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1、因动点产生的相似三角形问题例 1 20XX 年上海市中考第24 题如图 1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线yax2bx（a0）经过点A和 x 轴正半轴上的点B，AOBO2， AOB120（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结 OM，求 AOM 的大小；（3）如果点C 在 x 轴上，且 ABC 与 AOM 相似，求点C 的坐标图 1 动感体验请打开几何画板“13 上海 24” ，拖动点 C 在 x 轴上运动，可以体验到，点C 在点 B 的右侧，有两种情况，ABC 与 AOM 相似请打开超级画板文件名“13 上海 24” ，拖动点C 在 x 轴上运动，可以体验到，点C 在点 B 的
2、右侧，有两种情况，ABC 与 AOM 相似点击按钮的左部和中部，可到达相似的准确位置。思路点拨1第（ 2）题把求 AOM 的大小，转化为求BOM 的大小2因为 BOM ABO30，因此点C 在点 B 的右侧时，恰好有ABC AOM3根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论ABC 与 AOM 相似满分解答（1）如图 2，过点 A 作 AHy 轴，垂足为H在 RtAOH 中， AO2， AOH30，所以 AH 1，OH3所以 A( 1, 3)因为抛物线与x 轴交于 O、B(2,0)两点，设yax(x2)，代入点A( 1, 3)，可得33a图 2 所以抛物线的表达式为23323(2)333yx xx
3、x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页（2）由2232 333(1)3333yxxx，得抛物线的顶点M 的坐标为3(1,)3所以3tan3BOM所以 BOM 30所以 AOM150（3）由 A( 1, 3)、B(2,0)、M3(1,)3，得3tan3ABO，23AB，2 33OM所以 ABO30，3OAOM因此当点 C 在点 B 右侧时， ABC AOM150ABC 与 AOM 相似，存在两种情况：如图 3，当3BAOABCOM时，2 3233BABC此时 C(4,0)如图 4，当3BCOABAOM时，332 36B
4、CBA此时 C(8,0)图 3 图 4 考点伸展在本题情境下，如果ABC 与 BOM 相似，求点C 的坐标如图 5，因为 BOM 是 30底角的等腰三角形，ABO30，因此 ABC 也是底角为 30的等腰三角形，AB AC，根据对称性，点C 的坐标为 (4,0)图 5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页例 2 20XX 年苏州市中考第29 题如图 1，已知抛物线211(1)444byxbx（b 是实数且b 2）与 x 轴的正半轴分别交于点 A、B（点 A 位于点 B 是左侧），与 y 轴的正半轴交于点C（1）点 B
5、 的坐标为 _，点 C 的坐标为 _（用含 b 的代数式表示） ；（2） 请你探索在第一象限内是否存在点P， 使得四边形PCOB 的面积等于2b， 且 PBC是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得 QCO、 QOA 和 QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由图 1 动感体验请打开几何画板“12 苏州 29” ，拖动点B 在 x 轴的正半轴上运动，可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB 的面积等于2b
6、的时刻 双击按钮 “第（ 3）题” ，拖动点 B，可以体验到，存在OQA B 的时刻，也存在OQA B 的时刻思路点拨1第（ 2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点 P 到两坐标轴的距离相等2联结 OP，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示3第（ 3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A 与 x 轴垂直的直线上满分解答（1）B 的坐标为 (b, 0)，点 C 的坐标为 (0, 4b)（2）如图 2，过点 P 作 PDx 轴，PE y 轴，垂足分别为D、E，那么 PDB PEC因此 PDPE设点 P 的坐标为
7、 (x, x) 如图 3，联结 OP所以 S四边形PCOBSPCOSPBO1152428bxb xbx2b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页解得165x所以点P 的坐标为 (16 16,55)图 2 图 3 （3）由2111(1)(1)()4444byxbxxxb，得 A(1, 0)，OA1如图 4，以 OA、OC 为邻边构造矩形OAQC，那么 OQC QOA当BAQAQAOA，即2QABA OA时， BQA QOA所以2( )14bb解得84 3b所以符合题意的点Q 为 (1,23 )如图 5，以 OC 为直径的
