房收费再提高 20 元,就再削减 10 间包房租出,以每次提高 20 元的这种方法变化下去 . （1）设每间包房收费提高 x（
6、元）,就每间包房的收入为 y 1（元）,但会削减 y 2间包房租出,请分别写出 y1、y2 与 x 之间的函数关系式 . （2）为了投资少而利润大,每间包房提高x（元）后,设酒店老板每天晚餐包房总收入为 y（元）,请写出 y 与 x 之间的函数关系式,求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入,并说明理由 . 分析：（1）提价后每间包房的收入原每间包房收包房费+每间包房收包房提高费,包房削减数每间包房收包房提高费数量的一半；（2）酒店老板每天晚餐包房总收入提价后每间包房的收入 每天包房租出的数量,得到二次函数后再求 y 取得最大值时 x 的值 . 解：（1）y 1 100 x,y 2
7、 1 x；2（2）y 100 x 100 1x y 1 x 50 211250,由于提价前包房费总收入2 2为 100 100=10000,当 x=50 时,可获最大包房收入 11250 元,由于 1125010000 又由于每次提价为 20 元,所以每间包房晚餐应提高 40 元或 60 元.说明：此题的答案有两个,但从“ 投资少而利润大” 的角度来看,因尽量少租出包房,名师归纳总结 所以每间包房晚餐应提高60 元应当更好 . 第 2 页,共 5 页例 4某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售,对历年市场行情和水产品养殖情形进行了调查调查发觉这种水产品的每千克售价1y （元）与销售
8、月份x （月）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本满意关系式1y 3x36,而其每千克成本2y （元）与销售月份x （月）满意的函数关8系如下列图y2（元）y21x2bxc825 24 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12x（月）x （月）之间的函数关系式；（1）试确定 b、c的值；y （元）与销售月份（2）求出这种水产品每千克的利润（3）“ 五 一” 之前,几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？分析：（ 1）将点（ 3, 25）,（4,24）代入求b、 c 的值；（2）y1y -y ；（
9、3）将（ 2）中的二次函数配方为顶点式,再利用二次函数的增减性,在满意“ 五 一” 之前的前提下求最大值 . 解：（1）由题意：2512 33 bc,解得b17；1 2882412 44bcc29182（2）yy 1y 23x361x215x29112 x3x61；8882822（3）y12 x3x611x212x3641611 8x6211 . 822822a10,抛物线开口向下在对称轴x6左侧 y 随 x 的增大而增大由题意8x5,所以在 4 月份出售这种水产品每千克的利润最大最大利润146211108（元）说明：此题在x 6,即 6 月份时取得最大值,但题目要求在“ 五 一” 之前,所以
10、要将二次函数配方为顶点式,利用二次函数的增减性来求解. 练习题1某商品的进价为每件40 元,售价为每件50 元,每个月可卖出210 件；假如每件商品的售价每上涨 1 元,就每个月少卖 10 件（每件售价不能高于上涨 x 元（ x 为正整数）,每个月的销售利润为 y 元65 元）设每件商品的售价（1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范畴；（2）每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本（3）每件商品的售
11、价定为多少元时,每个月的利润恰为2200 元？依据以上结论,请你直接写出售价在什么范畴时,每个月的利润不低于 2200 元？2新星电子科技公司积极应对 20XX年世界金融危机,准时调整投资方向,瞄准光伏产业,建成了太阳能光伏电池生产线由于新产品开发初期成本高,且市场占有率不高等因素的影响,产品投产上市一年来,公司经受了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情形每月最终一天结算 1 次）公司累积获得的利润 y（万元）与销售时间第 x（月）之间的函数关系式（即前 x 个月的利润总和 y 与 x 之间的关系）对应的点都在如图 3 所示的图象上该图象从左至右,依次是线段 OA、曲线 AB和
12、曲线 BC,其中曲线 AB为抛物线的一部分,点A 为该抛物线的顶点,曲线 BC为另一抛物线 y 5 x 2205 x 1230 的一部分, 且点 A,B,C的横坐标分别为 4,10,12 （1）求该公司累积获得的利润 y（万元）与时间第 x（月）之间的函数关系式；（2）直接写出第x 个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出运算过程） ；（3）前 12 个月中,第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？参考答案名师归纳总结 1 （1）y21010 50x4010x2110x2100（ 0x 15且 x 为整数）；第 4 页,共 5 页（2）y10x5.522402
13、.5a100,当x5.5时, y 有最大值 2402.50x15,且 x 为整数,当x5时, 50x55,y2400（元）,当x6时,50x56,y2400（元）当售价定为每件55 或 56 元,每个月的利润最大,最大的月 利 润 是2400元 ；（ 3 ） 当y2200时 ,1 0 x21 1 02 1 0 02 2 0 0, 解 得 ：x 11,x210当x1时, 50x51,当x10时, 50x60当售价定为每件 51 或 60 元,每个月的利润为2200 元当售价不低于51 或 60 元,每个月的利润为2200元当售价不低于51 元且不高于60 元且为整数时,每个月的利润不低于2200
14、 元（或当售价分别为 51,52,53,54,55,56,57,58,59,60 元时,每个月的利润不低于2200 元）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本10xx1 2 3 4, 注 写成x0 1 2 3 4,亦可名师归纳总结 2（1）y10 x280x120x5 6 7 8 9；（x4可归为第2第 5 页,共 5 页5x2205 x1230x101112段,x10亦可归为第2 段）10xx1 2 3 4,或0x4 且 为整数 x（2）s20x90x5 6 7 8 9,或 5x 且 为整数 9 x；10x210x101112, 或 10x12且 为整数 x（3）由（ 2）知,x12 3 4,时, s 均为 - 10；x5 6 7 8 9,时,s20 x90,s 有最大值90,而在x101112, 时,s10x210,在x10时, s 有最大值 110,故在x10时,s 有最大值 110即第 10 个月公司所获利润最大,它是110 万元- - - - - - -