《2022年中考专题练习_函数中因动点产生的相似三角形问题 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年中考专题练习_函数中因动点产生的相似三角形问题 .pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、- 一 - 函数中因动点产生的相似三角形问题例题如图 1，已知抛物线的顶点为A（2，1） ，且经过原点O，与 x 轴的另一个交点为B。求抛物线的解析式； （用顶点式求得抛物线的解析式为xx41y2）若点 C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求 D 点的坐标；连接 OA、 AB，如图 2，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点P，使得 OBP 与 OAB 相似？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。分析 :1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类
2、讨论:按 OB 为边和对角线两种情况2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。例 1 题图图 1 OAByxOAByx图 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页
3、，共 15 页- 二 - yxEQPCBOA练习 1、已知抛物线2yaxbxc经过5 3( 3 3)02PE，及原点(0 0)O，（ 1）求抛物线的解析式 （由一般式得抛物线的解析式为225 333yxx）（ 2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC是否存在点Q，使得OPC与PQB相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由（ 3）如果符合（ 2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个三角形OPCPQBOQPO
4、QA，之间存在怎样的关系？为什么？练习 2、如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在 x 轴上，点C 在 y轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边 OA 的点 D 处。已知折叠5 5CE，且3tan4EDA。（1）判断OCD与ADE是否相似？请说明理由；（2）求直线CE 与 x 轴交点 P 的坐标；（3）是否存在过点D 的直线 l，使直线l、直线 CE 与 x 轴所围成的三角形和直线l、直线 CE 与 y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。练习 3、 在平面直角坐标系xOy中， 已知二次函数2(0)yaxbxc
5、 a的图象与x轴交于AB，两点 （点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点(2 3)，和( 312)，（ 1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为223yxx）O x y 练习 2 图C B E D A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页- 三 - （ 2）若直线:(0)lykx k与线段BC交于点D（不与点BC，重合），则是否存在这样的直线l，使得以BOD， ，为顶点的三角形与BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由；( 1 0)(3 0),(
6、0 3)ABC，（ 3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO与ACO的大小（不必证明） ，并写出此时点P的横坐标px的取值范围练习 4 (2008 广东湛江市 ) 如图所示，已知抛物线21yx与x轴交于 A、B 两点，与y轴交于点 C（1）求 A、B、C 三点的坐标（2）过点 A 作 APCB 交抛物线于点P，求四边形ACBP 的面积（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过 M 作 MGx轴于点 G，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由练习 5、已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三
7、角形，90ACBo，点AC，的坐标分别为( 3 0)A，(10)C ，3tan4BAC（ 1）求过点AB，的直线的函数表达式；点( 3 0)A，(10)C，B(13)，3944yx（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得ADB与ABC相似（不包括全等） ，并求点D的坐标；（3）在（ 2）的条件下，如PQ，分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设APDQm，问是否存在这样的m使得APQ与ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由O y C lx B A 1x练习 3 图oC B A x练习 4 图P y A C O B x y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总
8、结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页- 四 - 参考答案例题 、解 :由题意可设抛物线的解析式为1)2x(ay2抛物线过原点，1)20(a0241a. 抛物线的解析式为1)2x(41y2,即xx41y2如图 1,当 OB 为边即四边形OCDB 是平行四边形时,CDOB, 由1)2x(4102得4x,0 x21, B(4,0),OB 4. D 点的横坐标为6 将 x6 代入1)2x(41y2,得 y 3, D(6, 3); 根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB 是平行四边形,此时 D 点的坐标为 (2,3), 当 OB 为对角线即四边形OC