8、圆与直线x1 交于点 Q，那么 OQC90。因此 OCQ QOA当BAQAQAOA时， BQA QOA此时 OQB90所以 C、Q、B 三点共线因此BOQACOOA，即14bQAb解得4QA此时 Q(1,4)图 4 图 5 考点伸展第（ 3）题的思路是，A、C、O 三点是确定的，B 是 x 轴正半轴上待定的点，而QOA与 QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况这样， 先根据 QOA 与 QOC 相似把点Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点 B 的位置如图中，圆与直线x1 的另一个交点会不会是符合题意的点Q 呢？如果符合题意的话，那么点B 的位置距离点A
9、很近，这与OB4OC 矛盾精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页例 3 20XX 年黄冈市中考模拟第25 题如图 1，已知抛物线的方程C1：1(2)()yxxmm(m 0)与 x 轴交于点B、C，与y 轴交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧（1）若抛物线C1 过点 M(2, 2)，求实数 m 的值；（2）在（ 1）的条件下，求BCE 的面积；（3）在（ 1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得 BHEH 最小，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1 上是否存在点F，使得以点B、C、F 为顶点的三角形与
10、BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由图 1 动感体验请打开几何画板“12 黄冈 25” ，拖动点 C 在 x 轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到， EC 与 BF 保持平行，但是BFC 在无限远处也不等于45观察右图，可以体验到，CBF 保持 45，存在 BFC BCE 的时刻思路点拨1第（ 3）题是典型的“牛喝水”问题，当H 落在线段EC 上时， BH EH 最小2第（ 4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作 CBF EBC45，或者作 BF/EC再用含m 的式子表示点F 的坐标然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于 m 的方程满分解答（1）将 M(2, 2)代入
11、1(2)()yxxmm，得124(2)mm解得 m4（2）当 m4 时，2111(2)(4)2442yxxxx所以 C(4, 0)， E(0, 2)所以 SBCE1162622BC OE（3）如图 2，抛物线的对称轴是直线x1，当 H 落在线段EC 上时， BHEH 最小设对称轴与x 轴的交点为P，那么HPEOCPCO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页因此234HP解得32HP所以点H 的坐标为3(1, )2（4）如图3，过点 B作 EC 的平行线交抛物线于F，过点 F 作 FF x 轴于 F由于 BCE FBC，
12、所以当CEBCCBBF，即2BCCE BF时， BCE FBC设点 F 的坐标为1( ,(2)()xxxmm，由FFEOBFCO，得1(2)()22xxmmxm解得 xm2所以 F (m2, 0)由COBFCEBF，得244mmBFm所以2(4)4mmBFm由2BCCE BF，得222(4)4(2)4mmmmm整理，得 016此方程无解图 2 图 3 图 4 如图 4，作 CBF 45交抛物线于F，过点 F 作 FF x 轴于 F，由于 EBC CBF，所以BEBCBCBF，即2BCBE BF时， BCE BFC在 RtBFF 中，由 FF BF ，得1(2)()2xxmxm解得 x2m所以
13、F(2,0)m所以 BF2m 2，2(22)BFm由2BCBE BF，得2(2)2 22(22)mm解得22 2m综合、，符合题意的m 为22 2考点伸展第（ 4）题也可以这样求BF 的长：在求得点F、F 的坐标后，根据两点间的距离公式求 BF 的长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页例 4 20XX 年义乌市中考第24 题如图 1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0） 、A（2，0） 、B（6， 3） （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；（2） 将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的
14、直线OA、 CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2 的梯形 O1A1B1C1设梯形O1A1B1C1的面积为 S，A1、 B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)用含 S的代数式表示x2 x1，并求出当S=36时点 A1的坐标；（3）在图 1 中，设点 D 的坐标为 (1，3)，动点 P 从点 B 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点 D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动 P、Q 两点同时出发，当点Q 到达点 M 时，P、Q 两点同时停止运动设P、Q 两点的运动时间为 t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、
