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1、优秀学习资料欢迎下载高三总复习 - 立体几何一、本讲进度立体几何复习二、本讲主要内容空间几何图形的证明及计算。三、复习指导1、空间基本元素：直线与平面之间位置关系的小结。如下图：条件结论线线平行线面平行面面平行垂直关系线线平行如果ab，bc，那么 a c 如果 a，a， =b，那么 ab 如果 ， =a，=b，那么 ab 如果 a，b，那么 ab 线面平行如果ab，a，b ， 那么a如果 ， a，那么 面面平行如果 a，b，c，d，ac，bd，ab=P，那么 如果 a，b ,a b=P,a ,b ，那么如果 ， ，那么 如果 a，a，那么 条件结论线线垂直线面垂直面面垂直平行关系线线垂直二垂线
2、定理及逆定理如果 a，b，那么 a b 如果三个平面两两垂直，那么它们交线两两垂直如果ab，ac，那么 b c 线面垂直如果ab，ac， b ，c，bc=P，那么 a如果 ， =b， a,ab，那么 a如果 a，ba，那么 b 面面垂直定义（二面角等于 900）如果 a，a，那么 2、空间元素位置关系的度量（ 1）角：异面直线所成的角，直线和平面所成的角，二面角，都化归为平面几何中两条相交直线所成的角。异面直线所成的角：通过平移的变换手段化归，具体途径有：中位线、补形法等。直线和平面所成的角：通过作直线射影的作图法得到。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
3、 - - - -第 1 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载二面角：化归为平面角的度量，化归途径有：定义法，三垂线定理法，棱的垂面法及面积射影法。（ 2）距离：异面直线的距离，点面距离，线面距离及面面距离。异面直线的距离：除求公垂线段长度外，通常化归为线面距离和面面距离。线面距离，面面距离常化归为点面距离。3、两个重要计算公式（ 1）cos=cos1cos2其中 1为斜线 PA与平面 所成角，即为 PAO ， 2为 PA射影 AO与内直线 AB所成的角， 为 PAB 。显然， 1，2（ 2）异面直线上两点间距离公式设异面直线a，b 所成角为 则 EF2=m2+n2+d22mncos4、棱柱、棱锥
4、是常见的多面体。在正棱柱中特别要运用侧面与底面垂直的性质解题，在正棱锥中，要熟记由高PO ，斜高PM ，侧棱PA ，底面外接圆半径OA ，底面内切圆半径OM ，底面正多边形半边长OM ，构成的三棱锥，该三棱锥四个面均为直角三角形。5、球是由曲面围成的旋转体。研究球，主要抓球心和半径。6、立体几何的学习，主要把握对图形的识别及变换（分割，补形，旋转等），因此，既要熟记基本图形中元素的位置关系和度量关系，也要能在复杂背景图形中“剥出”基本图形。四、典型例题例 1、在正方体ABCD A1B1C1D1中， E、F、G 、 H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点， O为 AC与 BD的交点（如图
5、） ，求证：（1）EG 平面 BB1D1D； （2）平面 BDF 平面 B1D1H ； （3）A1O 平面 BDF ； （4）平面 BDF平面 AA1C。解析：（ 1）欲证 EG 平面 BB1D1D，须在平面BB1D1D内找一条与EG平行的直线，构造辅助平面BEGO 及辅助直线 BO ，显然BO 即是。（ 2）按线线平行线面平行面面平行的思路，在平面B1D1H 内寻找 B1D1和 O H 两条关键的相交直线，转化为证明：B1D1平面 BDF ，OH平面 BDF 。（ 3）为证 A1O 平面 BDF ，由三垂线定理，易得BDA1O ，再寻 A1O垂直于平面BDF内的另一条直线。猜想 A1O OF
6、 。借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：A1O2+OF2=A1F2A1O OF 。（ 4） CC1平面 AC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载 CC1BD 又 BD AC BD平面 AA1C 又 BD平面 BDF 平面 BDF 平面 AA1C 例 2、在正方体ABCD A1B1C1D1中， M为 DD1中点， O为底面 ABCD 的中心， P 为棱 A1B1上任意一点，则直线 OP与直线 AM所成的角是A、6B、4C、3D、2解析：取 P点的特殊点A1，连 OA1，在底面上过O作 OE AD
