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1、基本不等式知识点总结向量不等式：| | |abababrrrrrr【注意】：a brr、同向或有0r| | |ababu ru ruru r| | | |ababu ru ru ru r；a brr、反向或有0r| | | |ababu ru ru ru r| | |ababu ru ru ru r；a brr、不共线| | | | | |abababu ru ru ru ru ru r.(这些和实数集中类似) 代数不等式 ：,a b同号或有0| | | | |abababab；,a b异号或有0| | | | |abababab. 绝对值不等式：123123aaaaaa(0)ababab a
2、b时, 取等双向不等式：ababab（左边当0(0)ab时取得等号，右边当0(0)ab时取得等号 .）放缩不等式：00abam，则bmbbmamaam. 【说明】：bbmaam（0,0abm，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则，000nmbabanbnamambab1. , ,a b cR，bdac，则bbddaacc；nN，1112nnnnn；,1nNn，21111111nnnnn. ln1xx(0)x,1xex()xR. 函数( )(0)bf xaxabx、图象及性质(1)函数0)(baxbaxxf、图象如图：(2)函数0)(baxbaxxf、性质：值域：),22,(abab；单调递增区间
3、：(,ba，,)ba；单调递减区间：(0,ba，, 0)ba. xabab2ab2aboy精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 基本不等式知识点总结重要不等式1、和积不等式：,a bR222abab(当且仅当ab时取到 “ ”)【变形】：222()22ababab（当 a = b时，222()22ababab）【注意】：( ,)2ababa bR，2() ( ,)2ababa bR2、均值不等式：两个正数ba、的调和平均数、几何平均数、
4、算术平均数、均方根之间的关系，即“ 平方平均 算术平均 几何平均 调和平均 ”2222“”1122ababababababab（当且仅当时取）*.若0 x，则12xx(当且仅当1x时取“ = ” ）; 若0 x，则12xx(当且仅当1x时取“ = ” ）若0 x，则11122-2xxxxxx即或(当且仅当ba时取“ = ” ）*.若0ab，则2abba(当且仅当ba时取“ = ” ）若0ab，则22-2abababbababa即或(当且仅当ba时取“ = ” ）3、含立方的几个重要不等式（a、b、c 为正数）：3333abcabc（0abc等式即可成立，时取等或0cbacba） ；33abca
5、bc3()3abcabc3333abc*不 等 式 的 变 形 在 证 明 过 程 中 或 求 最 值 时 ， 有 广 泛 应 用 ， 如 ： 当0ab时 ，abba222同时除以ab 得2baab或baab11。*,ba均为正数，baba22八种变式：222baab； 2)2(baab；2)2(222baba)(222baba；若 b0,则baba22； a0,b0,则baba411；若 a0,b0,则abba4)11(2；若0ab，则222)11(2111baba。上述八个不等式中等号成立的条件都是“ba” 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎
6、下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 最值定理（积定和最小）,0,2x yxyxy由，若积()xyP定值，则当xy时和xy有最小值2p；（和定积最大）,0,2x yxyxy由，若和()xyS定值，则当xy是积xy有最大值214s.【推广】：已知Ryx,，则有xyyxyx2)()(22. （1）若积xy是定值， 则当|yx最大时，|yx最大； 当|yx最小时，|yx最小 . （2）若和|yx是定值，则当|yx最大时，| xy最小；当|yx最小时，| xy最大 . 已知, , ,Ra x b y， 若1axby， 则有
7、则的最小值为：21111()()2 ()byaxaxbyababababxyxyxy已知，若精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 则和的最小值为：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - - . 应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：凑系数（乘、除变量系数）.例 1.当04x时，求函的
8、数(82 )yxx最大值 . 凑项（加、减常数项） ：例 2.已知54x，求函数1( )4245f xxx的最大值 . 调整分子：例3.求函数2710( )(1)1xxf xxx的值域； 变 用 公 式 ： 基 本 不 等 式2abab有 几 个 常 用 变 形 ,2222abab，222()22abab不易想到，应重视；例 4.求函数152152 ()22yxxx的最大值；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 连用公式：例5.已知0a
9、b，求216()yab ab的最小值；对数变换：例6.已知1,12xy，且xye，求ln(2 )ytx的最大值；三角变换：例7.已知20yx，且tan3tanxy，求txy的最大值；常数代换 （逆用条件）：例 8.已知0,0ab，且21ab，求11tab的最小值 . “单调性”补了“基本不等式”的漏洞：平方和为定值若22xya（a为 定 值 ，0a） ， 可 设cos,sin,xaya， 其 中02. ( , )sincos2 sin()4f x yxyaaa在150,2 )44上是增函数，在15,44上是减函数；1( , )sin 22g x yxya在13570,2)4444上 是 增 函
10、 数 ， 在1357,4444上是减函数；11sincos( , )sincosxym x yxyxya.令sincos2 sin()4ta，其中2,1)( 1,1)(1, 2tUU.由212sincost，得22sincos1t，从而222( , )1(1)()tm x ya ta tt在2,1)( 1,1)(1,2UU上是减函数 . 和为定值若xyb（b为定值，0b） ，则.ybx2( ,)g x yxyxbx在(, 2b上是增函数，在,)2b上是减函数；211( , )xybm x yxyxyxbx.当0b时，在(,0),(0,2b上是减函数，在, ),( ,)2bbb上是增函数； 当0
11、b时，在(, ),( ,2bbb上是减函数， 在,0),(0,)2b上是增函数 .2222( ,)22n x yxyxbxb在(,2b上是减函数，在,)2b上是增函数；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 积为定值若xyc（c为定值，0c） ，则.cyx( , )cf x yxyxx. 当0c时 ， 在,0),(0,cc上 是 减 函 数 ， 在(,)cc上是增函数；当0c时，在(,0),(0,)上是增函数；111( , )()xycm
12、 x yxxyxycx.当0c时，在,0),(0,cc上是减函数，在(,)cc上是增函数；当0c时，在(,0),(0,)上是减函数；222222( , )()2ccn x yxyxxcxx在(,),(0,cc上是减函数，在(,0,)cc上是增函数 . 倒数和为定值若112xyd（d为定值，1 1 1,x dy） ，则.cyx成等差数列且均不为零，可设公差为z，其中1zd，则1111,zzxdyd得,.11ddxydzdz. 222( )1df xxyd z.当0d时 ， 在11(,),(,0dd上 是 减 函 数 ， 在110,),(,)dd上 是 增 函 数 ； 当0d时 ， 在11(,),
13、(,0dd上 是 增 函 数 ， 在110,),(,)dd上减函数；222( ,).1dg x yxyd z.当0d时 ， 在11(,),(,0dd上 是 减 函 数 ， 在110,),(,)dd上 是 增 函 数 ； 当0d时 ， 在11(,),(,0dd上 是 减 函 数 ， 在110,),(,)dd上是增函数；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 222222222(1)( , ).(1)dd zn x yxyd z. 令221t
14、d z， 其 中1t且2t， 从 而22222( ,)4(2)4d tdn x yttt在1,2)上是增函数，在(2,)上是减函数 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -