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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高三数学总复习专题突破训练：立体几何二、解答题1、已知四棱锥 P ABCD 的三视图如下图所示,E 是侧棱 PC 上的动点 . 1 求四棱锥 P ABCD 的体积；2 是否不论点 E 在何位置,都有 BD AE ？证明你的结论；3 如点 E 为 PC 的中点,求二面角 D AE B 的大小 . P E D ABC 221111A B 正视图侧视图俯视图2、如图,已知平面 ACD , DE平面 ACD,ACD 为等边三角形,ADDE2AB , F 为 CD 的中点 . B E D1 求证：AF/平面 BCE ；A D 2 求证：平面 BCE平面
2、CDE ；3 求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值. C F 3、如下列图 , 在矩形 ABCD中, AD=2AB=2,点 E是 AD 的中点,将DEC沿 CE折起到DEC的位置,使二面角DECB 是直二面角 .AED（1）证明： BEC D；（2）求二面角DBCE 的正切值 . BC4 （ 09 广 东 四 校 文 期 末 ） 如 图 ： 直 三 棱 柱ABC A1B1C1 中 ,AC=BC=AA1=2, ACB=90 .E 为 BB1的中点, D 点在AB 上且DE=3 .（）求证： CD平面 A1ABB1；名师归纳总结 （）求三棱锥A1CDE的体积 .第 1 页,共 17 页-
3、- - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5、如图,在底面是矩形的四棱锥PABCD中, PA面 ABCD , E 、 F 为别为 PD 、AB 的中点,且PAAB1,BC2,（）求四棱锥EABCD的体积；（）求证：直线AE 平面 PFCP E A D F 6、在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中,ABACB 1,BAC900C A1B与B 1C 1,且异面直线所成的角等于0 60 ,设AA1a. 所成的锐二面角的大小. B1 A1 C1 （1）求 a的值；（2）求平面A 1BC 1与平面B 1BC 1A C 7、如图 6,在直角梯形ABCP中,AP/BC,APAB
4、,AB=BC= 1 AP2B ,D 是 AP 的中点, E,平面 ABCD,如图 7. 2F,G 分别为 PC、PD、 CB的中点,将PCD 沿 CD 折起,使得 PD（）求证： AP/ 平面 EFG； 求二面角GEFD的大小 ; BGC（）求三棱椎DPAB的体积 . EADPFP图 6 BGECF名师归纳总结 A图 7 D第 2 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8、如图,四棱锥PABCD 中, PA平面 ABCD ,四边形ABCD 是 矩 形 , E 、 F 分 别 是 AB 、 PD 的 中 点 如PAAD3,CD6AD A 16
5、0,AD 14,点（）求证：AF/平面 PCE ；（）求点 F 到平面 PCE 的距离；（）求直线FC 平面 PCE 所成角的正弦值9、如图,已知ABCDA B C D 是底面为正方形的长方体,P 是AD 上的动点 P 在AD 上的任何位置,是否都有平面BACD（1）试判定不论点PB PA 垂直于平面AAD ？并证明你的结论；A1C1D1（2）当 P 为AD 的中点时,求异面直线 1AA 与 1B P 所成角的余弦值；1（3）求PB 与平面 1AA D 所成角的正切值的最大值 1 1B110、）如图,在四棱锥PABCD中,底面为直角梯形,AD / BC , BAD 90, PA 垂直于底面 A
6、BCD ,PA AD AB 2 BC 2 , M , N 分别为 PC , PB 的中点；1求证：PB DM；（2）求 BD 与平面 ADMN 所成的角；（3）求截面 ADMN 的面积；11 、已知 PA 平面 ABCD ,PA AB AD 2, AC 与 BD 交于 E 点,BD 2,BC CD ,（1）取 PD 中点 F ,求证 : PB / 平面 AFC ；名师归纳总结 （2）求二面角APBE 的余弦值；第 3 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 12、如图,四周体 ABCD中, O、E 分别是 BD、BC的中点,CACBCDBD2