15、直线 AB、x 轴围成的三角形与直线PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由图 1 图 2 动感体验请打开几何画板“10 义乌 24” ，拖动点I 上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x2x1随 S的增大而减小双击按钮“第（3）题”，拖动点 Q 在 DM 上运动，可以体验到，如果 GAF GQE，那么 GAF 与 GQE 相似思路点拨1第（ 2）题用含S的代数式表示x2x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示 S再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2y13通过代数变形就可以了2第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无
16、法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证3第（ 3）题的示意图，不变的关系是：直线AB 与 x 轴的夹角不变，直线AB 与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线PQ 的斜率，因此假设直线PQ 与 AB 的交点 G 在 x 轴的下方，或者假设交点G 在 x 轴的上方满分解答（1）抛物线的对称轴为直线1x，解析式为21184yxx，顶点为M（1，18） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页（ 2）梯 形O1A1B1C1的 面 积12122(11)3()62xxSxx， 由 此 得 到1223sxx由于
17、213yy，所以22212211111138484yyxxxx整理，得212111()()384xxxx因此得到2172xxS当 S=36 时，212114,2.xxxx解得126,8.xx此时点 A1的坐标为（ 6，3） （3）设直线AB 与 PQ 交于点 G，直线 AB 与抛物线的对称轴交于点E，直线 PQ 与 x轴交于点 F，那么要探求相似的GAF 与 GQE，有一个公共角G在 GEQ 中， GEQ 是直线 AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值在 GAF 中， GAF 是直线 AB 与 x 轴的夹角，也为定值，而且GEQ GAF因此只存在GQE GAF 的可能， GQE GAF这时 GAF
18、 GQE PQD由于3tan4GAF，tan5DQtPQDQPt，所以345tt解得207t图 3 图 4 考点伸展第（ 3）题是否存在点G 在 x 轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的 t 的值也是相同的事实上， 图 3 和图 4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页例 5 20XX 年临沂市中考第26题如图 1，抛物线经过点A(4，0)、B（1， 0)、 C（ 0， 2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作 PM x 轴，垂
19、足为M，是否存在点P，使得以A、P、M 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线 AC 上方的抛物线是有一点D，使得 DCA 的面积最大， 求出点 D 的坐标,图 1 动感体验请打开几何画板“09 临沂 26” ，拖动点 P 在抛物线上运动，可以体验到，P AM 的形状在变化，分别双击按钮“P 在 B 左侧”、 “ P在 x 轴上方”和“ P 在 A 右侧”，可以显示PAM 与 OAC 相似的三个情景双击按钮“第(3)题” ， 拖动点 D 在 x 轴上方的抛物线上运动，观察DCA 的形状和面积随 D 变化的图象，可以体验到，E 是
20、 AC 的中点时， DCA 的面积最大思路点拨1已知抛物线与x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便2数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长3按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程4把 DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA满分解答（ 1）因为抛物线与x 轴交于A(4 ， 0)、 B（ 1， 0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(xxay，代入点C 的 坐标（ 0， 2） ，解得21a所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212xxxxy（2）设点 P 的坐标为)4)(1(21,(xxx如图 2，当点 P 在 x 轴上方时， 1x4
