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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -高三数学总复习优秀学习资料欢迎下载.高 考 复 习 科 目 ： 数 学复习内容：高中数学第九章-立体几何复习范畴：第九章编写时间： 2004-7 修订时间：总计第三次 2005-4 高 中 数 学 总 复 习 （ 九 ）I. 基础学问要点一、 平面 . 1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面 . 注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内 . 2. 两个平面可将平面分成 3 或 4 部分 .（两个平面平行,两个平面相交）3. 过三条相互平行的直线可以确定 1 或 3 个平面 .（三条直线在一个平面内
2、平行,三条直线不在一个平面内平行）注 ：三条直线可以确定三个平面,三条直线的公共点有 0 或 1 个 . 4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分 .（ X、 Y、Z 三个方向）二、 空间直线 . 1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面 公共点；异面直线不同在任一平面内. 相交直线共面有反且有一个公共点；平行直线共面没有注 ：两条异面直线在同一平面内射影肯定是相交的两条直线 .（ ）（可能两条直线平行,也可能是点和直线等）直线在平面外,指的位置关系：平行或相交如直线 a、b 异面, a 平行于平面, b 与 的关系是相交、平行、在平面 内. 两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条
3、平行线或两点 . 在平面内射影是直线的图形肯定是直线 在同一平面内的射影长相等,就斜线长相等线段）.（ ）（射影不肯定只有直线,也可以是其他图形）. （ ）（并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜 a, b 是夹在两平行平面间的线段,如 a b,就 a, b 的位置关系为相交或平行或异面 . 2. 异面直线判定定理： 过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线 .（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线相互平行. . . 第 1 页,共 7 页 4. 等角定理：假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等（
4、如下图）（二面角的取值范畴0, 180）（直线与直线所成角0,90）112（斜线与平面成角0, 90）2（直线与平面所成角0, 90）方向相同方向不相同（向量与向量所成角0, 180推论：假如两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成锐角（或直角）相等细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -5. 两异面直线的距离：公垂线的长度. 优秀学习资料欢迎下载空间两条直线垂直的情形：相交（共面）垂直和异面垂直2. l1,
5、l2距离相等的l1, l2是异面直线,就过l1,l2外一点 P,过点 P 且与l1, l都平行平面有一个或没有,但与点在同一平面内 . （L 或L 在这个做出的平面内不能叫. L 与L2平行的平面）三、 直线与平面平行、直线与平面垂直. 1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内2. 直线与平面平行判定定理：假如平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面 平行 .（“ 线线平行,线面平行”）注 ：直线 a 与平面 内一条直线平行,就 a . （ ）（平面外一条直线）直线 a 与平面 内一条直线相交,就 a 与平面 相交 . （ ）（平面外一条直线）如直线 a 与平
6、面 平行,就 内必存在很多条直线与 a 平行 . （）（不是任意一条直线,可利用平行的传递性证之）两条平行线中一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面平行于同始终线的两个平面平行 .（ ）（两个平面可能相交）平行于同一个平面的两直线平行 . （ ）（两直线可能相交或者异面）. （ ）（可能在此平面内）直线 l 与平面、所成角相等,就. （ ）（、可能相交）3. 直线和平面平行性质定理：假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.（“ 线面平行,线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直,过一点有且只有一条直线和一个平面垂直,过
7、一点有且只有一个平面和一条直线垂直. APOa如 PA , a AO ,得 a PO （三垂线定理） ,得不出 PO . 由于 a PO ,但 PO 不垂直 OA. 三垂线定理的逆定理亦成立. 直线与平面垂直的判定定理一：假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这两条直线垂直于这个平面 .（“ 线线垂直,线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：假如平行线中一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面 . 推论：假如两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行 . 注 ：垂直于同一平面 的两个平面平行. （ ）（可能相交,垂直于同一条直线 的两个平面平行）垂直于同始终线的两个平面
