《2022年二次函数的实际应用之利润最大值、面积最值问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年二次函数的实际应用之利润最大值、面积最值问题.docx（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载二次函数的实际应用最大利润问题、面积最大 小 值问题一：最大利润问题学问要点：2二次函数的一般式 y ax 2 bx c a 0 化成顶点式 y a x b 2 4 ac b,假如自变量的2 a 4 a取值范畴是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）2即当 a 0 时,函数有最小值,并且当 x b,y 最小值 4 ac b；2 a 4 a2当 a 0 时,函数有最大值,并且当 x b,y 最大值 4 ac b2 a 4 a假如自变量的取值范畴是 x 1 x x 2,假如顶点在自变量的取值范畴 x 1 x x 2 内,
2、就当2x b,y 最值 4 ac b,假如顶点不在此范畴内,就需考虑函数在自变量的取值范畴内的增减2 a 4 a性；假如在此范畴内 y 随 x 的增大而增大,就当 x x 2 时,y 最大 ax 2 2 bx 2 c,当 x 1x 时,y 最小 ax 1 2bx 1 c；假如在此范畴内 y 随 x 的增大而减小,就当 x 1x 时,y 最大 ax 1 2bx 1 c,当 x x 2 时,y 最小 ax 2 2bx 2 c商品定价一类利润运算公式：常常显现的数据： 商品进价；商品售价；商品销售量；涨价或降价；销售量变化；其他成本；总利润 =总售价 -总进价 -其他成本 =单位商品利润 总销售量其
3、他成本单位商品利润 =商品定价商品进价总售价 =商品定价 总销售量；总进价 =商品进价 总销售量例 1：某电子厂商投产一种新型电子厂品,每件制造成本为件）与销售单价 x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数18 元,试销过程中发觉,每月销售量 y （万y= 2x+100 （利润 = 售价 制造成本）（1 ）写出每月的利润z （万元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2 ）当销售单价为多少元时,厂商每月能获得 获得最大利润？最大利润是多少？3502 万元的利润？当销售单价为多少元时,厂商每月能（3 ）依据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于32 元,假如厂商要获得每月不低于350
4、万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？解：（ 1 ）z= （x -18 ）y= （x -18 ）（ -2x+100 ）= -2x 2+136x-1800 ,z 与 x 之间的函数解析式为 z= -2x 2+136x-1800 ；（2 ）由 z=350 ,得 350= -2x 2+136x -1800 ,解这个方程得 x 1=25 ,x2=43 所以,销售单价定为 25 元或 43 元,将 z =-2x 2+136x-1800 配方,得 z=-2 （ x-34 ）2+512 ,因此, 当销售单价为 34 元时,每月能获得最大利润,最大利润是 512 万元；（3 ）结合（
5、2 ）及函数 z=-2x 2+136x 1800 的图象（如下列图）可知,当 25x 43时 z 350 ,名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载又由限价 32 元,得 25 x 32 ,依据一次函数的性质,得 y=-2x+100 中 y 随 x 的增大而减小,当 x=32 时,每月制造成本最低最低成本是 18 （-2 32+100 ）=648 （万元）,因此,所求每月最低制造成本为 648 万元练习 ：1某商品现在的售价为每件 60 元,每星期可卖出 300 件,市场调查反映：每涨价 1 元,每星期少
6、卖出 10 件；每降价 1 元,每星期可多卖出 20 件,已知商品的进价为每件 40 元,如何定价才能使利润最大？解：设涨价（或降价）为每件x 元,利润为y 元,30.元/千克销售,那么每天可售出400 千1y 为涨价时的利润,y 为降价时的利润就：y16040x30010x10x210x60010x5 26250当x5,即：定价为65 元时,ymax6250（元）y26040x 30020x20x20x1520x2.5 26125当x.25,即：定价为57.5 元时,ymax6125（元）综合两种情形,应定价为65 元时,利润最大 例 2 ： 市“健益 ”超市购进一批20 元/千克的绿色食品
7、,假如以克由销售体会知,每天销售量y 千克 .与销售单价x 元 x30）存在如下图所示的一次函数关系式试求出 y 与 x 的函数关系式；设 “健益 ”超市销售该绿色食品每天获得利润 最大利润是多少？依据市场调查,该绿色食品每天可获利润不超过4180 元,请你帮忙该超市确定绿色食品销售单价解：设y=kx+b 由图象可知,k20,30 kb400,解之得:40 kb200b1000P 元,当销售单价为何值时,每天可获得最大利润？4480 元, .现该超市经理要求每天利润不得低于 x 的范畴 .直接写出答案 即一次函数表达式为 y 20x 1000 30 x 50 P x 20 y x 20 20
8、x 1000 220 x 1 4 0 0 2 0 0 0 0a 20 0 P有最大值当 x 1400 35 时,P max 4500（元）2 20 （或通过配方,P 20 x 35 2 4500,也可求得最大值）答：当销售单价为 35 元/千克时,每天可获得最大利润 4500 元4180 20 x 35 2 4500 448021 x 35 1631x.34或 36x39名师归纳总结 - - - - - - -练习2某公司投资 700 万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后, 进行这两种产品加工 已知生产甲种产品每件仍需成本费30 元,生产乙种产品每件仍需成本费20 元经市场调研发现：甲种产品
9、的销售单价为x（元）,年销售量为 y（万件）,当 35x50 时,y 与 x 之间的第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载函数关系式为 y=20 0.2x；当 50x70 时, y 与 x 的函数关系式如下列图,乙种产品的销售单价,在 25 元（含）到 45 元（含）之间,且年销售量稳固在 产品的销售单价之和为 90 元10 万件物价部门规定这两种（1）当 50x70 时,求出甲种产品的年销售量 y（万元）与 x（元）之间的函数关系式（2）如公司第一年的年销售量利润（年销售利润 =年销售收入 生产成本）为 W（万元）,那么怎样定价,可使第一年
10、的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？（3）其次年公司可重新对产品进行定价,在（2）的条件下,并要求甲种产品的销售单价 x（元）在 50x70 范畴内,该公司期望到其次年年底,两年的总盈利（总盈利 =两年的年销售利润之和 投资成本）不低于 85 万元请直接写出其次年乙种产品的销售单价 m（元）的范围解：（1）设y与x的函数关系式为 y=kx+b（k 0）,函数图象经过点（ 50,10）,（ 70,8）,解得,所以, y= 0.1x+15；（2）乙种产品的销售单价在25元（含）到 45元（含）之间,解之得 45x65,45x50时, W=（x 30）（ 20 0.2x）+10（90 x 20）
11、,= 0.2x2+16x+100,= 0.2（x2 80x+1600）+320+100,= 0.2（x 40）2+420, 0.20,x40时, W随x的增大而减小,当 x=45时,W有最大值, W最大 = 0.2（45 40）2+420=415万元；50x65 时, W=（x 30）（ 0.1x+15）+10（90 x 20）,= 0.1x2+8x+250,= 0.1（x2 80x+1600）+160+250,= 0.1（x 40）2+410, 0.10,x40时, W随x的增大而减小,当 x=50时,W有最大值, W最大 = 0.1（50 40）2+410=400万元综上所述,当 x=45
12、,即甲、乙两种产品定价均为 最大年销售利润是 415万元；45元时,第一年的年销售利润最大,（3）依据题意得, W= 0.1x2+8x+250+415 700= 0.1x2+8x 35,令W=85,就 0.1x2+8x 35=85,解得 x1=20,x2=60又由题意知, 50x65,依据函数性质分析, 50x60,即5090 m60, 30m40二、面积最大（最小）值问题实际问题中图形面积的最值问题分析思路为：（1）分析图形的成因（ 2）识别图形的外形（ 3）找出图形面积的运算方法名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - -
13、精品资料 欢迎下载（4）把运算中要用到的全部线段用未知数表示（5）把线段长度代入运算方法形成图形面积的函数解析式,留意自变量的取值范畴（6）依据函数的性质以及自变量的取值范畴求出面积的最值；例 1：小明的家门前有一块空地,空地外有一面长10 米的围墙,为了美化生活环境,小明的爸爸预备靠墙修建一个矩形花圃,他买回了 32 米长的不锈钢管预备作为花圃的围栏,为了浇花和赏花的便利,预备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个 设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为 x 米,面积为 S 平方米1 米宽的门（木质） 花圃的长与宽如何就长为：324x2344x米 x就：Sx344x4x
14、234x4 x172289440344 x106x172176, S 与 x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范畴内,4而当6x17内, S 随 x 的增大而减小,2当 x 6 时,S max 4 6 17 2 289 60 平方米 4 4答：可设计成宽 6 米,长 10 米的矩形花圃,这样的花圃面积最大练习 1 在矩形 ABCD 中,AB=6cm ,BC=12cm ,点 P 从点 A 动身, 沿 AB 边向点 B 以 1cms 的速度移动,同时点 Q 从点 B 动身沿 BC 边向点 C 以 2cms 的速度移动,假如P、 Q 两点同时动身,分别到达B、 C两点后就停止移动（1）运动第 t 秒
15、时,PBQ 的面积 ycm2是多少？（2）此时五边形 APQCD 的面积是 Scm2,写出 S 与 t 的函数关系式,并指出自变量的取值范畴（3）t 为何值时 s 最小,最小值时多少？名师归纳总结 1 y1（62t）2tt26t第 4 页,共 7 页（2）S612（t26t）t26t72（0t6）（3）S（t3）263当t3 时；S 有最小值等于63例 2.如图,把一张长10cm,宽 8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽视不计）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）要使长方体盒子的底面积为4
16、8cm精品资料欢迎下载2,那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情形？假如有,请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；假如没有,请你说明理由；（3）假如把矩形硬纸板的四周分别剪去2 个同样大小的正方形和2 个同样外形、同样大小的矩形,然后折合成一个有盖的长方体盒子,是否有侧面积最大的情形；假如有,请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；假如没有,请你说明理由解：（1）设正方形的边长为cm,cm 2,就即解得（不合题意,舍去） ,剪去的正方形的边长为1cm（2）有侧面积最大的情形设正方形的边长为cm,盒子的侧面积为就与的函数关系式为：cm 2即改写为
17、当时,即当剪去的正方形的边长为2.25cm 时,长方体盒子的侧面积最大为40.5cm 2（3）有侧面积最大的情形设正方形的边长为cm,盒子的侧面积为如按图 1 所示的方法剪折,就当与8的函数关系式为：2xx即y22xx2102时,如按图 2 所示的方法剪折,名师归纳总结 就与的函数关系式为：第 5 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y2 102xx282xx精品资料即欢迎下载2当时,比较以上两种剪折方法可以看出,按图2 所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大,即当剪去的正方形的边长为 cm 时,折成的有盖长方体盒子的侧面积最大,最大面积为 c
18、m 2例 3、如图,已知抛物线 y=ax 2+bx+c 经过 A（ 3,0）,B（1,0）,C（0,3）三点,其顶点 为 D,对称轴是直线 l,l 与 x 轴交于点 H（1）求该抛物线的解析式；（2）如点 P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点,求PBC 周长的最小值；（3）如图（ 2）,如 E 是线段 AD 上的一个动点（E 与 A、D 不重合）,过 E 点作平行于 y 轴的直线交抛物线于点 F,交 x 轴于点 G,设点 E 的横坐标为 m, ADF 的面积为 S求 S 与 m 的函数关系式；S 是否存在最大值？如存在,求出最大值及此时点 E 的坐标；如不存在,请说明理由解：（1）由题意可知：
19、解得：抛物线的解析式为： y= x 22x+3；（2） PBC 的周长为：PB+PC+BCBC 是定值,当 PB+PC 最小时, PBC 的周长最小,点 A、点 B 关于对称轴 I 对称,连接 AC 交 l 于点 P,即点 P 为所求的点AP=BP PBC 的周长最小是： PB+PC+BC=AC+BC A（ 3,0）,B（1,0）,C（0,3）,名师归纳总结 AC=3,BC=；故 PBC 周长的最小值为 3+第 6 页,共 7 页（3）抛物线 y= x 2 2x+3 顶点 D 的坐标为（1,4）A（ 3,0）直线 AD 的解析式为 y=2x+6 点 E 的横坐标为 m,E（m,2m+6）,F（
20、m, m 2 2m+3）EF= m 2 2m+3 （ 2m+6）= m 2 4m 3 S=S DEF+S AEF= EF.GH+ EF.AG=EF.AH = （ m 2 4m 3）2= m 2 4m 3；S= m 2 4m 3= （ m+2）2+1；当 m= 2 时,S 最大,最大值为1 此时点 E 的坐标为（2,2）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载练习 2 如图,已知抛物线 y=ax 2+bx+3 与 x 轴交于 A、B 两点,过点 A 的直线 l 与抛物线交于 点 C,其中 A 点的坐标是（ 1,0）,C 点坐标是（ 4,3）（
21、1）求抛物线的解析式；（2）在（ 1）中抛物线的对称轴上是否存在点 D,使 BCD 的周长最小？如存在,求出点 D的坐标,如不存在,请说明理由；（3）如点 E 是（ 1）中抛物线上的一个动点,且位于直线 AC 的下方,试求ACE 的最大面 积及 E 点的坐标解：（1）抛物线 y=ax 2+bx+3 经过点 A（1,0）,点 C（4,3）,解得,所以,抛物线的解析式为 y=x 2 4x+3；（2）点 A、B 关于对称轴对称,点 D 为 AC 与对称轴的交点时BCD 的周长最小,设直线 AC 的解析式为 y=kx+b（k0）,名师归纳总结 就,解得,5 ,-23 ）. 4第 7 页,共 7 页所以,直线 AC 的解析式为 y=x 1,y=x2 4x+3=（x 2）2 1,抛物线的对称轴为直线x=2,当 x=2 时,y=2 1=1,抛物线对称轴上存在点D（2,1）,使 BCD 的周长最小；（3）过点 E 作 EF 垂直于 x 轴交 AC 于 F 设 E（m,m 2-4m+3）就 F（m,m-1）EF=m-1-（m 2-4m+3）=-m 2+5m-4 S ACE= （-m 2+5m-4）3=-3 （m-25 ）22+278当 m= 5 时, ACE的最大面积为227 ,此时, m 2-4m+3=-83 , E（4- - - - - - -