21、，)4)(1(21xxPM，xAM4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页如果2COAOPMAM，那么24) 4)(1(21xxx解得5x不合题意如果21COAOPMAM，那么214)4)(1(21xxx解得2x此时点 P 的坐标为（ 2，1） 如图 3，当点 P 在点 A 的右侧时， x 4，)4)(1(21xxPM，4xAM解方程24)4)(1(21xxx，得5x此时点P 的坐标为)2,5(解方程214)4)(1(21xxx，得2x不合题意如图 4，当点 P 在点 B 的左侧时， x 1，)4)(1(21xxPM，
22、xAM4解方程24)4)(1(21xxx，得3x此时点 P 的坐标为)14,3(解方程214)4)(1(21xxx，得0 x此时点P 与点 O 重合，不合题意综上所述，符合条件的点 P 的坐标为（ 2，1）或)14, 3(或)2,5(图 2 图 3 图 4 （3）如图 5，过点 D 作 x 轴的垂线交AC 于 E直线 AC 的解析式为221xy设点 D 的横坐标为m)41(m，那么点 D 的坐标为)22521,(2mmm，点 E 的坐标为)221,(mm所以)221()22521(2mmmDEmm2212因此4)221(212mmSDACmm424)2(2m精选学习资料 - - - - - -
23、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页当2m时， DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（ 2，1） 图 5 图 6 考点伸展第（ 3）题也可以这样解：如图 6，过 D 点构造矩形OAMN ，那么 DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去CDN 和 ADM 的面积设点 D 的横坐标为（ m，n）)41 (m，那么42)4(21)2(214)22(21nmmnnmnS由于225212mmn，所以mmS42精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页例 6 20XX 年苏州市中考
24、第29题图 1 动感体验请打开几何画板“08 苏州 29” ，拖动表示a 的点在 y 轴上运动，可以体验到，当抛物线经过点 E1和 E3时，直线 NE1、NE3和直线 AB 交于同一个点G，此时 POB PGN当抛物线经过点E2和 E4时，直线NE2、 NE4和直线 AB 交于同一个点G，可以体验到，这个点 G 在点 N 右侧较远处思路点拨1求等腰直角三角形OAB 斜边上的高OH，解直角三角形POH 求 k、b 的值2以 DN 为边画正方形及对角线，可以体验到，正方形的顶点和对角线的交点中，有符合题意的点E，写出点E 的坐标，代入抛物线的解析式就可以求出a3当E 在x 轴上方时，GNP 45
25、， POB PGN ，把PB PG转化为14PO PN4当 E 在 x 轴下方时，通过估算得到PB PG大于 102满分解答（1）1OH，33k，2 33b（2）由抛物线的解析式(1)(5)ya xx，得点 M 的坐标为( 1,0)，点 N 的坐标为(5,0)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页因此 MN 的中点 D 的坐标为（ 2，0） ，DN3因为 AOB 是等腰直角三角形，如果DNE 与 AOB 相似， 那么 DNE 也是等腰直角三角形如图 2，如果 DN 为直角边，那么点E 的坐标为E1（2，3）或 E2（
26、2， 3） 将 E1（2，3）代入(1)(5)ya xx，求得13a此时抛物线的解析式为21145(1)(5)3333yxxxx将 E2（2， 3）代入(1)(5)ya xx，求得31a此时抛物线的解析式为353431)5)(1(312xxxxy如果 DN 为斜边，那么点E 的坐标为 E311(3,1 )22或 E4)211,213(将 E311(3,1 )22代入(1)(5)ya xx，求得29a此时抛物线的解析式为222810(1)(5)9999yxxxx将 E4)211,213(代入(1)(5)ya xx，求得92a此时抛物线的解析式为9109892)5)(1(922xxxxy图 2 图
27、 3 对于点 E 为 E1（2，3）和 E311(3,1 )22，直线 NE 是相同的， ENP 45又 OBP45， P P，所以 POB PGN因此2101472PNPOPGPB对于点 E 为 E2（2， 3）和 E4)211,213(，直线 NE 是相同的此时点 G 在直线5x的右侧，3314PG又334PB，所以21034143343314PGPB考点伸展精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页在本题情景下，怎样计算PB 的长？如图 3， 作 AFAB 交 OP 于 F， 那么 OBC OAF， OFOC233， PF2233，PA332(23)31223PF，所以31PB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页