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1、学习好资料欢迎下载综合题讲解函数中因动点产生的相似三角形问题例题如图 1，已知抛物线的顶点为A（2，1） ，且经过原点O，与 x 轴的另一个交点为B。求抛物线的解析式； （用顶点式求得抛物线的解析式为xx41y2）若点 C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求 D 点的坐标；连接 OA、 AB，如图 2，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点P，使得 OBP 与 OAB 相似？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。分析 :1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为
2、平行四边形要分类讨论:按 OB 为边和对角线两种情况2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。例 1 题图图 1 OAByxOAByx图 2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -
3、 - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载yxEQPCBOA练习 1、已知抛物线2yaxbxc经过5 3( 3 3)02PE，及原点(0 0)O，（ 1）求抛物线的解析式 （由一般式得抛物线的解析式为225 333yxx）（ 2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC是否存在点Q，使得OPC与PQB相似？若存在，求出Q点的
4、坐标；若不存在，说明理由（ 3）如果符合（ 2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个三角形OPCPQBOQPOQA，之间存在怎样的关系？为什么？练习 2、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在 x 轴上，点C 在 y轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边 OA 的点 D 处。已知折叠5 5CE，且3tan4EDA。（1）判断OCD与ADE是否相似？请说明理由；（2）求直线CE 与 x 轴交点 P 的坐标；（3）是否存在过点D 的直线 l，使直线 l、直线 CE 与 x 轴所围成的三角形和直线l、直线 CE 与 y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直
5、接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。练习 3、 在平面直角坐标系xOy中， 已知二次函数2(0)yaxbxc a的图象与x轴交于AB，两点 （点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点(2 3)，和( 312)，（ 1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为223yxx）O x y 练习 2 图C B E D A名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下
6、载（ 2）若直线:(0)lykx k与线段BC交于点D（不与点BC，重合），则是否存在这样的直线l，使得以BOD， ，为顶点的三角形与BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由；( 1 0)(3 0),(0 3)ABC，（ 3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO与ACO的大小（不必证明） ，并写出此时点P的横坐标px的取值范围练习 4 (2008 广东湛江市 ) 如图所示，已知抛物线21yx与x轴交于 A、B 两点，与y轴交于点 C（1）求 A、B、C 三点的坐标（2）过点 A 作 APCB 交抛物线于点P，求四边形
7、ACBP 的面积（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过 M 作 MGx轴于点 G，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由练习 5、已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，90ACB，点AC，的坐标分别为( 3 0)A，(10)C ，3tan4BAC（ 1）求过点AB，的直线的函数表达式；点( 3 0)A，(10)C，B(13)，3944yx（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得ADB与ABC相似（不包括全等） ，并求点D的坐标；（3）在（ 2）的条件下，如PQ，分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设APDQm，问是否存在
8、这样的m使得APQ与ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由O y C lx B A 1x练习 3 图oC B A x练习 4 图P y A C O B x y 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载参考答案例题 、解 :由题意可设抛物线的解析式为1)2x(ay2抛物线过原点，1)20(a0241a. 抛物线的解析式为1)2x(41y2,即xx41y2如图 1,当 OB 为边即四边形O
9、CDB 是平行四边形时,CDOB, 由1)2x(4102得4x,0 x21, B(4,0),OB 4. D 点的横坐标为6 将 x6 代入1)2x(41y2,得 y 3, D(6, 3); 根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB 是平行四边形 ,此时 D 点的坐标为 (2,3), 当 OB 为对角线即四边形OCBD 是平行四边形时,D 点即为 A 点,此时 D 点的坐标为 (2,1) 如图 2，由抛物线的对称性可知:AO AB,AOB ABO. 若 BOP 与 AOB 相似 ,必须有 POB BOA BPO 设 OP 交抛物线的对称轴于A 点,显然 A(2,
10、 1) 直线 OP 的解析式为x21y由xx41x212, 得6x,0 x21.P(6, 3) 过 P 作 PEx 轴,在 RtBEP 中,BE2,PE 3, PB134.PB OB, BOP BPO, PBO 与 BAO 不相似 , 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点. 所以在该抛物线上不存在点P,使得 BOP 与 AOB 相似 . EAOABPyx图 2 COABDyx图 1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - -
11、- - - - - - 学习好资料欢迎下载练习 1、解： （1）由已知可得：333755 30420ababc解之得，25 3033abc，因而得，抛物线的解析式为：225 333yxx（2）存在设Q点的坐标为()mn，则225 333nmm，要使,BQPBOCPPBQCPOC，则有3333nm，即225 3333333mmm解之得，122 32mm，当12 3m时，2n，即为Q点，所以得(23 2)Q，要使,BQPBOCPQBPOCCP，则有3333nm，即225 3333333mmm解之得，123 33mm，当3m时，即为P点，当13 3m时，3n，所以得(3 33)Q，故存在两个Q点使得
