《2022年基本不等式柯西不等式知识点复习.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年基本不等式柯西不等式知识点复习.docx（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点基本不等式及应用一、考纲要求：1. 明白基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简洁的最大 小 值问题3明白证明不等式的基本方法综合法二、基本不等式基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件abab 2a0,b0ab三、常用的几个重要不等式1a2b 22aba ,bR 2abab 2 2a ,bR 3a 2b 2ab2a ,bR 4b aa b2a ,b 同号且不为零 22上述四个不等式等号成立的条件都是ab. 四、算术平均数与几何平均数设 a0,b0,就 a,b 的算术平均数为ab,几何平均数为 2ab,基本不等式可表达为：
2、两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数四个“ 平均数” 的大小关系；a,bR+：2ababa2ba22b2ab“ 一正、二定、三相等、四当且仅当ab 时取等号 .五、利用基本不等式求最值：设x,y 都是正数1 假如积 xy 是定值 P,那么当 xy 时和 xy 有最小值 2P. 2 假如和 xy 是定值 S,那么当xy 时积 xy 有最大值1 4S 2. 强调： 1、 “ 积定和最小,和定积最大” 这两个结论时,应把握三点：最值 ” . 当条件不完全具备时,应制造条件. 正：两项必需都是正数；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - -
3、 - - - 名师总结 优秀学问点定：求两项和的最小值,它们的积应为定值；求两项积的最大值,它们的和应为定值；等：等号成立的条件必需存在 . 2、当利用基本不等式求最大 小 值等号取不到时,如何处理？（如最值取不到可考虑函数的单调性）想一想 : 错在哪里？已知函数fx xx32x2 ,已知函数fx x1,求函数的求函数的最小值322xxx32最小值和此时x的取值解 ：fxxx解:fxx12x12x2xx3时 , 函 数当 且 仅 当xx32即x当 且 仅 当x1即x1时 函 数x取 到 最 小 值2.的 最 小 值 是6；一 看, 会有大家把x23代 入看3、已知两正数x,y 满意 xy1,就
4、 zx 什么发现？用 什么 方法求 该函 数的最小值 ？1 xy 1 y 的最小值为 _解一：由于对a0,恒有 a1 a2,从而 zx 1 xy 1 y 4,所以 z 的最小值是4. 221 解二： z2x2y22xy 2 xy xy 222 xyxy222 1 ,所以z 的最小值是xy【错因分析】错解一和错解二的错误缘由是等号成立的条件不具备,因此使用基本不等式肯定要验证等号成立的条件,只有等号成立时,所求出的最值才是正确的【正确解答】zx 1 xy 1 y xy1 xyy xx yxy1 xyxy22xy2 xy xy2,xy令 t xy,就 0t xyxy21 4,由 ft t 2 t在
5、0 ,1 4 上单调递减,故当t 1 4时, ft t 22 t有最小值33 4,所以当 x y1 2时 z 有最小值25 4 . 误区警示：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点11 在利用基本不等式求最值 值域 时,过多地关注形式上的满意,极简洁忽视符号和等号成立条件的满意,这是造成解题失误的重要缘由如函数y1 2x3 xx0 有最大值126而不是有最小值26. 2 当多次使用基本不等式时,肯定要留意每次是否都能保证等号成立,并且要留意取等号条件的一致性,否就就会出错课堂纠错补练： 4如 00,b0
6、,a b1,求证：1 a1 b4. 练习： 已知 a、b、 c 为正实数,且abc1,求证： 1 a11 b11 c18.名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 考点 2利用基本不等式求最值名师总结优秀学问点 1 合理拆分项或配凑因式是常用的技巧,而拆与凑的目标在于使等号成立,且每项为正值,必要时需显现积为定值或和为定值2 当多次使用基本不等式时,肯定要留意每次是否能保证等号成立,并且要留意取等号的条件的一致性,否就就会出错,因此在利用基本不等式处理问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转换是否有误的
7、一种方法例 4： 1 设 0x2,求函数 y 2 x 2 x 的最大值【分析】由和或积为定值从而利用基本不等式求最值,然后确定取得最值的条件【解】1 0x0,12 2 x0,求 fx x3x 的最小值；（ 3）已知 :x0,y0. 且 2x+5y=20, 求 xy 的最大值 . 4）已知 y4 a2 a,求 y 的取值范畴5 已知 x0,y0,且 xy1,求3 x4 y的最小值练习：求以下各题的最值名师归纳总结 1 已知 x0,y0,lgx lgy 1,求 z2 x5 y的最小值；第 4 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2x0,求 fx
8、12 x3x 的最大值；名师总结优秀学问点 3x0 ,且 aR,当且仅当a1 时“ ” 成立2b aa b2a0 ,b0,a,bR,当且仅当ab 时“ ” 成立柯西不等式一、 二维形式的柯西不等式a2b2c2d2acbd2a,b,c,dR,当且仅当adbc时,等号成立.二、 二维形式的柯西不等式的变式名师归纳总结 1 a2b2c2d2acbda,b,c,dR,当且仅当adbc 时 ,等号成立.第 6 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 a22 b2 cd2acbda,b名师总结优秀学问点bc 时 ,等号成立.,c,dR,当且仅当ad3
9、ab cdacbd2a,b,c,d0,当且仅当adbc时,等号成立.三、 二维形式的柯西不等式的向量形式. 当且仅当是零向量,或存在实数k,使k时,等号成立.借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件,制造条件也要用；比如说吧,对a2 + b2 + c2,并不是不等式的外形,但变成1/3 * 12 + 12 + 12 * a2 + b2 + c2就可以用柯西不等式了；例题【5】 . 设 x,y,z R,且满意 x2 y2 z2 5 ,就 x 2y 3z 之最大值为解x 2y 3z2 x2 y2 z212 22 32 514 70x 2y 3z 最大值为70【6】 设 x,y,z R,如 x2 y2 z2 4 ,就 x 2y 2z 之最小值为时, x ,y,z 解x 2y 2z2xx22 yz212 2222 24 9 236 x 2y 2z 最小值为6 , 公式法求x , y , z 此时xyz6221222223x2,y4,z4的最大值与最小值；333练习【 8】、设x,y ,zR,2y2z225,试求x2y2z【9】、设x,y,zR,2xy2z6,试求x2y2z2之最小值；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页