7、,ABAD2.AD（I）求证：AO平面 BCD；（II）求异面直线AB 与 CD所成角的余弦；（III）求点 E 到平面 ACD的距离OBEC答案：1、解： 1 由三视图可知,四棱锥P PCABCD 的底面是边长为 2 . 1 的正方形,B P 侧棱 PC底面 ABCD ,且 2 分VPABCD1S 正方形ABCDPC12 122,333即四棱锥 PABCD 的体积为2 3. 4 分2 不论点 E 在何位置,都有 BD AE . 证明如下：连结 AC , ABCD 是正方形,BDAC . 5 分 6 分 PC底面 ABCD ,且 BD平面 ABCD , BDPC . 7 分E 又 ACPCC
8、, BD平面 PAC . 8 分不论点 E 在何位置,都有AE平面 PAC . 不论点 E 在何位置,都有BDAE . 9 分C 3 解法 1：在平面 DAE 内过点 D 作 DFAE 于 F ,连结 BF . D ADAB1,DEBE2 12 12,AEAE3,F Rt ADE Rt ABE ,从而 ADF ABF , BF AE . DFB 为二面角 D AE B 的平面角 .A 12 分在 Rt ADE 中,DFAD DE132BF,AE又BD2,在 DFB 中,由余弦定理得cosDFBDF2BF2BD2222221, 13 分32DF BF2DGB120,即二面角 DAE3 B 的大小
9、为 120 . 14 分B z P 解法 2： 如图,以点 C 为原点, CD,CB,CP所在的直线分别为x y z 轴建立空间直角坐标系 . 就D1,0,0,A 1,1,0,B0,1,0,E0,0,1,从而E DA0,1,0,DE 1,0,1,BA1,0,0,BE0, 1,1. 10 分设平面 ADE 和平面 ABE 的法向量分别为n 1x y z 1 1 1,n 2x 2,y 2,z 2,x D C A y 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由n DA 10y 100,取n 11,0,1. 11 分n DE0x
10、 1z 1名师归纳总结 由n2BA0x20z20,取n 20, 1, 1. 12 分B A E n2BE0y 2设二面角 DAEB 的平面角为,就cosn n 22121, 13 分n 1n 222,即二面角 DAEB的大小为2 3. 14 分32、方法一：1 证法一 ：取 CE 的中点 G ,连 FG、BG. F 为 CD 的中点,GF/DE 且GF1DE . 1 分C H G 2 AB平面 ACD, DEM 平面 ACD,AB/DE ,GF/AB . 2 分又 AB 1 DE , GF AB . 2四边形 GFAB 为平行四边形,就AF/BG . 3 分F D 4 分 AFAF/平面 BC
11、E , BG 平面 BCE . 平面 BCE , 5 分证法二 ：取 DE 的中点 M ,连 AM、FM. F 为 CD 的中点,FM/CE . 1 分 AB平面 ACD, DE平面 ACD,DE/AB . 2 分1又 AB DE ME ,2四边形 ABEM 为平行四边形,就AM/BE . 3 分 FM、AM平面 BCE , CE、BE平面 BCE ,FM/平面 BCE ,AM/平面 BCE . 又 FMAMM ,平面AFM/平面 BCE . 4 分 AFAF/平面 AFM ,平面 BCE . 5 分2 证：ACD 为等边三角形,平面 ACD, AFF 为 CD 的中点, AF 平面 ACD,
12、 DE AF . CD . 6 分 DE 7 分第 5 页,共 17 页又 CDDED ,故 AF平面 CDE . 8 分BG/AF , BG平面 CDE . 9 分 BG平面 BCE ,平面 BCE平面 CDE . 10 分3 解：在平面 CDE 内,过 F 作 FHCE 于 H ,连 BH . 平面 BCE 平面 CDE , FH 平面 BCE . FBH 为 BF 和平面 BCE 所成的角 . 12 分设ADDE2AB2a ,就FHCFsin 452a ,2BFAB2AF2a23 22a ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - R t FHB 中,s