9、BD 是平行四边形时,D 点即为 A 点 ,此时 D 点的坐标为 (2,1) 如图 2，由抛物线的对称性可知:AO AB,AOB ABO. 若 BOP 与 AOB 相似 ,必须有 POB BOA BPO 设 OP 交抛物线的对称轴于A 点,显然 A(2, 1) 直线 OP 的解析式为x21y由xx41x212, 得6x,0 x21.P(6, 3) 过 P 作 PEx 轴,在 RtBEP 中,BE2,PE 3, PB134.PB OB, BOP BPO, PBO 与 BAO 不相似 , 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点. 所以在该抛物线上不存在点P,使得 BOP 与 AO
10、B 相似 . EAOABPyx图 2 COABDyx图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页- 五 - 练习 1、解： （1）由已知可得：333755 30420ababc解之得，25 3033abc，因而得，抛物线的解析式为：225 333yxx（2）存在设Q点的坐标为()mn，则225 333nmm，要使,BQPBOCPPBQCPOC，则有3333nm，即225 3333333mmm解之得，122 32mm，当12 3m时，2n，即为Q点，所以得(23 2)Q，要使,BQPBOCPQBPOCCP，则有3333
11、nm，即225 3333333mmm解之得，123 33mm，当3m时，即为P点，当13 3m时，3n，所以得(3 33)Q，故存在两个Q点使得OCP与PBQ相似Q点的坐标为(23 2) (3 33)，（3）在RtOCP中，因为3tan3CPCOPOC所以30COPo当Q点的坐标为(23 2)，时，30BPQCOPo所以90OPQOCPBQAOo因此，OPCPQBOPQOAQ，都是直角三角形又在RtOAQ中，因为3tan3QAQOAAO所以30QOAo精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页- 六 - 即有30POQQO
12、AQPBCOPo所以OPCPQBOQPOQA，又因为QPOPQAOA，30POQAOQo，所以OQAOQP练习 2 解： （1）OCD与ADE相似。理由如下：由折叠知，90CDEB，1290，139023.oQ，又90CODDAE，OCDADE。（2）3tan4AEEDAAD，设 AE=3t ，则 AD=4t 。由勾股定理得DE=5t 。358OCABAEEBAEDEttt。由（ 1）OCDADE，得OCCDADDE，845tCDtt，10CDt。在DCE中，222CDDECE，222(10 )(5 )(5 5)tt，解得 t=1。OC=8 ，AE=3 ，点 C 的坐标为（ 0，8） ，点 E
13、 的坐标为（ 10，3） ，设直线 CE 的解析式为y=kx +b，O x y 图 1 C B E D 3 1 2 A 图 2 O x y C B E D P M G l N A F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页- 七 - 1038kbb，解得128kb，182yx，则点 P 的坐标为（ 16， 0） 。（3）满足条件的直线l 有 2 条： y=2x+12 ，y=2x12 。如图 2：准确画出两条直线。练习 3 解： （1）Q二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点(2 3)，和( 312)，由124239321
14、2.baabcab，解得123.abc，此二次函数的表达式为223yxx（2）假设存在直线:(0)lykx k与线段BC交于点D（不与点BC，重合） ，使得以BOD， ，为顶点的三角形与BAC相似在223yxx中，令0y，则由2230 xx，解得1213xx，( 1 0)(3 0)AB，令0 x，得3y(0 3)C，设过点O的直线l交BC于点D，过点D作DEx轴于点EQ点B的坐标为(3 0)，点C的坐标为(0 3)，点A的坐标为( 10)，4345.ABOBOCOBCo，22333 2BC要使BODBAC或BDOBAC，已有BB，则只需BDBOBCBA，或.BOBDBCBAy x B E A
15、O C D 1xl精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页- 八 - 成立若是，则有3 3 29 244BO BCBDBAg而45OBCBEDEo，在RtBDE中，由勾股定理，得222229 224BEDEBEBD解得94BEDE（负值舍去） 93344OEOBBE点D的坐标为3 94 4，将点D的坐标代入(0)ykx k中，求得3k满足条件的直线l的函数表达式为3yx或求出直线AC的函数表达式为33yx，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为3yx此时易知BODBAC，再求出直线BC的函数表达式为3yx联立33yxyx
16、，求得点D的坐标为3 94 4， 若是，则有3 42 23 2BO BABDBCg而45OBCBEDEo，在RtBDE中，由勾股定理，得222222(2 2)BEDEBEBD解得2BEDE（负值舍去） 321OEOBBE点D的坐标为(12)，将点D的坐标代入(0)ykx k中，求得2k满足条件的直线l的函数表达式为2yx存在直线:3lyx或2yx与线段BC交于点D（不与点BC，重合） ，使得以BOD， ，为顶点的三精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页- 九 - 角形与BAC相似，且点D的坐标分别为3 94 4，或(1
17、2)，（3）设过点(0 3)(10)CE，的直线3(0)ykxk与该二次函数的图象交于点P将点(10)E，的坐标代入3ykx中，求得3k此直线的函数表达式为33yx设点P的坐标为(33)xx，并代入223yxx，得250 xx解得1250 xx，（不合题意，舍去） 512xy，点P的坐标为(512)，此时，锐角PCOACO又Q二次函数的对称轴为1x，点C关于对称轴对称的点C的坐标为(2 3)，当5px时，锐角PCOACO；当5px时，锐角PCOACO；当25px时，锐角PCOACO练习四解：（ 1）令0y，得210 x解得1x令0 x，得1y A( 1,0)B(1,0)C(0, 1)（2） O