7、于 E，连 A1E OE平面 ADD1A1， AM A1E 根据三垂线定理，得：AM OA1 选 D 评注：化“动”为“定”是处理“动”的思路例 3、如图，三棱锥DABC中，平面ABD 、平面 ABC均为等腰直角三角形，ABC= BAD=900，其腰 BC=a ，且二面角DAB C=600。（ 1）求异面直线DA与 BC所成的角；（ 2）求异面直线BD与 AC所成的角；（ 3）求 D到 BC的距离；（ 4）求异面直线BD与 AC的距离。解析：（ 1）在平面ABC内作 AE BC ，从而得 DAE=600 DA 与 BC成 600角（ 2）过 B作 BF AC ，交 EA延长线于F，则 DBF为
8、 BD与 AC所成的角由 DAF易得 AF=a ，DA=a ， DAF=1200 DF2=a2+a2-2a2(21)=3a2 DF=3 a DBF中， BF=AC= 2 a cos DBF=41 异面直线BD与 AC成角 arccos41（ 3） BA平面 ADE 平面 DAE 平面 ABC 故取 AE中点 M ，则有 DM 平面 ABC ；取 BC中点 N，由 MN BC ，根据三垂线定理，DN BC DN 是 D到 BC的距离精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载在 DMN 中， DM=23a，M
9、N=a DN=27a （ 4） BF平面 BDF ，AC平面 BDF ，AC BF AC平面 BDF 又 BD平面 BDF AC 与 BD的距离即AC到平面 BDF的距离BDFBDFASh31V，ADFBBDFAVVADFBDFSAB31Sh312ADF2BDFa43a23a21DMAF21Sa415415a2a221DBFsinBFBD21S由a55SSABhBDFADF，即异面直线BD与 AC的距离为a55评注：三棱锥的等体积变换求高，也是求点到面距离的常用方法。例 4、如图，在 600的二面角 CD 中，AC，BD，且 ACD=450，tg BDC=2 ，CD=a ，AC= 2 x，BD
10、= 5 x，当 x 为何值时， A、B的距离最小？并求此距离。解析：作 AE CD 于 E，BF CD 于 F，则EF 为异面直线AE 、 BF 的公垂段， AE 与 BF 成 600角，可求得|AB|=22aax4x7，当 x=7a2时， |AB| 有最小值a721。评注：转化为求异面直线上两点间距离的最小值。例 5、如图，斜三棱柱ABC ABC中，底面是边长为a 的正三角形，侧棱长为 b ，侧棱 AA 与底面相邻两边AB 、AC都成 450角，求此三棱柱的侧面积和体积。解析：在侧面 AB 内作 BD AA 于 D 连结 CD AC=AB，AD=AD ， DAB= DAC=450 DAB D
11、AC CDA= BDA=900，BD=CD BDAA ， CD AA DBC是斜三棱柱的直截面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载在 Rt ADB中， BD=AB sin450=a22 DBC的周长 =BD+CD+BC=( 2 +1)a ， DBC的面积 =4a2 S侧=b(BD+DC+BC)=( 2 +1)ab V=DBCSAA =4ba2评注：求斜棱柱的侧面积有两种方法，一是判断各侧面的形状，求各侧面的面积之和，二是求直截面的周长与侧棱的乘积，求体积时同样可以利用直截面，即V=直截面面积侧棱长。
12、例 6、在三棱锥PABC中， PC=16cm ，AB=18cm ，PA=PB=AC=BC=17cm，求三棱锥的体积VP-ABC。解析：取 PC和 AB的中点 M和 N AMBAMBCAMBPABCPSPC31VVV在 AMB 中， AM2=BM2=172-82=259 AM=BM=15cm ， MN2=152-92=246 SAMB=21 AB MN=211812=108(cm2) VP-ABC=31 16108=576(cm3) 评注：把一个几何体分割成若干个三棱锥的方法是一种用得较多的分割方法，这样分割的结果，一方面便于求体积，另一方面便于利用体积的相关性质，如等底等高的锥体的体积相等，等