13、inFBHFH2. BF4直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为2. 14 分4方法二：设ADDE2AB2a ,建立如下列图的坐标系Axyz ,就A0 0 0, ,C2 0 0 ,B0,0,a,D a,3 ,0 ,E a ,3 ,2a. 2 分 F 为 CD 的中点,F3a,3a,0. 3 分221 证 ：AF3a,3a,0 ,BEa,3 , a a,BC2 ,0,a , 4 分22AF1BEBC, AF平面 BCE ,AF/平面 BCE . 5 分22 证 ：AF3a ,3a,0,CDa,3 ,0 ,ED0,0,2a, 226 分AF CD 0, AF ED 0,AF CD AF ED
14、. 8 分 AF 平面 CDE ,又 AF / 平面 BCE ,平面 BCE 平面 CDE . 10 分3 解 ：设平面 BCE 的法向量为 n x y z ,由 n BE 0, n BC 0 可得：x 3 y z 0,2 x z 0,取 n 1, 3, 2 . 12 分又 BF 3a , 3a , a,设 BF 和平面 BCE 所成的角为,就2 2sin BF n 2 a 2. BF n 2 a 2 2 4直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为 2. 14 分43、解：（1） AD=2AB=2,E 是 AD 的中点, BAE, CDE是等腰直角三角形,易知 , BEC=90 ,即 BE
15、EC.名师归纳总结 又平面 DEC平面 BEC,面 DEC面 BEC=EC, AEDCD第 6 页,共 17 页BE面 DEC,又 C D面 DEC , BECD ；（2）法一：设M 是线段 EC的中点,过M 作 MF BC垂足为 F,连接 DM , DF,就 DM EC. 平面 DEC平面 BEC, DM 平面 EBC, MF 是 DF 在平面 BEC上的射影,由三垂线定理得：DFBCFM DFM 是二面 D BC E的平面角 . B- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在 Rt DMF 中, DM =1EC=2 ,MF= 21AB=1222tanDFM
16、DM2,BEC的射线为 z 轴,建立空间MF即二面角 D BCE 的正切值为2 . 法二：如图,以EB,EC为 x 轴、 y 轴,过 E 垂直于平面直角坐标系 . 名师归纳总结 就 B（2 ,0,0）,C（0,2 ,0）,D （ 0,2 ,22 ）2第 7 页,共 17 页设平面 BEC的法向量为n 1 0 0, 1,；平面 DBC的法向量为n2x2,y2,z 2BC2,20, ,DC0 ,2,2,zD22由n 2BC0 1,1,1 ,22 x22y 20xBAECD2n 2DC0y2z 2022取x2,1得n 2ycosn 1,n 2|n 1n 22|3n 1|n3 tann 1, n2=
17、2 二面角 D BCE 的正切值为2 . 4、解：1在 Rt DBE中,BE=1,DE= 3 ,BD= DE 2BE2 = 2 = 1 2 AB,就D 为 AB中点, 而 AC=BC, CDAB又三棱柱 ABCA1B1C1 为直三棱柱 , CDAA1又 AA1AB=A 且 AA1、AB平面 A1ABB1故 CD平面 A1ABB16 分（2）解： A1ABB1 为矩形, A1AD,DBE, EB1A1 都是直角三角形,SA 1DES A 1ABB 1SA 1ADSDBESEB 1A 1=2 2 2 1 2 2 21 2 2 11 2 2 2 1= 32 VA1CDE=VCA1DE = 1 3 S
18、A1DE CD= 332 2 =1 三棱锥 A1CDE的体积为14 分5、解：（1）取 AD的中点 O,连接 EO,就 EO是PAD的中位线,得EO PA,故 EO面 ABCD, EO是四棱锥EABCD的高,VEABCD1SABCDEO11211 6分3323- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）取 PC的中点 G,连 EG,FG, 由中位线得EG CD,EG= 1 CD=AF, 2四边形 AFGE是平行四名师归纳总结 AE面PFCC1 y 第 8 页,共 17 页边形,FG面PFCAE面PFC 6分AE/FG6、解法一 ：（1）BC/B 1 C 1
19、,所成的角,A1 A1BC就是异面直线A1B与B 1C 1即A 1BC0 60, （ 2 分）B1 C 连接A1 C,又ABAC,就A 1BA 1C4 分E A F A1BC为等边三角形, 由ABAC1,BAC900BC2,A 1B21a22a1； 6 分B （2）取A1B的中点 E ,连接B1E,过 E 作EFBC 1于 F ,连接B1F,B 1EA 1B,A 1 C 1B 1EB1E平面A 1BC 1B1EBC 1 8 分又EFBC 1,所以BC 1平面B1EF,即B 1FBC 1,所以B1FE就是平面A 1BC 1与平面B 1BC 1所成的锐二面角的平面角； 10 分在B1EF中,B 1
20、EF900,B1E2,B 1F132, 2sinB 1FEB 1E3B 1FE0 60, 13 分B 1F0）2因此平面A 1BC 1与平面B 1BC 1所成的锐二面角的大小为0 60 ； 14 分说明：取B 1C 1的中点 D ,连接A1D, 同样给分（也给10 分）解法二：（1）建立如图坐标系,于是B,100,B 1 ,1 0 1, ,C 1 0 1,1,A 1 0 0, ,a （aB 1C11,1 0,A 1B 0,1,a,B 1 C1A 1B1 3 分z 由于异面直线A1B与B 1C 1所成的角0 60 ,C1 所以B1C1与A1B的夹角为1200A1 即|B 1 C1|A 1B|co
21、s 12001B1 C 21a211a1 6 分2（2）设向量nx ,y ,z 且 n平面A 1BC 1nA 1C 10,x B 于是nA 1B且nA 1C1,即nA 1B0且又A 1B 0,1,1 ,A 1C10,1,0 ,所以xz0,不妨设n,101, 8 分y0同理得m 0,1,1,使 m平面BB 1C 1,（10 分）设 m 与 n 的夹角为,所以依mn|m|n|cos,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 22cos1cos1600, 12 分2m平面BB 1C 1, n平面A 1BC 1,0 60 ； 14 分平面BB 1C 1因此平面A 1B
22、C 1与平面B 1BC 1所成的锐二面角的大小为说明：或者取BC 的中点 M ,连接 AM ,于是AM1,1,0明显 AM227、解 : 证明 : 方法一 连 AC,BD交于 O点, 连 GO,FO,EO. E,F分别为 PC,PD的中点 ,EF/1CD,同理GO/1CD,EF/GO22四边形 EFOG是平行四边形 ,EO平面 EFOG. 3 分又在三角形PAC中,E,O分别为 PC,AC的中点 ,PA/EO 4 分EO平面 EFOG,PA平面 EFOG, 5 分PA/ 平面 EFOG,即 PA/平面 EFG. 6 分名师归纳总结 方法二 连 AC,BD交于 O点, 连 GO,FO,EO. 第
23、 9 页,共 17 页E,F分别为 PC,PD的中点 ,EF/1CD,同理GE/1PB22又CD/AB,EF/1AB2EGEFE,PBABB,平面 EFG/平面 PAB, 4 分又 PA平面 PAB,PA/平面 EFG. 6 分方法三 如图以 D 为原点 ,以DA ,DC,DP为方向向量建立空间直角坐标系Dxyz. 就有关点及向量的坐标为: P0 ,0 ,2,C0 ,2 0,G,120,E0 1,1,F0,0 1,A2 ,00.AP2 0, , 2,EF,0,10,EG,1,11 2 分设平面 EFG的法向量为nx ,y ,znEF0xyy0z0xz .0取n,1 0 1,. 4 分nEG0y
24、nAP120012,0nAP, 5 分又 AP平面 EFG.AP/ 平面 EFG. 6 分- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由已知底面ABCD是正方形ADDC, 又 PD面 ABCD ADPD又PDCDD.AD平面 PCD,向量 DA 是平面 PCD的一个法向量 , DA =,2 0 0, 8 分又由 方法三 知平面 EFG的法向量为n,1 1,0 9 分cosDA ,nDAn2222. 10 分DAn2结合图知二面角GEFD的平面角为450 11 分 VDPABVPDAB1SABDPD 13 分3112224. 14 分3238、解法一：（I）取 P
25、C的中点 G,连结 EG,FG,又由 F 为 PD 中点,就F G /1CD. 2 分2又由已知有AE= /1CD,FG= /AE.2四边形AEGF是平行四边形 . AF/ EG. 4 分又AF平面 PCE,EG平面PCE.AF/平面PCE 5 分（II）PA平面ABCD ,平面PAD平面ABCD.由ABCD是矩形有CDAD.CD平面PAD.AFCD又PAAD,3F是PD的中点,AFPD.PDCDD,AF平面PCD.由EG/AF,EG平面PCD.平面PCD内 ,过F作FHPC 于H,由于平面PCD平面PCEPC,就FH的长就是点F到平面PCE的距离 3 分名师归纳总结 - - - - - -
26、-第 10 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由已知可得PD32,PF32 ,PC2.62由于CD平面PAD ,名师归纳总结 CPD30.第 11 页,共 17 页FH1PF3.224点F到平面PCE的距离为32. 5 分4（III）由（ II）知FCH为直线FC与平面PCE所成的角.在RtCDF中 ,CD6,FD32,2FCCD2FD242.2sinFCHFH21FC14直线 FC与平面 PCE所成角的正弦值为21. 4 分14解法二：如图建立空间直角坐标系AxyzA（0,0, 0）,P（ 0,0,3）,D（0,3,0）,E（6 ,0,0）,F（0,23 ,2
27、3 ）,2C（6 ,3, 0） 2 分（I）取 PC的中点 G,连结 EG,就 G6,3,3.222AF0,3,3,EG0,3,3,2222AF/EG.即AF/EG.又AF平面PCE,EG平面PCE,AF/平面PCE. 5 分- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （II）设平面 PCE的法向量为nx,y,z ,EP6,0 ,3 ,EC63, ,0.22nEP1 ,0,n即6 2x33 z00,nEC0.6 2xy.取y得6 ,1,1 . 3 分名师归纳总结 又PF0,3,3,第 12 页,共 17 页22故点F到平面PCE的距离为dPFn|323|342.
28、 5 分22| n|2（III）FC6,3,3,22|cosFC, n|FCn|2132221. 2 分FC|n142直线 FC与平面 PCE所成角的正弦值为21 . 14 4 分9、解：（1）不论点 P 在AD 上的任何位置,都有平面B PA 垂直于平面AA D .-1 分证明如下：由题意知,B A 1 1A D ,1 1B A 1 1A A 1又AA 1A D 1A 1B A 1平面AA D 1又A B 1 1平面B PA 1 1平面B PA 1 1平面AAD -4 1 1分（2）解法一： 过点 P 作PEA D ,垂足为 E ,连结B E （如图）,就PEAA 1,- - - - - -
29、 -精选学习资料 - - - - - - - - - B PE 是异面直线AA 与B P 所成的角 -6分在RtAAD 1中 AD A 160A AD 130ADA B 1A D 11AD12, A E1A D 11,BCPD122B EB A 12A E25A 1又PE1AA 13B1E2C1在RtB PE中,B P532 2cosB PEPE36-8分B P2 24A 10 0 0, ,异面异面直线AA 与B P 所成角的余弦值为 16-9分4解法二： 以A 为原点,1A B 所在的直线为 1 1x 轴建立空间直角坐标系如图示,就A ,0 0 2 3,B 12 0 0, ,P 01,3,A A 10 0 2 3,zADB P 21,3-6分BCP名师归纳总结 cosA A B P 1 1|A A B P|66xB 1A1分C1D1y第 13 页,共 17 页A A| |B P2 3 2 24异面异面直线AA 与B P 所成角的余弦值为6-9分4（3）由（ 1）知,B A 1平面AA D ,B PA 是PB 与平面AA D 所成的角, -10分且tanB PA 1B A 12-11A PA P- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当A P 最小时,tanB PA 最大,这时A PAD ,由A PA D 1A A3-13 分AD 1