8、平行 . （）（一条直线垂直于平行的一个平面,必垂直于另一个平面）垂直于同一平面的两条直线平行 . （）5. 垂线段和斜线段长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中,射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段较长；相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段射影较长；垂线段比任何一条斜线段短 . 注 ：垂线在平面的射影为一个点. 一条直线在平面内的射影是一条直线.（ ） 射影定理推论：假如一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上四、 平面平行与平面垂直 . 1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行 . 2. 平面平行判定定理：假如一个平面内有两条相
9、交直线都平行于另一个平面,哪么这两个平面平行 .（“ 线面平行,面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面相互平行；平行于同一平面的两个平面平行 . 注 ：一平面间的任始终线平行于另一平面 .3. 两个平面平行的性质定理：假如两个平面平行同时和第三个平面相交,那么它们交线平行 .（“ 面面平行,线线平行” ）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载4. 两个平面垂直性质判定一：两
10、个平面所成的二面角是直二面角,就两个平面垂直 . 两个平面垂直性质判定二：假如一个平面与一条直线垂直,那么经过这条直线的平面垂直于这个平面 .（“ 线面垂直,面面垂直”）注：假如两个二面角的平面对应平面相互垂直,就两个二面角没有什么关系 .5. 两个平面垂直性质定理：假如两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面 . . BP图2推论：假如两个相交平面都垂直于第三平面,就它们交线垂直于第三平面M A证明：如图,找O 作 OA、OB 分别垂直于l1,l2,由于PM,OA,PM,OB就PMOA ,PMOB.O6. 两异面直线任意两点间的距离公式：lm2n2d22mncos
11、（为锐角取加,为钝取减,4 条. 1综上,都取加就必有,02）7. 最小角定理：coscos1 cos2（1为最小角,如图）最小角定理的应用（PBN为最小角）简记为：成角比交线夹角一半大,且又比交线夹角补角一半长,肯定有成角比交线夹角一半大,又比交线夹角补角小,肯定有2 条 . 2成角比交线夹角一半大,又与交线夹角相等,肯定有3 条或者 2 条. 成角比交线夹角一半小,又与交线夹角一半小,肯定有1 条或者没有 . 图1五、 棱锥、棱柱 . 1. 棱柱 . 直棱柱侧面积：S Ch（ C 为底面周长, h 是高）该公式是利用直棱柱的侧面绽开图为矩形得出的 . 斜棱住侧面积：S C 1（l C 是斜
12、棱柱直截面周长,1 l 是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面绽开图为平行四边形得出的 . 四棱柱 平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体 . 直四棱柱 平行六面体 = 直平行六面体 . 四棱柱平行四边形 底面是平行六面体 侧棱垂直底面 直平行六面体 底面是矩形 长方体 底面是正方形 正四棱柱底面边长相等 侧面与正方体棱柱具有的性质：棱柱的各个侧面都是平行四边形,全部的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形 ；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形. 棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边相互平行的全等多边形 . 过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形 . 注：棱柱有一个侧面和底面
13、的一条边垂直可估计是直棱柱 . （ ）（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直 . 平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处相互平分. ,. 2cos2cos21. 2. 第 3 页,共 7 页 注 ：四棱柱的对角线不肯定相交于一点. 定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为,就cos2推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为,就coscos 2cos 2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - -
14、- - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载注 ：有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 各侧面都是正方形的棱柱肯定是正棱柱.（ ）（斜四周体的两个平行的平面可以为矩形）.（ ）（应是各侧面都是正方形的直 棱柱才行）对角面都是全等的矩形的直四棱柱肯定是长方体 .（ ）（只能推出对角线相等,推不出底面为矩形）棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直 . （两条边可能相交,可能不相交,如两条边相交,就应是充要条件）2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形 . 注
15、 ：一个棱锥可以四各面都为直角三角形 . 一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以 V 棱 柱 Sh 3V 棱 柱 . 正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心 .注 ： i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形 .（不是等边三角形）ii. 正四周体是各棱相等,而正三棱锥是底面为正 侧棱与底棱不肯定相等iii. 正棱锥定义的推论：如一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形. 正棱锥的侧面积：S1Ch（底面周长为 C ,斜高为h ）. 2棱锥的侧面积与底面积的射影公式：S 侧S 底（侧面与底面成的二面角为cos附：c以知 c l ,cosab,为二
16、面角alb. 得S 侧S 底lab就S 11al,S 21lb,cosabcos22注： S 为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）. 棱锥具有的性质：正棱锥各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高） . 正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形,正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形 . 特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：棱锥的侧棱长均相等,就顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. C棱锥的侧棱与底面所成的角均相等,就顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. 棱锥的各侧面与底面所成角均相等,就顶点在底面上的射影为
17、底面多边形内心. 棱锥的顶点究竟面各边距离相等,就顶点在底面上的射影为底面多边形内心. 三棱锥有两组对棱垂直,就顶点在底面的射影为三角形垂心. 三棱锥的三条侧棱两两垂直,就顶点在底面上的射影为三角形的垂心. 每个四周体都有外接球,球心0 是各条棱的中垂面的交点,此点到各顶点的距离等于球半径；每个四周体都有内切球,球心I 是四周体各个二面角的平分面的交点,到各面的距离等于半径. 注 ：i. 各个侧面都是等腰三角形,且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（ ）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）Abii. 如一个三角锥,两条对角线相互垂直,就第三对角线必定垂直.ac简证： A B CD,ACBD BCA
18、D. 令ABa,ADc ,ACbBCDD得BCACABba,ADcBCADb cac,已知acb0 ,bac0EFacbc0就BCAD0. AOHGB细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -iii. 空间四边形优秀学习资料欢迎下载. OABC 且四边长相等,就顺次连结各边的中点的四边形肯定是矩形iv. 如是四边长与对角线分别相等,就顺次连结各边的中点的四边是肯定是正方形. FGH90 易知简证：取AC
19、中点O,就o oAC,B OACAC平面OOBACBOEFGH为平行四边形EFGH为长方形 . 如对角线等,就EFFGEFGH为正方形 . 3. 球：球的截面是一个圆面.球的表面积公式：S4 R2.球的体积公式：V4 R 33. 纬度、经度：纬度：地球上一点P 的纬度是指经过P 点的球半径与赤道面所成的角的度数. OOr经度：地球上A,B两点的经度差,是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数,特殊地,当经过点A 的经线是本初子午线时,这个二面角的度数就是B 点的经度 . 附：圆柱体积：Vr2h（ r 为半径, h 为高）圆锥体积：V1r2h（ r 为半径, h 为高）3锥
20、形体积：V1Sh（ S 为底面积, h 为高）34. 内切球：当四周体为正四周体时,设边长为a,h6a,S底3 a 42,S侧3 a 423得3a26a3a2R13a2RR2a/432a36a. 434344344注：球内切于四周体：VBACD1S 侧R31S底RS 底hR33外接球：球外接于正四周体,可如图建立关系式. 六. 空间向量 . 1. （1）共线向量：共线向量亦称平行向量,指空间向量的有向线段所在直线相互平行或重合. 第 5 页,共 7 页 - - - - - - - - - 注：如 a 与 b 共线, b 与 c 共线,就 a 与 c 共线 . （ ） 当b0时,不成立 向量a,