18、A=OB=OC=1BAC =AC O=BC O=45oAPCB ，PAB =45o过点 P 作 PEx轴于 E，则APE 为等腰直角三角形令 OE=a，则 PE=1aP( ,1)a a点 P 在抛物线21yx上 211aa解得12a，21a（不合题意，舍去）PE=3x B E A O C 1xP C图 1 C P B y A ox精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页- 十 - 四边形 ACB P 的面积S=12AB?OC+12AB?PE=112 12 3422(3) 假设存在PAB=BAC =45oPAACMGx轴于
19、点 G，MGA=PAC =90o在 RtAOC 中， OA=O C=1AC=2在 RtPAE 中， AE=PE=3 AP= 3 2设 M 点的横坐标为m，则 M 2(,1)m m点 M 在y轴左侧时，则1m() 当AMG PCA 时，有AGPA=MGCAAG=1m，MG=21m即2113 22mm解得11m（舍去）223m（舍去）() 当MAG PCA 时有AGCA=MGPA即21123 2mm解得：1m（舍去）22mM( 2,3) 点 M 在y轴右侧时，则1m() 当AMG PCA 时有AGPA=MGCAAG=1m，MG=21m2113 22mm解得11m（舍去）243mM4 7(,)3 9
20、() 当MAGPCA 时有AGCA=MGPA即21123 2mmG M 图 3 C B y P A oxG M 图 2 C B y P A ox精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页- 十一 - 解得：11m（舍去）24mM(4,15)存在点M，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似M 点的坐标为( 2,3)，4 7(,)3 9，(4,15)练习 5、解： （1）Q点( 3 0)A，(1 0)C，4AC，3tan434BCBACAC，B点坐标为(13)，设过点AB，的直线的函数表达式为ykxb，由0( 3
21、)3kbkb得34k，94b直线AB的函数表达式为3944yx（2）如图 1，过点B作BDAB，交x轴于点D，在RtABC和RtADB中，BACDABQRtRtABCADB，D点为所求又4tantan3ADBABC，49tan334CDBCADB134ODOCCD，1304D，（3）这样的m存在在RtABC中，由勾股定理得5AB如图 1，当PQBD时，APQABD则133413534mm，解得259m如图 2，当PQAD时，APQADB则133413534mm，解得12536m如图，已知抛物线122xy的图像与x 轴交于 A、B 两点（点A 在点 B 左侧） ，与 y 轴交于点 C. （1）试
22、判断 AOC 与 COB 是否相似 ; （2）若点 D 是抛物线的顶点，DH 垂直于 x 轴，垂足为 H，试判断直角三角形DHA 与直角三角形COB是否相似？说明理由ABCDQOyx图 1 PABCDQOyx图 2 P精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页- 十二 - 变式 1：若点 M 在抛物线上且在x 轴上方， 过点 M 作 MG 垂直于 x 轴，垂足为点 G，是否存在 M，使得 AMG与 AOC 相似变式 2：若点 D 是抛物线的顶点，点M 在抛物线上且在x 轴上方，过点M 做 x 轴的垂线，垂足为点G，是否存
23、在 M，使得 AMG 与 DCB 相似练一练：已知 : 如图 , 抛物线cbxxy2与 x 轴、 y 轴分别相交于点A（-1 ，0） 、B（0，3）两点，其顶点为 D. (1)求该抛物线的解析式；(2)若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；(3)AOB 与BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页- 十三 - （注：抛物线y=ax2+bx+c(a 0)的顶点坐标为）课后练习：1. 已知抛物线cbxaxy2的顶点坐标为 (4,-1)
24、，与 y 轴交于点C(0,3) ， O是原点 . （1）求这条抛物线的解析式；（2）设此抛物线与x轴的交点为A，B（A在 B的左边），问在y轴上是否存在点P，使以 O ，B，P 为顶点的三角形与AOC相似？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页- 十四 - 2.如图，已知抛物线的顶点为A(2， 1)，且经过原点O，与 x 轴的另一交点为B. (1)求抛物线的解析式；(2)若点 C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O、C、D、B 四点为顶点的四边形为平行四边形
25、，求 D 点的坐标；(3)连接 OA、AB ，如图，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P，使得 OBP 与 OAB 相似？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由. 中考链接1 （10四川 ）如图 ,已知 ABC 中， ACB 90 以 AB 所在直线为x 轴，过 c 点的直线为y 轴建立平面直角坐标系此时，A 点坐标为（ -1,0 ） ， B 点坐标为（ 4,0 ）（1）试求点C 的坐标（2）若抛物线2yaxbxc过 ABC 的三个顶点，求抛物线的解析式（3）点 D（ 1，m ）在抛物线上，过点A 的直线 y=x1 交（ 2）中的抛物线于点E，那么在 x 轴上点B 的左侧是否存在点P，使
26、以 P、 B、D 为顶点的三角形与ABE 相似？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由. AABBOOxxyy图图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页- 十五 - 2 （10湖北襄樊）如图，四边形ABCD 是平行四边形，AB= 4，OB=2，抛物线过A、B、C 三点，与x轴交于另一点D一动点P 以每秒 1 个单位长度的速度从B 点出发沿BA 向点 A 运动，运动到点A 停止，同时一动点Q 从点 D 出发，以每秒3 个单位长度的速度沿DC 向点 C 运动，与点P 同时停止（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴与AB 交于点 E，与 x 轴交于点 F，当点 P 运动时间 t 为何值时，四边形 POQE 是等腰梯形？（3）当 t 为何值时，以P、B、O 为顶点的三角形与以点Q、B、O 为顶点的三角形相似？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页