12、OCP与PBQ相似Q点的坐标为(23 2) (3 33)，（3）在RtOCP中，因为3tan3CPCOPOC所以30COP当Q点的坐标为(23 2)，时，30BPQCOP所以90OPQOCPBQAO因此，OPCPQBOPQOAQ，都是直角三角形又在RtOAQ中，因为3tan3QAQOAAO所以30QOA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载即有30POQQOAQPBCOP所以OPCPQBOQPOQA
13、，又因为QPOPQAOA，30POQAOQ，所以OQAOQP练习 2 解： （1）OCD与ADE相似。理由如下：由折叠知，90CDEB，1290，139023.，又90CODDAE，OCDADE。（2）3tan4AEEDAAD，设 AE=3t ，则 AD=4t 。由勾股定理得DE=5t 。358OCABAEEBAEDEttt。由（ 1）OCDADE，得OCCDADDE，845tCDtt，10CDt。在DCE中，222CDDECE，222(10 )(5 )(5 5)tt，解得 t=1。OC=8 ，AE=3 ，点 C 的坐标为（ 0，8） ，点 E 的坐标为（ 10，3） ，设直线 CE 的解析式
14、为y=kx +b，1038kbb，解得128kb，O x y 图 1 C B E D 3 1 2 A 图 2 O x y C B E D P M G l N A F 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载182yx，则点 P 的坐标为（ 16， 0） 。（3）满足条件的直线l 有 2 条： y=2x+12 ，y=2x12 。如图 2：准确画出两条直线。练习 3 解： （1）二次函数图象顶点的横坐标为
15、1，且过点(2 3)，和( 312)，由1242393212.baabcab，解得123.abc，此二次函数的表达式为223yxx（2）假设存在直线:(0)lykx k与线段BC交于点D（不与点BC，重合），使得以BOD， ，为顶点的三角形与BAC相似在223yxx中，令0y，则由2230 xx，解得1213xx，( 1 0)(3 0)AB，令0 x，得3y(0 3)C，设过点O的直线l交BC于点D，过点D作DEx轴于点E点B的坐标为(3 0)，点C的坐标为(0 3)，点A的坐标为( 10)，4345.ABOBOCOBC，22333 2BC要使BODBAC或BDOBAC，已有BB，则只需BDB
16、OBCBA，或.BOBDBCBA成立若是，则有3 3 29 244BO BCBDBAy x B E A O C D 1xl名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载而45OBCBEDE，在RtBDE中，由勾股定理，得222229 224BEDEBEBD解得94BEDE（负值舍去） 93344OEOBBE点D的坐标为3 94 4，将点D的坐标代入(0)ykx k中，求得3k满足条件的直线l的函数表达式为3
17、yx或求出直线AC的函数表达式为33yx，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为3yx此时易知BODBAC，再求出直线BC的函数表达式为3yx联立33yxyx，求得点D的坐标为3 94 4， 若是，则有3 42 23 2BO BABDBC而45OBCBEDE，在RtBDE中，由勾股定理，得222222(2 2)BEDEBEBD解得2BEDE（负值舍去） 321OEOBBE点D的坐标为(12)，将点D的坐标代入(0)ykx k中，求得2k满足条件的直线l的函数表达式为2yx存在直线:3lyx或2yx与线段BC交于点D（不与点BC，重合），使得以BOD， ，为顶点的三角形与BAC相似，且点D的坐标
18、分别为3 94 4，或(12)，（3）设过点(0 3)(10)CE，的直线3(0)ykxk与该二次函数的图象交于点P名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载将点(10)E，的坐标代入3ykx中，求得3k此直线的函数表达式为33yx设点P的坐标为(33)xx，并代入223yxx，得250 xx解得1250 xx，（不合题意，舍去） 512xy，点P的坐标为(512)，此时，锐角PCOACO又二次函数的对
19、称轴为1x，点C关于对称轴对称的点C的坐标为(2 3)，当5px时，锐角PCOACO；当5px时，锐角PCOACO；当25px时，锐角PCOACO练习四解：（ 1）令0y，得210 x解得1x令0 x，得1y A( 1,0)B(1,0)C(0, 1)（2） OA=OB=OC=1BAC =AC O=BC O=45APCB ，PAB =45过点 P 作 PEx轴于 E，则APE 为等腰直角三角形令 OE=a，则 PE=1aP( ,1)a a点 P 在抛物线21yx上 211aa解得12a，21a（不合题意，舍去）PE=3四边形 ACB P 的面积S=12AB?OC+12AB?PE=112 12 3
20、422(3) 假设存在PAB=BAC =45PAACx B E A O C 1xP C图 1 C P B y A ox名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载MGx轴于点 G，MGA=PAC =90在 RtAOC 中， OA=O C=1AC=2在 RtPAE 中， AE=PE=3 AP= 3 2设 M 点的横坐标为m，则 M 2(,1)m m点 M 在y轴左侧时，则1m() 当AMG PCA 时，有A
21、GPA=MGCAAG=1m，MG=21m即2113 22mm解得11m（舍去）223m（舍去）() 当MAG PCA 时有AGCA=MGPA即21123 2mm解得：1m（舍去）22mM( 2,3) 点 M 在y轴右侧时，则1m() 当AMG PCA 时有AGPA=MGCAAG=1m，MG=21m2113 22mm解得11m（舍去）243mM4 7(,)3 9() 当MAGPCA 时有AGCA=MGPA即21123 2mm解得：11m（舍去）24mM(4,15)存在点M，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似G M 图 3 C B y P A oxG M 图 2 C B y P A
22、 ox名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载M 点的坐标为( 2,3)，4 7(,)3 9，(4,15)练习 5、解： （1）点( 3 0)A，(1 0)C，4AC，3tan434BCBACAC，B点坐标为(13)，设过点AB，的直线的函数表达式为ykxb，由0( 3)3kbkb得34k，94b直线AB的函数表达式为3944yx（2）如图 1，过点B作BDAB，交x轴于点D，在RtABC和RtAD
23、B中，BACDABRtRtABCADB，D点为所求又4tantan3ADBABC，49tan334CDBCADB134ODOCCD，1304D，（3）这样的m存在在RtABC中，由勾股定理得5AB如图 1，当PQBD时，APQABD则133413534mm，解得259m如图 2，当PQAD时，APQADB则133413534mm，解得12536mABCDQOyx图 1 PABCDQOyx图 2 P名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -