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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数的应用中考题集锦最值问题第 1 题已知： m , n 是方程x26x50的两个实数根,且mn ,抛物线yx2bxc 的图象经过点Am,B0,n1 求这个抛物线的解析式；2 设（ 1）中的抛物线与x 轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C,D 的坐标分成面积之和BCD的面积；（注：抛物线yax2bxc a0的顶点坐标为b,4 ac4 ab 2）；2 a3 P 是线段 OC 上的一点,过点P 作 PHx 轴,与抛物线交于H 点,如直线 BC 把PCH比为 2 : 3 的两部分,恳求出P点的坐标DyBCOAx答案：解
2、：（1）解方程2 x6x50,得x 15,x21名师归纳总结 由 mn ,有m1,n50 5, 0c ,D H yA x第 1 页,共 9 页所以点 A, B 的坐标分别为A , ,Bx2bx将A , ,B0 5, 的坐标分别代入y得c1bc0,解这个方程组,得b4,5c5M E B 所以抛物线的解析式为yx24x5（2）由yx24x5,令y0,得x24x5O 解这个方程,得x 15,x21C P 所以 C 点的坐标为5 0, 由顶点坐标公式运算,得点D2 9, - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载过 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于
3、M ,就 SDMC 19 5 2 27,2 2S梯形 MDBO 1 2 9 5 14,2SBOC 1 5 5 252 2所以 SBCD S 梯形 MDBO SDMC SBOC 14 27 25152 2（3）设 P 点的坐标为 a, ,由于线段 BC 过 B , C 两点,所以 BC 所在的直线方程为 y x 5那么, PH 与直线 BC 的交点坐标为 E a,a 5,PH 与抛物线 y x 24 x 5 的交点坐标为 H a,a 2 4 a 5由题意,得 EH 3 EP ,即 a 24 a 5 a 5 3 a 52 2解这个方程,得 a 3或 a 5（舍去）2 EH 2EP ,即 a 24
4、a 5 a 5 2a 53 3解这个方程,得 a 2或 a 5（舍去）3P 点的坐标为 3 0 或 2 02 3第 3 题某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品,已知每件产品的进价为 40 元,经销过程中测出销售量 y （万件）与销售单价 x （元）存在如下列图的一次函数关系,每年销售该种产品的总开支 z （万元）（不含进价 ）与年销售量y （万件）存在函数关系z10y42.5（1）求 y 关于 x 的函数关系式；（2）试写出该公司销售该种产品年获利w（万元）关于销售单价xy （万件）（元）的函数关系式； （ 年获利年销售总金额年销售产品的总5 进价年总开支金额 ）当销售单价x 为何值时
5、,年获利最大？最大3 10 30 50 70 90 x （元）值是多少？0 （3）如公司期望该种产品一年的销售获利不低于57.5万元,请你利用（ 2）小题中的函数图象帮忙该公司确定这种产品的销售单价的范畴在此条件下要使产品的销售量最大,你认为销售单价应定为多少元？名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 答案：解：（1）由题意,设ykx学习必备欢迎下载b ,图象过点 70 5, , 90 3, ,5 7 0 b,解得 k10 1,y 1x 1280 w （万件）3 9 0 b . b 12. 10 57.5 （2）由题意,得
6、 w y x 40 z y x 40 10 y 42.5 70 80 100 x （元）1 1x 12 x 40 10 x 12 42.510 1020.1 x 17 x 642.51 x 85 28010当 85元时,年获利的最大值为 80万元（3）令 w 57.5,得 0.1 x 217 x 642.5 57.52整理,得 x 170 x 7000 0解得 x 1 70,x 2 100由图象可知,要使年获利不低于 57.5万元,销售单价应在 70元到100元之间,又由于销售单价越低,销售量越大,所以要使销售量最大,又使年获利不低于 57.5万元,销售单价应定为 70 元第 4 题东方专卖店
7、专销某种品牌的运算器,进价12元只,售价20元只为了促销,专卖店打算凡是买10只以上的, 每多买一只, 售价就降低 0.10 元（例如,某人买 20 只运算器, 于是每只降价0.1020101元,就可以按 19元只的价格购买） ,但是最低价为 16 元只（1）求顾客一次至少买多少只,才能以最低价购买？（2）写出当一次购买 x 只时（x 10）,利润 y （元）与购买量 x （只）之间的函数关系式；（3）有一天, 一位顾客买了 46 只,另一位顾客买了 50只,专卖店发觉卖了 50 只反而比卖了 46 只赚的钱少,为了使每次卖的多赚钱也多,在其他促销条件不变的情形下,最低价 16元只至少要提高到
8、多少？为什么？答案：（1）设顾客一次至少购买 x 只,就 0.1 x 10 4,解得 x 50或设顾客购买x 只,由 0.1x104解得x50,或由 0.1x104解得x 50,可同等给分（2）当 10x50时,yx0.1 x29x200.1x1012当x50时,y2016x4x （3）方法（一）列表名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载50 x40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 y200 200.9 201.6 202.1 202.4 202.5 202.4 202.1 201.
9、6 200.9 200 由表格可知,最低售价为200.1451016.5 元即 y 随 x 的增大而增大,方法（二） 利润y0.1x29x0.1x452202.5,由于卖的越多赚的越多,由二次函数图象可知,x 45,当x45时,最低售价为200.1451016.5 元第 5 题利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费供应货源,待货物售出后 再进行结算,未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为 260元时,月销售量为 45吨该经销店为提高经营 利润,预备实行降价的方式进行促销经市场调查发觉：当每吨售价每下降 10元时,月销售量就会增加 7.5 吨综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材
10、料共需支付厂家及其它费用 100元设每吨材料售价为 x （元）,该经销店的月利润为 y （元）（1）当每吨售价是 240元时,运算此时的月销售量；（2）求出 y 与 x 的函数关系式（不要求写出 x 的取值范畴） ；（3）该经销店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元？（4）小静说：“ 当月利润最大时,月销售额也最大” 你认为对吗？请说明理由答案：解：（1）452602407.560（吨）210 元10（ 2）yx100 45260x7.5,10化简得：y3x2315x240004（ 3）y32 x315x240003x2102907544利达经销店要获得最大月利润,材料的售价应定为每吨（ 4
11、）我认为,小静说的不对理由：方法一：当月利润最大时,x 为 210 元,x160219200来说,当 x 为 160 元而对于月销售额Wx45260x7.53104时,月销售额 W 最大当 x 为 210 元时,月销售额 W 不是最大小静说的不对17325 元；而当 x 为 200 元时,方法二：当月利润最大时,x 为 210 元,此时,月销售额为月销售额为18000 元17325 18000,当月利润最大时,月销售额W 不是最大小静说的不对（说明：假如举出其它反例,说理正确,也相应给分）名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - -
12、 - 学习必备 欢迎下载第 6 题利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费供应货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为 260 元时,月销售量为 45吨该经销店为提高经营利润, 预备实行降价的方式进行促销经市场调查发觉： 当每吨售价每下降 10元时,月销售量就会增加 7.5吨综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100元设每吨材料售价为 x （元）,该经销店的月利润为 y （元）（1）当每吨售价是 240元时,运算此时的月销售量；（2）求出 y 与 x 的二次函数关系式（不要求写出 x 的取值范畴）；2（3）请把（ 2）中的二
13、次函数配方成 y a x h k 的形式,并据此说明该经销店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元；（4）小静说：“ 当月利润最大时,月销售额也最大” 你认为对吗？请说明理由答案：解：（1）45 260 24010（2）y x 10045 260 x107.560（吨）210 元7.5,化简得：y3x2315 x24000210290754（3）y3x2240003x315 x44利达经销店要获得最大月利润,材料的售价应定为每吨（4）我认为,小静说的不对理由：方法一：当月利润最大时,x 为 210 元,3x160219200来说,而对于月销售额Wx45260x7.5104当 x 为 160 元
14、时,月销售额 W 最大当 x 为 210 元时,月销售额 W 不是最大小静说的不对方法二：当月利润最大时,x 为 210 元,此时,月销售额为 17325 元；而当 x 为 200 元时,月销售额为 18000 元17325 18000,当月利润最大时,月销售额 W 不是最大小静说的不对第 7 题在 20XX 年青岛崂山北宅樱桃节前夕,某果品批发公司为指导今年的樱桃销售,对往年的市场销售情况进行了调查统计,得到如下数据：名师归纳总结 - - - - - - -销售价 x 元/千克 25 24 23 22 销售量 y 千克 2000 2500 3000 3500 （1）在如图的直角坐标系内,作出
15、各组有序数对x,y所对应的点 连接各点并观看所得的图形,判定 y 与x 之间的函数关系,并求出y 与 x 之间的函数关系式；（2）如樱桃进价为13 元/千克,试求销售利润P （元）与销售价x （元 /千克）之间的函数关系式,并求出当 x 取何值时, P 的值最大？第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载y （千克）3500 3000 2500 2000 0 22 23 23 24 x （元千克）答案：解：（1）正确描点,连线由图象可知,y 是 x 是一次函数设 ykxb , 点 25 2000, 24 2500在图象上,y （千克）2 0 0
16、0k2 5,.3500 2 5 0 0k2 424 25 x （元千克）解之得：k500,3000 b14500.y500x145002500 （2）Px13y2000 x13 500x145000 22 500x221000x188500500x21232000P与 x 的函数关系式为P500x221000x188500,当销售价为 21元千克时,能获得最大利润第 8 题如图,现有一横截面是抛物线的水渠一次,水渠治理员将一根长1.5m 的标杆一端放在水渠底部的名师归纳总结 A 点,另一端露出水面并靠在水渠内侧的B 点,发觉标杆有1m 浸没在水中,露出水面部分的标杆与水面成第 6 页,共 9
17、页30 的夹角（标杆与水渠的横截面在同一平面内）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1）以水面所在直线为 x 轴,建立如下列图的直角坐标系,求该水渠横截面抛物线的解析式（2）在（ 1）的条件下,当水面上升 0.3m 时,水面宽约为多少？（5 取 2.24,结果精确到 0.1m）y O B x 30A 答案：解：（1）设 AB与 x 轴交于 C 点,可知AC11cm,BC0.5cm作 BDx 轴于点 D 就OA0.5cm,OC3cm2BD1cm,CD3cm44故A0,1；2B343,41设抛物线的解析式为y2 ax12将点 B 的坐标代
18、入得a4,因而y4x2992（2）当水面上升0.3m 时,此时y0.3,代入可得42 x10.3,92解得x3 55故此时水面宽为6 5 m 5约为 2.7m第 9 题为保证交通安全, 汽车驾驶员必需知道汽车刹车后的停止距离 与汽车行驶速度（开头刹车时的速度）的关系,以便准时刹车（开头刹车到车辆停止车辆行驶的距离）下表是某款车在平整道路上路况良好时刹车后的停止距离与汽车行驶速度的对应值表：名师归纳总结 （1）设汽车刹车后的停止距离行驶速度（千米时）406080第 7 页,共 9 页停止距离（米）163048y （米）是关于汽车行驶速度x （千米时）的函数,给出以下三个函数：- - - - -
19、- -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载y （米）与汽车行驶 yaxb ；ykk0；yax2bx ,请挑选恰当的函数来描述停止距离x速度 x （千米时）的关系,说明挑选理由,并求出符合要求的函数的解析式；（2）依据你所挑选的函数解析式,如汽车刹车后的停止距离为 答案：70米,求汽车行驶速度解：（1）如挑选 y ax b ,把 x 40,y 16 与 x 60,y 30 分别代入得16 40 a b a 0.7,解得,30 60 a b b 12而把 x 80 代入 y 0.7 x 12 得 y 44 48,所以挑选 y ax b 不恰当；如挑选 y k k 0,
20、由 x,y 对应值表看出 y 随 x 的增大而增大,x而 y k k 0 在第一象限 y 随 x 的增大而减小,所以不恰当；x如挑选 y ax 2bx,把 x 40,y 16 与 x 60,y 30 分别代入得16 1600 a 40 b a 0.005,解得,30 3600 a 60 b b 0.2而把 x 80 代入 y 0.005 x 20.2 x 得 y 48 成立,2 2所以挑选 y ax bx 恰当,解析式为 y 0.005 x 0.2 x （2）把 y 70 代入 y 0.005 x 20.2 x 得 70 0.005 x 20.2 x ,2即 x 40 x 14000 0,解得
21、 x 100 或 x 140（舍去）,所以,当停止距离为 70 米,汽车行驶速度为 100 千米时2 2第 10 题已知抛物线 y x mx 2 m m 0（1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；n,使（2）过点P0,n作 y 轴的垂线交该抛物线于点A和点B（点A在点P的左边）,是否存在实数m,得AP2PB？如存在,就求出m,n满意的条件；如不存在,请说明理由答案：解：（1）证法 1：名师归纳总结 yx2mx2 2 mxm292 m,第 8 页,共 9 页24- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当m0时,抛物线顶点的纵坐标为92 m学习必备欢迎下载
22、0,4顶点总在 x 轴的下方而该抛物线的开口向上,该抛物线与 x 轴有两个不同的交点（或者, 当m0时,抛物线与 y 轴的交点0,2m2在 x 轴下方, 而该抛物线的开口向上,该抛物线与 x轴有两个不同的交点 ）证法 2 ：名师归纳总结 m24 1 22 m92 m ,A A P y B x 第 9 页,共 9 页当m0时,92 m0,该抛物线与 x 轴有两个不同的交点（2）存在实数 m,n,使得AP2PB 设点 B 的坐标为 t,n,由AP2PB 知,当点 B 在点 P 的右边时,t0,点 A 的坐标为 2 t,n,O 且t,2 t是关于 x 的方程x2mx2m2n 的两个实数根2 m4 22 mn9 m24n0,即n92 m O y x 4且t 2 m （I）,t 2m2 n（II）由（ I）得, tm,即m0将 tm代入（ II）得,n0当m0且n0时,有AP2 PB 当点 B 在点 P 的左边时,t0,点 A 的坐标为 2t,n,且t, 是关于 x 的方程x2mx2 m2n 的两个实数根2 m4 22 mn9 m24n0,即n92 m B P 4且t2 tm （I）,t2 t2 m2n （II ）由（ I）得,tm,即m03将tmm代入（ II）得,n 20 m 且满意 23 90 且 n 20 m 时,有 2AP 2 PB9n92 m 4当- - - - - - -