21、b,c共面即它们所在直线共面. （ ） 可能异面 如 a b ,就存在小任一实数,使ab. （ ） 与b0不成立 如 a 为非零向量,就0 a0. （） 这里用到bb0之积仍为向量 （2）共线向量定理：对空间任意两个向量a,b b0, a b 的充要条件是存在实数（具有唯独性） ,使ab. （3）共面对量：如向量a 使之平行于平面或 a 在内,就 a 与的关系是平行,记作a . （4）共面对量定理：假如两个向量a,b不共线,就向量P 与向量a,b共面的充要条件是存在实数对x、y 使Pxayb. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结
22、精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载z OCxyz1是 PABC 四点共面的空间任一点O和不共线三点A、B、C,就OPx OAy OB充要条件 .（简证：OP 1 y z OA y OB z OC AP y AB z AC P、A、B、C 四点共面）注：是证明四点共面的常用方法 . 2. 空间向量基本定理：假如三 个向量a , b , c 不共面,那么对空间任一向量 P ,存在一个唯独的有序实数组x、y、z,使 p x a y b z c . 推论：设 O、 A、 B 、 C 是不共面的四点,就对空间任一点 P, 都存在唯独的有序实数组
23、x、y、z 使AOP x OA y OB z OC 这里隐含 x+y+z 1. D注：设四周体 ABCD 的三条棱,AB b , AC c , AD d , 其B GM中 Q 是 BCD 的重心,就向量 AQ 1 a b c 用 AQ AM MQ 即证 . C33. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的轴是竖轴（对应为竖坐标）b2. b 3,就令 a =a1,a2,a3,b b 1,x 轴是横轴（对应为横坐标） , y 轴是纵轴（对应为纵轴） ,zaba1b1,a2b2,a3b3aa1,a2,a3Raba1b1a2b2a3b30那a ba1b1,a2b2,a3b3R a1a2a3aba1b1
24、a2b2a3b3b1bb23a2aaaaa aaaa12a22a32用到常用的向量模与向量之间的转化：cosa,b|ab|a2 1a1 b 1a2b2a3b32 b 3a|ba2 22 a 32 b 1b2 2,记作 a,假如 a空间两点的距离公式：dx2x 12y2y 12z 2z 12. （2）法向量： 如向量 a 所在直线垂直于平面,就称这个向量垂直于平面么向量 a 叫做平面的法向量 . （3）用向量的常用方法：利用法向量求点到面的距离定理：如图,设 n 是平面的法向量, AB是平面n的一条射线, 其中 A, 第 6 页,共 7 页 就点 B到平面的距离为|ABn|. |n|,的法向量,
25、 就n1 , n2所利用法向量求二面角的平面角定理：设n1 , n2分别是二面角l中平面成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n1, n2方向相同,就为补角,1, n2反方, 就为其夹角） .细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -证直线和平面平行定理：已知直线 a优秀学习资料A欢迎下载,且 CDE三点不共线,就a的平面,Ba,CD充要条件是存在有序实数对使ABCDCE. （常设ABCDCE求解,如,存在即证毕,如,不存在
26、,就直线AAB 与平面相交） . BnBn 1CDCAn2EII. 竞赛学问要点一、四周体 . 1. 对比平面几何中的三角形,我们不难得到立体几何中的四周体的类似性质：四周体的六条棱的垂直平分面交于一点,这一点叫做此四周体的外接球的球心；四周体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点,这一点叫做此四周体的内接球的球心；四周体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点,这一点叫做此四周体的重心,且重心将每条连线分为 3 1；12 个面角之和为720 ,每个三面角中任两个之和大于另一个面角,且三个面角之和为180 . 2. 直角四周体：有一个三面角的三个面角均为直角的四周体称为直角四周体,相当于平面几
27、何的直角三角形. （在直角四周体中,记 V 、l、S、R、 r、h 分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高） ,就有空间勾股定理：S 2 ABC+S 2 BCD+S 2 ABD =S 2 ACD.3. 等腰四周体： 对棱都相等的四周体称为等腰四周体,好象平面几何中的等腰三角形 .依据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四周体是等腰四周体,反之也可以将一个等腰四周体拼补成一个长方体 . （在等腰四周体ABCD 中,记 BC = AD =a ,AC = BD = b ,AB = CD = c ,体积为 V ,外接球半径为R,内D接球半径为 r
28、,高为 h）,就有B等腰四周体的体积可表示为V12 bc2a2c22 ab2a2b2c2；O3222等腰四周体的外接球半径可表示为R2a2b2c2；A4等腰四周体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等,且可表示为m2a2b2c2C；3h = 4r. 二、空间正余弦定理 . 空间正弦定理： sinABD/sin A-BC-D=sin ABC/sin A-BD-C=sin CBD/sin C-BA-D 空间余弦定理： cos ABD=cos ABCcos CBD+sin ABCsin CBDcosA-BC-D 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 7 页 - - - - - - - - -