13、底的两个锥体的体积的比等于相应高的比，等等。五、同步练习（一）选择题 1 、12，a，b 与1，2都垂直，则a，b 的关系是 A 、平行B、相交C、异面D、平行、相交、异面都有可能 2 、异面直线a，b，ab，c 与 a 成 300，则 c 与 b 成角范围是 A 、600，900 B、300，900 C、600，1200 D 、 300，1200 3 、正方体 AC1中， E、F 分别是 AB 、BB1的中点，则A1E与 C1F所成的角的余弦值是 A 、21B、22C、52 D、521 4、在正 ABC中， AD BC于 D，沿 AD折成二面角BAD C后，BC=21AB ，这时二面角BAD
14、 C大小为A、600B、900C、450D 、 12005、一个山坡面与水平面成600的二面角，坡脚的水平线（即二面角的棱）为AB ，甲沿山坡自P朝垂直于 AB的方向走 30m ，同时乙沿水平面自Q朝垂直于AB的方向走30m ，P、Q都是 AB上的点，若PQ=10m ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载这时甲、乙2 个人之间的距离为A、m720B、m1010C、m330D 、m19106、E、F分别是正方形ABCD 的边 AB和 CD的中点， EF交 BD于 O ，以 EF为棱将正方形折成直二面角
15、如图，则 BOD= A、1350B、1200C、1500D 、 9007、三棱锥VABC中， VA=BC ，VB=AC ，VC=AB ，侧面与底面ABC所成的二面角分别为， ，（都是锐角），则 cos+cos +cos等于A、1 B、2 C、21D 、238、正 n 棱锥侧棱与底面所成的角为，侧面与底面所成的角为 ，tan tan 等于A、nsinB、ncosC、n2sinD 、n2cos9、一个简单多面体的各面都是三角形，且有6 个顶点，则这个简单多面体的面数是A、4 B、6 C、8 D 、 10 10、三棱锥PABC中， 3 条侧棱两两垂直，PA=a ， PB=b ，PC=c ， ABC的
16、面积为S，则 P 到平面 ABC的距离为A、SabcB、S2abcC、S3abcD 、S6abc11、三棱柱ABC A1B1C1的体积为V，P、Q分别为 AA1、CC1上的点，且满足AP=C1Q ，则四棱锥BAPQC的体积是A、V21B、V31C、V41D 、V3212、多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3 的正方形， EF AB ，EF=23，EF与面 AC的距离为2，则该多面体的体积为A、29B、5 C、6 D 、215（二）填空题13、已知异面直线a 与 b 所成的角是500，空间有一定点P，则过点 P 与 a， b 所成的角都是300的直线有_条。14、线段 AB的端点到
17、平面的距离分别为6cm和 2cm ，AB在上的射影A B的长为3cm ，则线段AB的长为_。15、正 n 棱锥相邻两个侧面所成二面角的取值范围是_。16、如果一个简单多面体的每个面都是奇数的多边形，那么它的面数是_。（三）解答题17、如图，在斜边为AB的直角三角形ABC中，过 A 作 AP平面 ABC ，AE PB于 E，AFPC于 F，CGAB于 G ，CD PB于 D。（ 1）求证 AEF= CDG ； （2）求 AEF面积的最大值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载18、等边三角形ABC的边
18、长为a，沿平行BC的线段 PQ折起，使平面APQ 平面 PBCQ ，设点 A到直线PQ的距离为x，AB的长为 d （ 1）x 为何值时， d2取得最小值，最小值是多少？（2）若 BAC= ，求 cos的最小值。19、如图， ABCD 是矩形，其4 个顶点在平面 的同一侧，且它们在平面内的射影分别为A， B，C， D，直线AB 与 CD不重合，（ 1）求证： ABCD是平行四边形；（ 2）在怎样的条件下，ABCD是矩形？并证明你的结论。20、正三棱锥VABC的底面边长为a，侧棱与底面所成的角等于（4） ，过底面一边作此棱锥的截面，当截面与底面所成二面角为何值时，截面面积最小？并求出最小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载参考答案（一）选择题 1 、D 2 、A 3 、C 4 、A 5 、B 6 、B 7 、A 8 、B 9 、C 10 、B 11 、B 12 、D （二）填空题 13 、2 14、5 或73 15、 （,n2n） 16、偶数（三）解答题 17 、 （2）21 18 、 （1）22a85d（2） 19 、 （2）一边与 平行或在 内 20 、2sina432精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页